對(duì)一道幾何綜合題的解法探究與優(yōu)化
——以2021年江蘇南通市中考題為例

李孝敏

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲初級(jí)中學(xué) 225100

幾何綜合題的圖形往往是眾多幾何特性的組合，掌握?qǐng)D形拆解、性質(zhì)分析是解題的關(guān)鍵，而從不同視角探究問題，對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化則有助于提升解題能力.下面將對(duì)一道幾何綜合題開展解法探究，并深入探索問題，優(yōu)化解題方法.

問題呈現(xiàn)

問題：（2021年江蘇南通市中考卷第25題）如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A和D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF，設(shè)∠ABE=α.

圖1

（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG.判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BF，HF.當(dāng)△BFH為等腰三角形時(shí)，求sinα的值.

解法探究

本題為幾何綜合題，以正方形為背景，融合了對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)等知識(shí).問題共分三問，分別探究角度關(guān)系、分析兩線的位置關(guān)系，依托幾何求角度的三角函數(shù)值，解析過程要充分把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)，結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)來構(gòu)建思路，下面逐問探究.

（1）該問求∠BCF的大小，需用α來表示其大小，實(shí)則是探究角度之間的大小關(guān)系.題干設(shè)定點(diǎn)F與A關(guān)于直線為對(duì)稱關(guān)系，可作輔助線BF，則BE就為AF的垂直平分線，其中存在等角關(guān)系，結(jié)合正方形性質(zhì)及三角形內(nèi)角可推導(dǎo)角度關(guān)系.

連接BF，如圖2所示，BE為AF的垂直平分線，則有∠BAF=∠BFA，AB=BF.已 知∠ABE=α，則∠BFA=90° -α，∠EBF=α.四邊形ABCD為正方形，由正方形性質(zhì)可推得∠FBC=90°-2α.又知AB=BF=BC，則△BFC為等腰三角形，即∠BFC=∠BCF.結(jié)合三角形內(nèi)角和可推得∠BCF==45°+α.

圖2

（2）該問探究CF與DG的位置關(guān)系，在幾何綜合中線段關(guān)系一般為相交、平行、垂直，探究時(shí)可結(jié)合角度來確定.

設(shè)FG與DC的交點(diǎn)為M，AF與BE的交點(diǎn)為N，如圖3所示.由（1）問可知∠ABE=∠FBE=α，∠BAF=∠BFA=90°-α，∠BCF=∠BFC=45°+α，所以∠AFC=∠AFB+∠CFB=135°，∠CFG=180°-∠AFC=45°.又知CG⊥AF，則△CFG為等腰直角三角形，所以.結(jié)合正方形的性質(zhì)可推得△ADC為等腰直角三角形，所以.由條件可推知∠NAE=∠ABE=α.

圖3

（3）該問引入了三角形旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的三角形為全等關(guān)系，探究△BFH為等腰三角形時(shí)sinα的值，沒有設(shè)定三角形的腰，故有三種情形需要分別討論，構(gòu)建等腰三角形后，利用直角三角形的三邊關(guān)系來求sinα的值.

當(dāng)△BFH為等腰三角形，有三種情形，①FH=BH，②BF=FH，③BF=BH.

①當(dāng)FH=BH時(shí)，過點(diǎn)H作BF的垂線，設(shè)垂足為M，如圖4所示.可設(shè)AB=BF=BC=a，根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知∠CBH=∠ABE=α，BH=BE，可推知∠FBH=∠ABC-∠ABF=90°-α.由條件可得∠FHB=2α.由于△BFH為等腰三角形，且FH=BH，則∠BHM=∠FHM=α，由等腰三角形的“三線合一”可得BM=MF=.由條件可證Rt△ABE≌Rt△MHB，可得BM=AE=，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得，則sinα=

圖4

②當(dāng)BF=FH時(shí)，設(shè)FH與BC的交點(diǎn)為O，如圖5所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠CBH=∠ABE=α，結(jié)合（1）問可得∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°-α.因?yàn)锽F=FH，可推得∠BOH=180°-∠CBH-∠BHF=90°，此時(shí)∠BOH與∠BCH相重合，與題目不符，故舍去.

圖5

③當(dāng)BF=BH時(shí)，可設(shè)AB=BF=a，由正方形性質(zhì)可得AB=BC=a，從而可推得BF=BH=BC=a，題目中BC、BH分別為Rt△BCH的直角邊和斜邊，故不可相等，顯然與題目不相符，將其舍去.

