含有三角函數(shù)的積分的解法探究

李 茜

(山西運城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 山西 運城 044000)

積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而含有三角函數(shù)的積分是積分問題中較為常見的，也是基本的內(nèi)容。 由于其計算方法復(fù)雜多樣，所以它也是學(xué)生不易掌握的難點之一。為了使學(xué)生更容易的掌握含有三角函數(shù)的積分，本文對該類積分進行了探討，主要提出了7種計算方法，并且通過例題分析的形式對每種計算方法進行了闡述說明。這樣有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

1 利用

分析 注意到(x+sinx)′=1+cosx，所以可將被積函數(shù)的分子1+cosx表示為(x+sinx)′。

令x+sinx=u，則

2 利用其中a,b均為常數(shù)，且a≠0

該方法主要適用于只將積分表中被積函數(shù)中的x寫成ax+b的形式。

令2x+1=u，則

3 利用特殊因式

如果被積函數(shù)中含有特殊因式，可試著利用以下式子將被積函數(shù)變形，具體如下：

分析 顯然，該積分被積函數(shù)中含有因式sinx，可試用sinxdx=-dcosx將原式變形。

4 利用三角恒等式

該方法主要適用于被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的積分。

通常可以利用三角恒等式(如倍角公式、半角公式、積化和差、sin2x+cos2x=1、tan2x+1=sec2x等公式)變換被積函數(shù)，使其成為合適求積的形狀。

分析 可以利用降冪公式將原式中的被積函數(shù)cos2x進行恒等變形。

5 利用分部積分法

對于分部積分公式的使用，關(guān)鍵在于u、v的選取.為了方便使用分部積分法，關(guān)于u的選取，主要分以下三種情況：

分析 顯然，被積函數(shù)是冪函數(shù)與余弦函數(shù)的乘積，由情況1，所以可設(shè)x2為u。

分析 顯然，被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與余弦函數(shù)的乘積，由情況3，所以ex與cosx都可以設(shè)為u。 不妨設(shè)cosx為u。

移項得:

6 利用根式代換法

該方法主要適用于被積函數(shù)含有根式的積分。利用根式代換法，可以將積分式中的根號去掉，將被積函數(shù)簡化。

由例6得，

7 利用萬能代換法

本文主要通過例題具體分析的形式，給出了7種計算含有三角函數(shù)的積分的方法。但每一種計算方法都不是萬能的，都有其使用特點。所以在使用的過程中需要根據(jù)被積函數(shù)的特點，有針對性的選擇合適的求積分的方法，做到有的放矢。這樣不僅有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生主動參與到教學(xué)活動中來，還有利于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)和綜合能力的提高。