彎曲型輸電線電磁耦合的時域建模分析方法

葉志紅，石艷超，吳小林

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引言

輸電線作為國家電網的重要組成部分，其工作狀態的安全與穩定至關重要。處于強電磁脈沖輻照下的輸電線，將遭受嚴重的電磁干擾，因為強電磁脈沖通過輸電線耦合產生過電壓信號，進而對輸電線端接裝置造成毀傷，影響供電系統安全[1-2]。因此，研究強電磁脈沖作用架空輸電線的電磁耦合問題，獲得可靠的過電壓響應數據，為輸電線電磁防護設計提供理論支撐。

目前，國內外學者關于輸電線的電磁耦合已開展相應數值計算方法研究。首先，全波算法是輸電線電磁耦合最直接的數值方法，例如時域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)方法[3-4]、時域有限元法[5]和矩量法[6]等。但是，全波算法需要對輸電線精細結構直接建模，勢必造成計算資源的浪費。

之后，國內外學者基于傳輸線理論，提出了幾種高效的場線耦合算法，避免了輸電線結構的直接建模，其中主流方法包括BLT方程[7-9]、FDTD-TL算法[10-13]等。BLT方程通過節點和管道的方式構建空間電磁場與輸電線節點電壓和電流之間的關系矩陣，并對矩陣進行求解得到節點響應。但是，傳統的BLT方程是一種頻域方法，單次計算只能獲得一個頻點的響應，對于寬頻段的強電磁脈沖，計算效率低。FDTD-TL算法的思想是使用傳輸線方程描述空間電磁場作用傳輸線的耦合過程，并使用FDTD方法對空間電磁場分布和傳輸線方程進行求解，獲得傳輸線及其端接負載上的電壓和電流響應。相較于BLT方程，該算法的優勢在于從時域角度實現了空間電磁場輻射與傳輸線瞬態響應的協同計算。但是，目前該算法主要是針對直導線開展的電磁耦合建模研究。然而，實際架空輸電線受重力作用，呈現弧垂彎曲形態，而且受桿塔架設方位的影響，輸電線的走線方向不斷變化，即為斜置狀，FDTD-TL算法無法直接應用。

因此，本文基于FDTD-TL算法，結合Agrawal場線耦合模型和坐標變換，提出了一種高效的時域混合算法，實現任意方位的彎曲型輸電線電磁耦合快速計算。

1 時域混合算法理論

圖1給出了空間電磁場作用彎曲輸電線的電磁耦合模型，輸電線按照任意方向架設在地面上，起點和終點位于同一水平面上，輸電線高度方向為直角坐標系的z軸方向。由于重力作用，輸電線呈弧垂狀結構，即為彎曲形態。為了便于分析計算，輸電線兩端通過負載進行等效。

圖1 空間電磁場作用彎曲輸電線的電磁耦合模型Fig.1 Electromagnetic coupling model of curved transmission line radiated by space electromagnetic fields

由于輸電線架設較高，忽略地阻抗對輸電線電磁耦合的影響。此時，空間電磁場對輸電線的電磁耦合作用可以通過Agrawal模型[14]的傳輸線方程描述為：

(1)

(2)

式中，l表示輸電線在空間的走線方向；Vsca(l,t)和I(l,t)分別表示輸電線沿線各點的散射電壓和全電流；R(l)，L(l)，G(l)和C(l)分別為輸電線不同位置處的單位長度電阻、電感、電導和電容分布參數，由于彎曲輸電線沿線高度不斷變化，使得輸電線分布參數與空間位置有關，另外，輸電線單位長度電阻和電導一般比較小，這里均設置為0，VF(l,t)為輸電線的等效分布電壓源項，可以表示為：

VF(l,t)=El(x,y,h,t)，

(3)

式中，El(x,y,h,t)表示輸電線沿線切向電場分量。

1.1 彎曲輸電線沿線坐標計算

根據式(1)和式(2)可知，彎曲輸電線電磁耦合的計算精度取決于傳輸線方程的建模準確度。對于傳輸線方程，準確獲得輸電線單位長度分布參數和等效分布電壓源項是保證建模精度的關鍵。由于輸電線分布參數和等效分布源項均與空間位置有關，因此，獲取輸電線沿線各點的坐標是基礎。

