波紋度誤差對滾動軸承振動特性的影響

田富文

（重慶交通大學 機電與車輛工程學院，重慶 400074）

因滾動軸承有著軸向體積小，摩擦力矩小，啟動所需力矩小等優點，被廣泛應用于航天航空、汽車變速箱、礦山機械、蒸汽輪機等眾多設備的支撐零部件。滾動軸承作為支撐回轉的重要零部件，其運行精度和可靠性對整個傳動系統的安全和效率起著決定性作用。在航天航空領域，滾動軸承一旦有微小振動或其他故障就會導致飛行的的不穩定，甚至會造成機毀人亡重大事故。

Zhang等[1]在考慮滾動體局部故障和內外圈矩形故障的耦合情況下，建立了滾動軸承的4自由度的動力學模型，研究了徑向載荷、軸的轉速、故障尺寸對軸承的動態響應的影響；Patil[2]在考慮了內外圈局部故障的情況下，建立了軸承內圈2自由度的振動方程，研究了缺陷尺寸和缺陷的初始相位對軸承振動的影響；Shi[3]考慮了保持架和滾動體的非線性接觸力和摩擦力以及油膜厚度，建立了包括滾動體、保持架、內外圈在內的11自由度的動力學模型，研究了軸承的徑向間隙、輸入軸轉速、徑向載荷對軸承振動的影響；Liu[4]考慮了矩形故障引起的尖峰并引入故障函數來表示故障類型，用分段函數表示時變接觸剛度，建立了關于內外圈的動力學微分方程，并求解了其動態響應。余光偉[5]以深溝球為研究對象，建立了考慮表面波紋度誤差的軸承動力學模型，并分析了不同轉速下的軸承的動態響應；徐東[6]建立了單表面故障的軸承動力學模型，并考慮了非線性接觸力，最后求解了軸承的動態響應。Zhang[1]建立了滾動軸承5自由度的動力學模型，考慮了5種不同矩形故障缺陷對軸承的動態響應的影響，最后通過實驗證明了提出的故障模型的正確性。

通過上述文獻可以看出，滾動軸承的研究內容主要是考慮其故障對動態特性的影響，故障主要分為局部故障和分布式故障；局部故障一般處理為一個矩形缺口，通過引入分段函數來模擬軸承通過故障時所引起的位移的變化[7]；而分布式故障又包括圓度誤差和波紋度誤差，圓度和波紋度是由于制造和加工誤差分別引起的軸承圓度的不規整和軸承表面的不光滑[8]。這兩種現象受加工精度的影響和人為因素的影響，是不可避免的，會對軸承的動態響應和振動特性產生影響。由于對這方面的研究較少，因此，綜合考慮了軸承內外圈的表面波紋誤差，建立了關于內外圈4自由度的動力學微分方程，研究了不同波紋幅值的變化、不同徑向間隙變化對軸承振動響應的影響。

1 軸承故障模型

滾動軸承轉作為支撐回轉的精密性零件，其裝配精度和制造精度會影響整個系統的響應。由于軸承在加工過程中，其內外圈滾道的表面粗糙度不可能是絕對光滑的，因此會導致軸承每次通過不光滑表面都會產生一次振動沖擊；另外一種原因就是，軸承圓度受制造誤差的影響，會導致軸承在運行過程中側隙的不斷改變，進而產生沖擊。因此，為了考慮以上兩種類型的沖擊，模擬滾動軸承存在制造誤差和裝配精度誤差的情況下，更好的反應真實條件下的軸承運轉，建立了考慮軸承內外圈分布式故障的故障模型。其故障模型如圖1所示。

圖1 內外圈滾道波紋

滾動軸承作為精密的軸系支撐回轉類零件，由于本身的材料屬性和制造加工中所存在的誤差，會使內外圈滾到產生微小的凸起或者凹陷，這種誤差會使滾動體每次經過此缺陷所在的位置，都會產生一次沖擊和額外的振動，如果此誤差造成的沖擊頻率和其他支撐回轉類零件的固有頻率重合，將會產生共振，嚴重影響滾動軸承的運行，并且可能產生疲勞破壞。因此，為了探究滾動軸承表面波紋度對滾動軸承振動特性的影響，對滾動軸承表面波紋度進行建模。

