關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的理性思考及導(dǎo)問式設(shè)計

趙士元

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)。從新課程的觀點來看，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師按照一定的教學(xué)原則，使用恰當(dāng)且符合學(xué)情的教學(xué)方法，以數(shù)學(xué)問題或具體的情境問題為載體組織的特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。解題教學(xué)不僅是求出具體的問題答案，更是幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、落實基本技能、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效手段。

由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是教會學(xué)生思考、探索和分析問題，從而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。基于這樣的認(rèn)識，筆者在多年教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上對目前解題教學(xué)中存在的問題進行分析，并就如何利用導(dǎo)問式的教學(xué)方法進行解題教學(xué)設(shè)計提出一些建議，希望對改進數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀、提升教學(xué)效率有一定的幫助。

一、關(guān)于解題教學(xué)的理性思考

解題教學(xué)的目的是以問題為載體，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思考問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，并在此基礎(chǔ)上提升其解決問題的能力。因此，問題的設(shè)置、提出，以及師生如何在問題解決的過程中扮演好各自的角色，都是需要教師用心設(shè)計和思考的。

教師自身在獲得一個問題的解答方法之前一定是有過許多思考的，這往往是教師對一個又一個相關(guān)問題的“拷問”過程。教師在對這些相關(guān)問題的思考過程中逐步明晰問題情境，最終獲得解題思路。導(dǎo)問式設(shè)計就是教師將這一思考過程中的問題形成一個“問題鏈”，幫助學(xué)生將一個陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，將一個未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。

二、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的現(xiàn)狀

現(xiàn)今的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂里將“解題教學(xué)”等同于“習(xí)題講解”的現(xiàn)象比較常見，不少教師對解題教學(xué)的理解較片面，解題教學(xué)中普遍存在著一些誤區(qū)，歸納起來有以下六個方面。

1.重“題”輕“問”

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的重要組成部分，許多教師在解題教學(xué)中把解決問題作為教學(xué)的最終目標(biāo)，過于重視題目本身，而對問題的生成、學(xué)生對問題的理解卻很少過問，師生交流也流于形式。

2.重“靜”輕“變”

在解題教學(xué)特別是試卷評講過程中，不少教師重視“靜態(tài)的教學(xué)”而忽視相關(guān)題型的整合，教學(xué)停留在“就題論題”、忽視“變式”的現(xiàn)象非常普遍，學(xué)生頭腦中的知識零亂，難以形成清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，不會舉一反三，導(dǎo)致講過的題目一錯再錯，教學(xué)陷于被動。

3.重“量”輕“質(zhì)”

這種現(xiàn)象在試卷評講過程中尤為突出，一些教師滿足于一節(jié)課中完成一份試卷的評講，講解重點不突出、主次不分，甚至一講到底，這樣的課堂高密度、高容量，忽視試題本身的考核功能，學(xué)生缺乏思維訓(xùn)練，評講氣氛沉悶，課堂效率低下。

4.重“講”輕“學(xué)”

當(dāng)前不少數(shù)學(xué)課堂過分重視教材的“神圣”地位和教師在教學(xué)中的中心地位。教師缺少對學(xué)生獨立思考的關(guān)注，缺乏對學(xué)生學(xué)習(xí)活動心理過程的關(guān)注，生本意識淡薄，教育觀念滯后。

5.重“巧”輕“常”

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中教師重視技巧而忽視通性通法的現(xiàn)象時而發(fā)生，對解題的常規(guī)性思維、合理的解題邏輯推理等關(guān)注不足。教師過度重視教授解題技巧直接導(dǎo)致了學(xué)生對數(shù)學(xué)的誤解，感覺到數(shù)學(xué)只是一些“聰明人”的“玩物”，于是讓不少自認(rèn)為“不聰明”的普通的孩子“望數(shù)學(xué)興嘆”。

6.重“正”輕“誤”

課堂教學(xué)中教師過度注重正確解法的分析，追求教學(xué)過程中的“萬無一失”，卻忽視了作為活動形式的課堂教學(xué)本身“充滿著很多變數(shù)，其中不乏錯誤信息”這樣一個基本事實。真實的課應(yīng)該是“允許學(xué)生出錯”的常態(tài)課，而不是精雕細琢的表演課。

三、有效解題教學(xué)的導(dǎo)問式設(shè)計

所謂“導(dǎo)問”，即“引導(dǎo)、設(shè)問”之義，是指通過對問題本身的研判，在啟發(fā)學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、設(shè)計問題解決的計劃，最終達到解決問題的目的。“導(dǎo)”和“問”是導(dǎo)問式解題教學(xué)的兩個關(guān)鍵點，其核心是策略層面上的“導(dǎo)”，靈魂是操作層面上的“問”。利用導(dǎo)問式的教學(xué)方法進行解題教學(xué)的關(guān)鍵是解決“導(dǎo)什么”以及“如何導(dǎo)”。下面，筆者結(jié)合典型案例從審題、析題和反思三個層面，論述導(dǎo)問式解題教學(xué)的實施策略。

1.讀題審題，在導(dǎo)問過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言間的相互轉(zhuǎn)譯

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。”作為語言學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)閱讀，可以說數(shù)學(xué)閱讀能力的高低已成為衡量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一個重要指標(biāo)。

