經(jīng)歷建模過程 感悟數(shù)學(xué)方法
——“植樹問題”教學(xué)診斷及建議

○王永成

“植樹問題”就是通過解決一些簡單的實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)解決問題的策略和重要的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生在解決問題過程中探索規(guī)律、建立模型和尋找有效方法的能力。可在實(shí)際教學(xué)中，教師要么先給出公式，分類探究，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用，進(jìn)行拓展訓(xùn)練；要么讓學(xué)生猜一猜、數(shù)一數(shù)、算一算，然后立即歸納總結(jié)公式，利用公式解決問題。不管哪種教學(xué)方式，教師都把教學(xué)重點(diǎn)放在了公式上，至于自主建模、感悟方法等教學(xué)目標(biāo)卻被忽略了。

片段一：情境引入

師：同學(xué)們，3月12日是什么日子？

生：植樹節(jié)。

師：大家會(huì)植樹嗎？生活中怎么植樹？今天，我們對植樹問題進(jìn)行深入研究。我們要想知道在一條小路上種幾棵樹，需要什么條件？

生：得知道這條小路有多長。

師：這也就是說，我們要知道全長。那還需要知道什么？

生：每隔幾米種一棵。

師：每隔幾米種一棵，這叫間隔。有了全長、有了間隔，我們能求什么？

生：我們能求種的棵數(shù)。

師：大家說該怎么列式？

生：全長÷間隔=棵數(shù)。

師：全長除以間隔應(yīng)該等于間隔數(shù)。剛才，同學(xué)們都說全長除以間隔等于棵數(shù)，間隔數(shù)和棵數(shù)究竟有怎樣的聯(lián)系呢？我們通過一道題來研究一下。

診斷分析：教師通過植樹節(jié)、如何植樹，揭開了本節(jié)課的序幕。“要想知道在一條小路上種幾棵樹，需要什么條件？”接著介紹全長、間隔和間隔數(shù)。“有了全長，有了間隔，求種的棵數(shù)，該怎么列式？”學(xué)生認(rèn)為：全長除以間隔就等于棵數(shù)。這本是學(xué)生的真實(shí)想法，也是研究植樹問題的思維起點(diǎn)。可授課教師卻視而不見、充耳不聞，直接出示：全長÷間隔=間隔數(shù)。并由此啟發(fā)學(xué)生思考：間隔數(shù)和棵數(shù)究竟有怎樣的聯(lián)系呢？然后讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案，深入探究。

表面上看，教師從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)全長、間隔、間隔數(shù)這幾個(gè)重要概念以及它們之間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生自主探究。可實(shí)際上，學(xué)生尚未經(jīng)歷建模過程，教師便把公式呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生不費(fèi)吹灰之力便得到了“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。接下來，學(xué)生只要利用模型按圖索驥，便能順利地完成教師的意愿。試問：這樣的探究有何意義？

片段二：探究發(fā)現(xiàn)

師：教學(xué)樓前有一條40米長的小路，我們要在這條小路上整齊地種一排小樹。請你來設(shè)計(jì)一下。這里面有你需要的條件嗎？

生:40米的小路是全長，可是沒有間隔。

師：請你來設(shè)計(jì)，你要選擇間隔幾米種一棵樹呢？

（學(xué)生選擇間隔6米、5米、10米、8米……）

師：我們就選擇間隔5米、10米、8米來研究，可以有多種設(shè)計(jì)方案。拿出你的設(shè)計(jì)圖，開始設(shè)計(jì)吧！設(shè)計(jì)好后把你的方案在小組中說一說。