當彎曲輸電線的中心位于直角坐標系坐標原點時(如圖2所示)，輸電線沿線各點的弧垂高度可以通過平拋物線方程[15]表示為：

圖2 彎曲輸電線的弧垂計算格式Fig.2 Calculation scheme for the sag of curved transmission line

(4)

式中，fx為輸電線上任意一點的弧垂高度；LA和LB分別表示輸電線上任意一點到始端和終端的水平距離；g為導線自重比載N/m·mm2；τ0為導線水平應力。

圖3 彎曲輸電線沿線各點坐標求解格式Fig.3 Solution scheme for the coordinates of each point along curved transmission line

1.2 彎曲輸電線的單位長度分布參數計算

由于輸電線沿線各點高度不同，按照FDTD網格劃分之后的各段輸電線單元的單位長度電容和電感分布參數亦不同。選取其中任一輸電線單元，假定單元起點和終點坐標分別為(x1,y1,h1)和(x2,y2,h2)，則輸電線單元中心點的高度為h0=(h1+h2)/2。由此，根據經驗公式[16]，輸電線單元的單位長度電容和電感分布參數由起點、終點和中心點的電容和電感分布參數求和取平均得到：

(5)

(6)

式中,ε0為自由空間介電常數；μ0為自由空間磁導率；r0為輸電線半徑。

1.3 彎曲輸電線的等效分布源項求解

由式(3)可知，彎曲輸電線的等效分布源項只由空間入射電場獲得，而與輸電線的散射場無關。因此，計算輸電線沿線電場時，可以將輸電線移除。假定入射波以任意角度入射地面，入射波的方位角、仰角和極化角分別為θ，ψ和α，有耗地面上任意位置的電場由入射波與反射波相疊加求解得到。首先，將任意極化的入射波分解為水平極化分量和垂直極化分量兩部分。然后，將水平極化電場分量和垂直極化電場分量分別乘以對應的反射系數，得到反射波的水平極化電場和垂直極化電場。最后，將入射波與反射波相疊加得到，獲得空間任意位置處的電場，空間任意位置處3個電場分量的頻域表達式[17]為：

E0(ω)[cosαsinψcosθ(ejkzsin ψ-Rve-jkzsin ψ)+

sinαsinθ(ejkzsin ψ+Rhe-jkzsin ψ)]·

e-jkxcos ψcos θejkycos ψsin θ，

(7)

E0(ω)[cosαsinψsinθ(Rve-jkzsin ψ-ejkzsin ψ)+

sinαcosθ(Rhe-jkzsin ψ-ejkzsin ψ)]·

e-jkxcos ψcos θejkycos ψsin θ，

(8)

E0(ω)cosαcosψ[ejkzsin ψ+Rve-jkzsin ψ]·

e-jkxcos ψcos θejkycos ψsin θ，

(9)

式中，k為相位傳播常數；E0(ω)為波源的頻域表達式；Rv和Rh分別為垂直極化和水平極化的菲涅爾反射系數[18]。

由于輸電線的彎曲形態，任一輸電線單元沿線的切向電場分量無法由空間電場直接獲得，需由E·el計算得到，其中E和el分別表示輸電線單元中心位置處的電場和輸電線單元的方向矢量(如圖4所示)。

圖4 輸電線沿線電場求解模型Fig.4 Solution scheme for the electric fields along transmission line

電場E的3個電場分量Ex，Ey和Ez可分別由式(7)～式(9)計算并做逆傅里葉變換得到，而el由輸電線單元起點和終點坐標計算得到，假定單元起點和終點坐標分別為(x1,y1,h1)和(x2,y2,h2)，則el表示為el=axex+ayey+azez，其中ax=(x2-x1)/rd,ay=(y2-y1)/rd,az=(z2-z1)/rd，rd為輸電線單元起點和終點坐標的直線距離。

傳輸線方程構建完成之后，采用時域有限差分法的中心差分格式進行離散，得到輸電線上沿線各點全電流和散射電壓的迭代公式為：

(10)

(11)

2 數值仿真驗證

選取戶外低壓10 kV的輸電線為算例原型，使用時域混合算法對電磁波作用地面上單根和多根斜置彎曲輸電線的電磁耦合進行數值模擬，并與矩量法的仿真結果進行對比，驗證所提算法的正確性和高效性。

