借助“局部整體化”思想,巧解三角函數題

李先鋒

(甘肅省白銀市平川中恒學校)

“局部整體化”思想是指為了便于分析、解決某些與代數式緊密相關的數學問題,需要將局部代數式看作一個整體(往往可進行換元處理),這樣有利于根據相關理論知識使問題獲解.一般地,處理有關y＝Asin(ωx＋φ),y＝Acos(ωx＋φ),y＝Atan(ωx＋φ)型三角函數問題的有效途徑就是靈活運用“局部整體化”思想.具體解題時,首先需要將“ωx＋φ”看作一個整體,然后再靈活運用對應三角函數y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的圖像與性質進行求解.請讀者結合以下歸類解析認真領會.

1 求三角函數的最值、值域

2 求三角函數的單調區間

一般地,當A＞0,ω＞0 時,我們只需將“ωx＋φ”看作一個整體,直接靈活運用y＝sinx的單調區間,即可得出函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間;直接靈活運用y＝cosx的單調區間,即可得出函數y＝Acos(ωx＋φ)的單調區間;直接靈活運用y＝tanx的單調區間,即可得出y＝Atan(ωx＋φ)的單調區間.

3 求三角函數的對稱中心、對稱軸

綜上,通過歸類舉例解析可知靈活運用“局部整體化”思想,有利于幫助我們順利求解正弦型、余弦型以及正切型有關三角函數問題,體驗由特殊到一般的解題推廣過程,進一步提升直觀想象、數學運算方面的核心素養.