師：（將學(xué)生的作品雜亂無章地貼在黑板上）這是同學(xué)們的設(shè)計(jì)方案，感覺怎么樣？

生：感覺很亂。

師：那該怎么辦呢？

生：給它們分類。將黑板上的方案按間隔進(jìn)行分類，間隔相同的排成一列。

師：現(xiàn)在就以這組為例，小路的全長是40米，間隔是10米，我們得到的間隔數(shù)是多少？

生:40÷10=4。

師：把40米長的小路平均分成4段，得到4個(gè)間隔。可是，這些方案中，有的種5棵，有的種3棵，還有的種4棵。間隔數(shù)相同，為什么種的棵數(shù)不一樣呢？

生：我是兩端都種的，一個(gè)間隔一棵樹，再加上最后這棵，得出的是5棵樹。40÷10=4，4+1=5（棵）。

生：我是只種一端，最后那棵沒種，所以得出的是4棵樹。40÷10=4（棵）。

生：我是兩端都不種，種了3棵樹。40÷10=4，4-1=3（棵）。

師：剛才這3名同學(xué)有3種不同的設(shè)計(jì)方案。那后面這些間隔5米、8米的設(shè)計(jì)方案和它們相同嗎？請把相同的找出來，排成一排。

診斷分析：授課教師讓學(xué)生自由選擇間隔來設(shè)計(jì)植樹方案，第一名學(xué)生選擇了間隔6米，教師略顯尷尬，并對此置之不理，讓其他同學(xué)繼續(xù)選擇。最終，教師還是限定選擇5米、10米、8米的間隔進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)方案。然后讓學(xué)生展示方案，進(jìn)行分類，并以間隔10米為例，讓學(xué)生講解兩端都種、只種一端和兩端都不種的計(jì)算方法。最后，再按三種不同的種樹方式重新排列，重新歸類。經(jīng)過兩次分類，得出了“植樹問題”的規(guī)律。

表面上看，這樣的教學(xué)具有開放性，體現(xiàn)了自主、合作、探究的教學(xué)理念。實(shí)際真的是這樣嗎？讓學(xué)生在一條40米長的小路上種一排樹，學(xué)生的思維起點(diǎn)在哪兒？我曾對本校同年級學(xué)生進(jìn)行過調(diào)查：選擇兩端都種的學(xué)生占87.5%，選擇只種一端的學(xué)生占2.5%，選擇兩端都不種的學(xué)生占10%。也就是說，即使沒有教師的干預(yù)，大多數(shù)學(xué)生也會(huì)選擇“兩端都種”。

因此，在教學(xué)“植樹問題”時(shí)，一定要遵循學(xué)生的思維起點(diǎn)，按照學(xué)生的思維習(xí)慣開展教學(xué)，這樣才能激發(fā)學(xué)生探究的興趣。

片段三：總結(jié)運(yùn)用

師：請同學(xué)們看第一排的設(shè)計(jì)方案，有什么共同之處？

生：第一排的設(shè)計(jì)方案是兩端都種的，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

師：第二排的設(shè)計(jì)方案呢？

生：兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：那第三排的呢？

生：一端種一端不種，棵數(shù)=間隔數(shù)。

師：同學(xué)們通過探究，得出了規(guī)律，我把這些規(guī)律都寫到了黑板上。現(xiàn)在，我們能不能運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題呢？

出示：在學(xué)校60米的小路一側(cè)，每隔3米擺一盆花（兩端都擺）。一共可以擺幾盆？

生:60÷3=20（盆）。

師：這20是什么呢？

生:20是一共可以擺幾盆花。

師：有的同學(xué)舉手了，你想說什么？

生:20應(yīng)該是間隔數(shù)。求一共可以擺幾盆花，還應(yīng)該加1，也就是20+1=21（盆）。

出示：60÷3=20（個(gè)），20+1=21（盆）。

師：老師寫20個(gè)可以嗎？

生：可以。

師：以前學(xué)習(xí)“植樹問題”時(shí)，我讓同學(xué)們在網(wǎng)上搜相關(guān)習(xí)題，大家搜出來的卻是電線桿、爬樓梯、擺花盆、鋸木頭等問題，這是為什么呢？表面上看這些問題跟植樹沒有任何關(guān)系，其實(shí)都能用“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型來解決。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：曲線上的植樹問題和直線上植樹的方法一樣嗎？然后演示講解曲線上的植樹問題，最后由曲線上的植樹問題又延伸到平面植樹問題。