具體波紋度的數值[6]參可見參考文獻，表面波紋可以考慮為脈沖函數，在每個滾子接觸到外圈上的波紋時候，都會引起軸承的間隙的改變，從而引起軸承的振動，其表達式可以寫成：

式中：Aoi代表波紋的幅值，n代表波紋的總數，ωi為內圈的旋轉角速度，ωc為保持架的旋轉角速度，Z為滾動體個數，βli代表波紋的初始相位，j為滾動體。

根據上述內圈的波紋度表達式，可以類比推導出外圈波紋表達式可以寫為：

式中：Aij代表波紋的幅值，n代表波紋的總數，ωo-ωc代表外圈相對于保持架的旋轉頻率，Z代表滾動軸承的總球數，βij代表波紋的初始相位，j表示為第幾個滾動體。

對于第j個滾動體的位置可以計算為：

式中，ωc為保持架的旋轉速度，φt0為第j個滾動體的初始相位角。

由于忽略了滾動體的離心力和陀螺力矩，根據滾動軸承的受力分析可以推導出滾動軸承的變形協調方程，取第j個滾動體為研究對象，因此第j個滾動體與內圈的接觸變形可以表示為：

式中，γ表示軸承的初始間隙，P為軸承的表面波紋度誤差和圓度誤差函數。

因為滾動軸承在運動過程中會出現承載區和非承載區，當滾動體在非承載區的時候，是不會產生接觸變形，因此此時的軸承的接觸力也為零[9]，為了描述滾動軸承在承載區和非承載區的的變化，引入判斷函數H（j）：當δj＞0，H（j）等于1；當δj≤0時，此時H（j）等于0。

根據赫茲接觸理論可以求出滾動體與內外圈的接觸力：

式中，K表示為變形系數，n為接觸系數。

因此，可以得出滾動軸承在水平和垂直方向的非線性接觸力：

2 軸承的動力學模型

本研究的軸承型號為深溝球軸承，并對其做出以下假設：

（1）滾動體在運動過程中只考慮滾動且忽略打滑現象。

（2）忽略保持架和滾動體在運動過程中的摩擦效應。

（3）將滾動體等效為彈簧和阻尼。

（4）忽略滾動體的質量。

根據參考文獻[10]建立的滾動軸承動力學模型，為了研究滾動軸承的動力學特性，對滾動軸承外圈固定，內圈與輸入軸相連接并做旋轉運動，考慮內圈和外圈在x，y方向的振動，基于牛頓第二定律，建立關于軸承內圈和外圈的振動微分方程：

式中：xi，yi分別帶代表軸承內圈和轉軸在x，y方向的振動位移；xo，yo分別代表為軸承外圈和軸承座在x方向和y方向的振動位移；mi為軸承內圈和轉軸的質量；mo為軸承外圈和軸承座的質量；mr為諧振器的質量；ci為轉軸的阻尼；cp為軸承座的阻尼；cr為彈簧的阻尼；ki為轉軸的支撐剛度；ko為軸承座的支撐剛度；kr為彈簧系統的剛度；fx和fy分別為軸承在x方向和y方向上的非線性支撐力。

軸承的詳細參數見表1。

表1 深溝球軸承參數

3 結果與討論

為了分析軸承的動態特性變化，基于上述的動力學方程，通過采用MATLAB中的定步長四階龍格庫塔法求解軸承的動態響應，內圈和轉軸的總質量M為2 kg，外圈與軸承座的總質量為10 kg；阻尼為100 N·s/m；滾動體與內外圈的接觸剛度為6.6×108n/m，軸承的輸入轉速為600 r/min，通過求解軸承運動的微分方程，可以得到軸承內外圈的振動位移。

