樸實亦有精華處
——2022年浙江卷第17題解法分析與探究

計惠方 陸權(quán)烽

(浙江省湖州市濱湖高級中學(xué))

1 試題展示與定位

背景評價 粗看試題樸實無華,通過試題的解析和深度研究,可以更清晰地感受到試題的深遠(yuǎn)立意和豐富內(nèi)涵.它既傳承了重基礎(chǔ)、重本質(zhì)、貼近中學(xué)數(shù)學(xué)實際的“浙江風(fēng)格”,又在關(guān)注概念和理解、問題與轉(zhuǎn)化、變化與確定等方面實施了創(chuàng)新.細(xì)細(xì)品味、深深思考此題可以感受到題目更深刻的價值和意義.

考查知識 單位圓、正多邊形、向量運算、動點問題等.

思想方法 數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、向量的坐標(biāo)表示等.

考點地位 平面向量是高考填空題中最后一題的常客,是考查熱點.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2022年修訂)》中指出要“掌握平面向量加減運算及運算規(guī)則”“掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則”“會用坐標(biāo)表示向量的加減運算與數(shù)乘運算”,這說明對向量運算的要求不止為“理解”而是“掌握”.

設(shè)計意圖 本題以單位圓為基礎(chǔ)搭配正八邊形,在這個常見的幾何圖形上考查向量的平方和問題,綜合考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的能力.

2 題意闡述與分析

3 解法研究與呈現(xiàn)

3.1 坐標(biāo)法

分析 由于單位圓與正八邊形都是對稱的幾何圖形,所以可以從建坐標(biāo)系的角度出發(fā)解決本題.

解 以圓心為原點,A7A3所在直線為x軸,A5A1所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖1所示,則

圖1

3.2 向量法

圖2

4 題目推廣

圖3

圖4

5 變式練習(xí)

圖5

6 小結(jié)

對于同一道題目,從不同的視角去觀察,可能會得到不同的啟發(fā),學(xué)生的思維在不同的角度下與已有的知識儲備相碰撞,可能會出現(xiàn)多種解法.一道題目的解法可能有繁有簡,但這對訓(xùn)練學(xué)生的思維發(fā)散能力是有幫助的.

此題在兩個簡單的幾何圖形(單位圓和正八邊形)結(jié)合的基礎(chǔ)上,搭配向量的平方和問題.學(xué)生能從多個角度出發(fā)思考本題,例如,在涉及圓的問題時,經(jīng)常會借助圓心解決問題,同時單位圓以及正八邊形都是對稱圖形,對稱圖形又啟示我們可以從坐標(biāo)的角度嘗試解決問題.

學(xué)生在解題時經(jīng)常感覺難以下手,有時毫無頭緒,覺得不知道用什么方法,有時感覺有很多方向但是不知道哪種方法能解決問題.本題提示教師要在平時的解題教學(xué)中,注重引導(dǎo)學(xué)生從題干線索中找到和已有知識儲備發(fā)生碰撞的“線頭”,從而抽絲剝繭,解決問題.