診斷分析：教師根據(jù)重新歸類后的設(shè)計(jì)方案，引導(dǎo)學(xué)生觀察、總結(jié)出3種不同的植樹方式，然后讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律解決問題。在短短的40分鐘時(shí)間里，授課教師不僅引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了直線上的植樹問題，以及由此衍生出的電線桿、爬樓梯、擺花盆、鋸木頭等問題，還學(xué)習(xí)了曲線上的植樹問題，又延伸到平面植樹問題。這樣大容量的課堂教學(xué)，學(xué)生真的能接受嗎？

從教學(xué)效果看，60÷3=20，到底是20個(gè)還是20盆，學(xué)生依然模糊不清；雖然總結(jié)了規(guī)律，但學(xué)生只是盲目地套用規(guī)律，不能正確地運(yùn)用規(guī)律來解決實(shí)際問題。至于曲線上的植樹問題、平面植樹問題，更是走馬觀花，學(xué)生能否理解就不言而喻了。這樣教學(xué)“植樹問題”，給人的感覺就是：貪多嚼不爛，必是夾生飯，量大填鴨，難以消化，更不用說讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程、體會(huì)數(shù)學(xué)思想了。

縱觀本節(jié)課，教師從一開始就是奔著傳授知識(shí)來的。教師按著自己的意圖把所思所想傾囊相授，毫無保留。然而，這樣的教學(xué)真的好嗎？學(xué)生能夠掌握所傳授的知識(shí)嗎？細(xì)細(xì)品味，迷失初衷。

教學(xué)建議：

教材中，“植樹問題”是通過現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，從而滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)“植樹問題”時(shí)，我們要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循低起點(diǎn)、小步伐、慢節(jié)奏的原則，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)方法。

1.循序漸進(jìn)，建構(gòu)模型。

教學(xué)“植樹問題”時(shí)，我們可以由簡入繁，循序漸進(jìn)，建構(gòu)模型。課伊始，教師利用手指操、結(jié)繩計(jì)數(shù)、鋸木頭等游戲，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)間隔、間隔數(shù)，并由此引入新課，讓學(xué)生解決實(shí)際問題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵（兩端都種）。一共要種多少棵？在學(xué)生自主探究時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用小棒或小樹圖片在線段上擺一擺，看看到底能種多少棵。然后，再用線段圖表示剛才的種樹情況，讓學(xué)生初步感知規(guī)律，列出算式。最后，教師將小路延長至40米、60米、100米，間隔不變，讓學(xué)生合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，從而建構(gòu)出兩端都種的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=全長÷間隔+1。

2.滲透思想，感悟方法。

學(xué)生通過擺一擺、畫一畫、說一說建構(gòu)了兩端都種的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=全長÷間隔+1。在此，教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，質(zhì)疑研討：全長除以間隔等于間隔數(shù)，怎么能和棵數(shù)相加呢？為什么要加1？這個(gè)1指的是什么？通過質(zhì)疑研討，學(xué)生真正感悟到間隔數(shù)和棵數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系，利用等量代換，將間隔數(shù)轉(zhuǎn)換成了棵數(shù)，所加的1棵就是最前面的那棵。至此，模型才夠“豐滿”，學(xué)生對模型的理解才深刻、具體。有了兩端都種的數(shù)學(xué)模型，再引導(dǎo)學(xué)生利用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自主建構(gòu)兩端都不種、只種一端的數(shù)學(xué)模型就水到渠成了。在整個(gè)探究過程中，教師不僅滲透了建模思想，還巧妙滲透了數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、等量代換、化歸等重要的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，也讓學(xué)生感悟到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法。