為了和滾動軸承內外圈存在波紋度故障時的動態響應形成對比，先對滾動軸承進行無故障分析，取輸入轉速為600 r/min，從圖2可以看出，當滾動軸承無故障時，軸承外圈的振動具有周期性變化，因為軸承的滾動體均勻地排列在保持架上，軸承各個滾動體的時變位置角也具有規律性。此時軸承外圈在x方向上的振動位移大小為1.2553×10-4m。

圖2 無故障時滾動軸承x方向的振動位移

為了分析軸承加工誤差和制造誤差造成表面的不光滑特性和軸承圓度對軸承動力學響應的影響，分別引入波紋度函數來模擬誤差，分別取波紋度幅值為10 μm來探究對軸承的動力學特性的影響，輸入轉速為600 r/min。

圖3 波紋幅值為10 μmx方向的振動位移

當幅值為10 μm時，輸入轉速為600 r/min，軸承的振動位移如圖（2）所示，此時軸承外圈在x方向振動位移的幅值4.86×10-4m，波紋度幅值通過影響軸承的接觸變形進而影響軸承的接觸力，在接觸剛度確定的條件下，當總的接觸變形增大，內圈的振動位移會增加，導致軸承的振動位移增大。通過以上分析表明，波紋度幅值的改變對軸承的周期性振動沒有改變。當波紋度幅值變大時，軸承的振動位移幅值增大。

軸承在裝配過程中，都必須考慮到間隙的大小。當徑向間隙數值超過出廠標準時，會造成軸承在運轉過程中產生多余的晃動，使回轉精度減小，還會產生振動和噪音，影響整個傳動系統的運行安全可靠性；當徑向間隙過小時候，軸承的會產生預緊力，此時的承載力較小，會使軸承的疲勞極限降低，軸承的使用壽命下降。因此，為了探究軸承的徑向間隙對軸承的動力學的影響，取徑向間隙為10 μm探究軸承的振動響應。

同樣取輸入轉速為600 r/min，徑向間隙為10 μm求解軸承的動態響應，由圖3可以看出，軸承振動位移的周期沒有改變，軸承的振動位移的幅值增大到3.8×10-4m；軸承的振動曲線比較穩定，沒有劇烈的波動。

通過對比圖2、圖3和圖4可以發現，滾動軸承存在波紋度和徑向間隙誤差時，由于滾動體等距且規則地排列在保持架上，軸承振動位移的周期是穩定的，存在波紋度誤差和徑向間隙時外圈在x方向上的振動位移相較于無故障時有所增大。當軸承的徑向間隙和波紋度幅值增加時，輸入轉速一定的情況下，軸承的間隙和波紋度幅值越大，軸承的接觸總變形越大，軸承的接觸力增加。一定情況下，軸承的振動位移的幅值隨著軸承間隙和軸承的波紋度幅值增大而增大。

圖4 徑向間隙為10μm時x方向振動位移

4 結語

滾動軸承的回轉精度對傳動系統的運行起著至關重要的作用，但是由于制造誤差和材料本身的粗糙度誤差，滾動軸承的內外圈表面不可能存在絕對光滑。為了探究軸承表面波紋和圓度誤差對軸承動態特性的影響，通過脈沖建立了軸承的波紋、圓度誤差模型，基于牛頓第二定律建立了滾動軸承內外圈的動力學模型，通過MATLAB格庫塔法求解了軸承內外圈的振動微分方程，并分析了不同工況下軸承的振動響應。

通過引入軸承表面波紋脈沖函數，在考慮徑向間隙和軸承非線性接觸力的影響下，建立了軸承內外圈4自由度微分方程，求解軸承的動態響應。

在軸承輸入轉速一定的情況下，當徑向間隙和波紋度幅值增加時，內外圈的總接觸變形增加，軸承接觸剛度一定的情況下，軸承的振動位移增加，因此外圈在x方向上的振動位移隨著徑向間隙和表面波紋度幅值的增加而增大。

軸承在加工和制造過程中要控制軸承的表面加工精度，合理的分配軸承的徑向間隙，以降低軸承在運行過程中的振動。