無限大地面上單根斜置彎曲輸電線的電磁耦合模型如圖5所示，地面設定為PEC。輸電線始端和終端位置坐標分別為(-200,-150,10 m)和(200,150,100 m)，兩端距地高度為h=10 m，輸電線水平檔距為L=500 m，導線最大弧垂為3.14 m。輸電線選用LGJ150/25鋼芯鋁絞線，導線半徑為8.55 mm，導線兩端均接匹配負載為465.15 Ω。入射波為雷電電磁脈沖[19]，垂直照射輸電線，波形表達式為：E(t)=E0[exp(-αt)-exp(-βt)]，其中E0=51 946 V/m，α=1.1×105s-1，β=3×106s-1。

圖5 單根彎曲型輸電線的電磁耦合模型Fig.5 Electromagnetic coupling model of single curved transmission line

圖6給出了時域混合算法與MOM模擬得到的端接負載電壓響應對比曲線。為了驗證2種方法計算結果的正確性，使用特征選擇評估(Feature Selective Validation,FSV)方法[20-21]的幅值差異量(Amplitude Difference Measure,ADM)對2種方法的仿真結果數據進行誤差分析，如圖7所示。FSV方法將評估結果分成極好(Excellent,EX)、很好(Very Good,VG)、好(Good,G)、一般(Fair,F)、差(Poor,P)和較差(Very Poor,VP)6個等級。從圖7可以看出，2種方法的計算結果好以上等級的吻合度達到100%，驗證了時域混合算法的正確性。為進一步說明時域混合算法的高效性，表1給出了所提算法與MOM計算所需網格數和占用時間對比情況。由表1可以看出，時域混合算法相較于MOM節省了大量的剖分網格數和計算時間，這是因為時域混合算法無需對地面和輸電線進行直接建模。

(a) RS上電壓響應

(a) RS上電壓的ADM直方圖

表1 算例1中2種方法計算所需網格數和計算時間Tab.1 Mesh number and computation time needed for both methods in the first case

地面上多根斜置彎曲輸電線的電磁耦合模型如圖8所示，地面同樣為PEC。2根輸電線始端和終端位置坐標分別為(-200，-150，10 m),(200，150，10 m)和(-202.4，-146.8，10 m),(197.6，153.2，10 m)，兩端距地高度均為h=10 m，水平檔距為L=500 m，最大弧垂為3.14 m。輸電線選用LGJ150/25鋼芯鋁絞線，導線半徑為8.55 mm，間距為d=4 m，輸電線端接負載為RS1=RL2=RS2=RL2=454.78 Ω。入射波為雷電電磁脈沖，垂直照射輸電線，波形和角度均與算例1相同。

圖8 多根斜置彎曲輸電線的電磁耦合模型Fig.8 Electromagnetic coupling model of multiple oblique curved transmission lines

圖9為時域混合算法與MOM模擬得到的端接負載RL1和RS2的電壓響應對比曲線。同樣，利用FSV方法的ADM指標對2種方法的仿真結果數據進行誤差分析，如圖10所示。可以看到，2種方法的計算結果仍能保證85%以上的較好吻合度。同樣地，表2給出了時域混合算法與MOM計算所需網格量和計算時間的對比結果，驗證了時域混合算法模擬多根斜置彎曲輸電線電磁耦合的高效性。

(a) RL1上電壓響應

(a) RL1上電壓的ADM直方圖

表2 算例2中2種方法計算所需網格數和計算時間Tab.2 Mesh number and computation time needed for both methods inthe second case

3 結束語

針對彎曲型輸電線的強電磁脈沖耦合問題，開展了高效的時域混合算法研究。首先，根據輸電線弧垂彎曲的結構特點，基于坐標變換，推導了空間任意分布的彎曲型輸電線沿線各點的位置坐標。然后，采用Agrawal模型的傳輸線方程，構建了空間電磁場作用彎曲輸電線的電磁耦合模型，并使用FDTD中心差分格式對其進行離散，迭代求解得到輸電線沿線各點的瞬態電壓和電流響應。通過相應算例的數值模擬，并將時域混合算法的模擬結果與全波算法矩量法的仿真結果進行了對比。仿真結果表明，所提算法具有與全波仿真相同的計算精度，同時避免了對輸電線結構的直接建模，節省了大量計算時間。本文研究成果將為后續開展實際多方位輸電線網絡的電磁耦合建模研究奠定基礎。