例析代換法解高中數學題的不同應用思路

李浩生

(新疆巴州庫爾勒市第三中學)

代換法是通過變換研究對象使問題得到簡化的一種方法,是高中數學中重要的解題方法.代換法在具體問題解答過程中有著不同的方式,如常見的和差代換、整體代換以及三角代換.合理地運用代換法能解答函數、解三角形、方程等不同類型的問題.本文結合例題進行分析,總結利用代換法解題的具體思路.

1 和差代換解題

當問題中含有形如a＋b＝2A的已知條件時,可以考慮采取和差代換求解問題.根據所給條件a＋b＝2A,假設a＝A＋d,b＝A-d,將其代入已知的關系等式中,轉化為與A,d有關的等式.再根據具體等式求出d的大小,通過運算即可得到問題的答案.

和差代換解題往往需要在a＋b＝2A這個前提條件存在的情況下進行,若問題中給出的條件較少,則需要自主尋找其他關系式.在運用和差代換解答與三角函數或三角形有關的問題時,應注意角度的選取范圍,避免錯解和漏解的情況出現.

2 局部代換解題

利用局部代換的關鍵在于將局部或整體運用一個變量代換,從而使解題過程得到簡化.具體的解題思路為借助問題的已知條件,將問題所求的局部看成新變量t,用t表示已知等式和問題所求表達式,再將問題等價轉化為求解與t有關的函數值域問題,即可得到問題所求答案.

局部代換是常見的代換思路,通過引入新變量使問題中未知變量個數減少,達到簡化問題的目的.

3 三角代換解題

三角代換的運用,關鍵在于把問題轉化為與三角函數相關問題進行解答,其解題的具體思路為分析問

應用三角代換解題的前提是已知解析式和三角函數公式有一定的相似度,若不能直接找到問題所求表達式與三角函數之間的聯系,可以對其進行構造,間接進行代換.

4 增量代換解題

增量代換是在原有條件的基礎上增加新變量t,使陌生、復雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題.具體思路為根據已知的不等式a≥b,引入變量使其轉化為等式a＝b＋t,借助已知不等式求出新變量t的范圍,再將問題所求的解析式用新變量表示,根據新變量的范圍進行求解.

5 常量代換

常量代換通常是把常數代換為未知變量,進而簡化關系式.具體的解題思路為根據已知條件或常見的公式,將所求表達式中的常數代換成變量,再根據簡化的表達式,求對應的范圍大小即可.

常量代換經常借助問題所給條件或一些熟知的公式進行代換,將常數替換為變量后,再借助基本不等式求解范圍.

代換法的代換形式千變萬化,解題時應根據不同的問題采用合適的代換方法,要掌握常見的代換方法,還要對問題進行歸納總結,才能拓寬解題思路,提升解題效率.