平面向量問題分類討論例析

朱子琨

(甘肅省天水市第十中學)

對于平面向量問題,由于它具有“數”與“形”的雙重特性,求解時往往需要對原問題進行分類討論,以達到完整解決問題的目的,這就是數學解題中最常用的分類討論思想.下文結合具體實例探討平面向量問題中的分類源自哪里,談談分類討論思想在解平面向量問題中的應用,供讀者參考.

1 因向量的方向不確定分類討論

解題時需要討論向量是否共線,同時,當已知兩個向量平行或共線時,往往需討論它們的方向是同向還是反向,否則解答過程不嚴密、也不完整,容易丟分.

例1 求證:

|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

分析 在本題中,向量a與b可能共線,也可能不共線,所以解題時應分別加以討論.

證明 若向量a,b共線.

當向量a,b共線且方向相同時,則

所以|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

當向量a,b共線且方向相反時,則

所以|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

若向量a,b不共線,如圖1所示.

圖1

解答本題容易犯的錯誤就是“顧此失彼”,從而導致證明不嚴密.對于平面向量證明題,一般可采取數形結合的方法,以確保討論問題的完整性.

在求有向線段分點坐標時,不必過分強調公式記憶,可以轉化為向量問題后解方程組求解,同時應注意分類討論.

2 因向量的位置關系不確定分類討論

平面向量既有大小又有方向,它的起點與方向確定了它的位置.對于某些平面向量中的定性問題,當向量位置不確定時需分類討論.

例3 已知向量a,b,則對于向量c,若滿足a＋b＋c＝0,那么能說明表示a,b,c的有向線段構成三角形嗎?

分析 題中沒有告訴我們向量a與b是否平行,此外這兩個向量也有可能是零向量,故需要分3種情形加以討論.

解 如果向量a與b中至少有一個向量是零向量,那么它們無法構成三角形;

如果a與b平行,那么無論它們是同向還是反向,都無法構成三角形;

圖2

判斷幾個向量能否構成幾何圖形,既要考慮向量的方向,又要看向量的模長,滿足時可以直觀畫出滿足條件的幾何圖形.解答這類問題時應考慮特殊情形,否則極易造成漏解或解題不嚴密的現象.

3 因參數不確定分類討論

當平面向量的題目中含有參數時,由于參數的范圍沒有確定,所以也需要分類討論.這類問題往往以向量運算為途徑,最終轉化為含參函數問題,尤其是轉化為二次函數含參問題.

分析 先根據條件求出a·b及|a＋b|,把它們代入f(x)得到以cosx為自變量,且含有參數λ的函數f(x).由函數解析式知,要求該函數的最小值,必須要對參數λ進行分類討論.

解 (1)由已知條件可得2cosx.

(2)f(x)＝cos2x-4λcosx＝2(cosx-λ)2-1-2λ2.

當λ＜0 時,當且僅當cosx＝0 時,fmin(x)＝-1,與已知矛盾.

對于含有參數問題,必須注意取不同的參數值是否產生不同的結果,解答時要有分類討論的意識.

總之,分類討論的思想是數學解題常見的重要思想.應用這種思想的關鍵是對需解決的問題進行正確分類,分類要堅持科學合理、互斥、無漏和最簡的原則,保證分類的科學性與有效性.對于平面向量問題來說,分類討論歸根到底是由向量的方向與大小的不確定性引起的,當含有參數時,還要關注參數是否需要分類討論.

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