解題教學(xué)理所當(dāng)然地承擔(dān)著數(shù)學(xué)閱讀的重任，波利亞在《怎樣解題》中明確將數(shù)學(xué)解題分成若干個部分，其中讀題審題是第一步，學(xué)生只有在讀懂題、審清題的基礎(chǔ)上才能著手思考數(shù)學(xué)問題。解題教學(xué)中的讀題審題實際上就是讓學(xué)生學(xué)會用生活化的語言理解數(shù)學(xué)問題以及用數(shù)學(xué)化的語言理解生活問題。

【實例】（山東省2022屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測卷第22題）

等價轉(zhuǎn)化問題，讓學(xué)生明確“讀題”的重要性，認(rèn)識到一些問題的設(shè)置往往具有一定的“欺騙性”，這有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

2.剝繭抽絲，讓學(xué)生在導(dǎo)問的過程中學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣思考問題

許多教師在解題教學(xué)過程中不注意對解題思路的引導(dǎo)，這樣學(xué)生在獨立解題過程中必然會按教師的套路出牌，一旦出現(xiàn)新的情境學(xué)生往往會茫然不知所措。筆者認(rèn)為導(dǎo)問式解題教學(xué)可以有效地改變這種局面。

以實例中的第（2）小題為例，教師可以請學(xué)生思考以下問題。

（1）本題的解題目標(biāo)是什么？暗示著什么信息？（2）以線段PQ為直徑的圓是一個動圓，是什么因素導(dǎo)致它在“動”？（3）M、N兩個點主要受什么影響？（4）至此，你認(rèn)為要解決此題需要做什么？（5）以P、Q為直徑端點的圓的方程是什么樣的？由此，需要做什么準(zhǔn)備工作？

隨后，教師在理清這些小問題的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生設(shè)計解題計劃：（1）設(shè)直線MN的方程，并與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去y得方程f（x）=0；（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2是f（x）=0兩個不實根，可得x1+x2，x1·x2；（3）用x1，y1，x2，y2表示P、Q的坐標(biāo)并用斜率k表示x1+x2，x1·x2和y1+y2，y1·y2；（4）用k表示出以PQ為直徑的圓方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0并適當(dāng)化簡；（5）根據(jù)方程特點尋求定點。

設(shè)計這些小問題的目的是在一個較為復(fù)雜陌生的目標(biāo)問題與簡單熟悉的題設(shè)或條件之間建立橋梁，便于學(xué)生順利地從題設(shè)走向目標(biāo)。如果教師能在平時的解題教學(xué)中經(jīng)常性地使用“導(dǎo)問”的方式幫助學(xué)生思考問題，那么學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力一定會得到持續(xù)提升。

3.題后回顧，讓學(xué)生在導(dǎo)問過程中學(xué)會反思

所謂解題反思，就是解題后對解題過程中所涉及的數(shù)學(xué)概念、基本知識和基本能力進行回顧，驗證結(jié)論的合理性，并對解題思路、所用知識點以及數(shù)學(xué)思想進行反思。

解題反思是解題教學(xué)活動不可缺少的過程。在平時的教學(xué)過程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真反思，改進解題過程、探討知識聯(lián)系、探究解題規(guī)律。這對提高解題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有非常積極的推動作用，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。如在按解題計劃解完實例中的第（2）小題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生進行如下反思。

反思一：設(shè)直線MN的方程時需要什么條件？題目條件中是否隱含著這一條件？如果沒有，需要我們做什么后補性工作？

反思二：直線x=4是什么直線？這對解本題有沒有什么特殊作用？今后解題時要注意什么？

反思三：在求出圓方程前為什么要先用斜率k表示三個式子？

反思四：研究動曲線過定點問題通常是怎樣處理的？在得到含參動曲線方程后如果無法看出其動點時，可采用什么方法研究？

波利亞在《怎樣解題》一書中明確提出“理解問題、擬定計劃、實施計劃、回顧檢驗”是解題的四個必不可少的基本步驟。對實施解題計劃進行導(dǎo)問式反思，既是對解題過程可行性和可操作性的再次思考，更是優(yōu)化解題計劃、使學(xué)生的思維得到升華的必要途徑。

四、結(jié)語

在解題教學(xué)過程中，教師不應(yīng)滿足于學(xué)生“學(xué)會”，更不要滿足于學(xué)生“聽懂”，而應(yīng)通過對問題的分析及思維的引導(dǎo)，讓學(xué)生從“學(xué)會”走向“會學(xué)”。

首先，在解題的第一步驟“審題”中，教師不應(yīng)將“審題”狹義地理解為“讀題”，而應(yīng)通過“導(dǎo)問”的方式對問題題設(shè)和條件進行分析，讓學(xué)生明確題目以及題設(shè)條件所給出的信息，這有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的解題“題感”。

其次，通過導(dǎo)問的方式幫助學(xué)生在題設(shè)和結(jié)論之間架設(shè)通道是提升學(xué)生問題解決能力的有效途徑。導(dǎo)問式例題教學(xué)通過對“問題鏈”中一個又一個小問題的分析研究，引導(dǎo)學(xué)生體會解題的原生態(tài)思維，從而逐步提高解題能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，教會學(xué)生真正用數(shù)學(xué)的思想思考問題。解題教學(xué)的目的不是教給學(xué)生一些靈機一動的“奇思妙想”，而是教會學(xué)生在題設(shè)和目標(biāo)之間進行“步步為營”的精致設(shè)計。