優(yōu)化探索

上述對(duì)一道幾何綜合題進(jìn)行了解法探究，圖形的綜合性強(qiáng)，所涉三問的問題形式較為常見，但融合了眾多考點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用.上述呈現(xiàn)了問題的基本解法，但從問題的構(gòu)建過程來看，解題難度大、步驟繁雜，尤其是考題的后兩問，多次運(yùn)用特殊三角形和特殊關(guān)系來推導(dǎo)等角和線段比例.下面進(jìn)一步探索考題后兩問的解法，開展解法優(yōu)化探究.

1.優(yōu)化第（2）問解法——四點(diǎn)共圓推角度

第（2）問構(gòu)建了正方形ABCD外的垂足G，探究DG與CF的位置關(guān)系，實(shí)際上可以利用隱圓模型，即A，D，G，C四點(diǎn)共圓，具體過程如下.

由（1）問可知∠BCF=45°+α，又知∠BCD=90°，所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=45°-α.連接AC，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，再連接OD，OG.因?yàn)椤螦DC=∠AGC=90°，所以O(shè)D=OA=OC=OG，由圓的定義可知A，D，G，C四點(diǎn)共圓，故可知點(diǎn)O為圓心，以AO為半徑畫圓，如圖6所示.由圓的性質(zhì)可得∠CDG=∠CAG，又知∠CAG=∠CAD-∠DAG=45°-α，所以∠CDG=45°-α=∠DCF，從而有DG∥CF，即兩線為平行關(guān)系.

圖6

2.優(yōu)化第（3）問解法——簡(jiǎn)化討論情形

上述基于等腰三角形的三種情形進(jìn)行了分別討論，而其中的兩種情形是不成立，實(shí)際上可以在解答的初始就對(duì)部分情形簡(jiǎn)單分析，具體如下.

情形一：當(dāng)BF=FH時(shí)，有∠FBH=∠FHB=∠BAF=∠BFA，可證△ABF∽△HFB，由相似性質(zhì)可得，所以，代入線段長(zhǎng)可得，可解得a=b.因?yàn)?＜b＜a，所以BF不等于FH，即該情形不成立.

圖7

評(píng)析上述對(duì)考題的后兩問進(jìn)行了解法優(yōu)化，其中第（2）問把握幾何特性構(gòu)建隱圓模型，由圓的特性推得了關(guān)鍵的等角關(guān)系；而第（3）問則首先討論了三角形內(nèi)的邊長(zhǎng)關(guān)系，排除了其中的一種情形，顯著的簡(jiǎn)化討論過程.

解后反思

考題探究的重點(diǎn)有兩點(diǎn)：一是引導(dǎo)學(xué)生掌握問題解法，二是提升學(xué)生解題思維.故完成解題教學(xué)后還需要進(jìn)一步開展反思考題，拓展學(xué)生思維，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1.重視結(jié)構(gòu)分析，提取圖形特性

幾何綜合題圖形往往較為復(fù)雜，最為顯著的特點(diǎn)是考查學(xué)生對(duì)復(fù)合圖形的分析能力，即結(jié)合幾何條件理解圖形，把握幾何要素之間的關(guān)系，從中剖離特殊圖形，提取幾何特性.因此在實(shí)際教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生掌握讀題構(gòu)形，特性提取的方法，充分提升學(xué)生的圖形分析、構(gòu)建與拆解模型的能力.教學(xué)中可分三個(gè)階段進(jìn)行：第一階段，理解幾何語言，歸納總結(jié)幾何特性；第二階段，指導(dǎo)模型的解讀方法，幫助學(xué)生積累圖形拆解經(jīng)驗(yàn)；第三階段，開展復(fù)合圖形分析教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)D形解析的步驟及方法.

2.開展解法優(yōu)化，拓展學(xué)生思維

綜合性問題的解法往往不唯一，可從不同視角切入解析，構(gòu)建相應(yīng)的解題思路，而不同解法之間存在差異，開展方法對(duì)比，解法優(yōu)化是十分必要的.如上述探索了問題的常規(guī)解法之外，對(duì)方法思路進(jìn)行了優(yōu)化，第一問構(gòu)建四點(diǎn)共圓模型，利用模型直接推導(dǎo)等角關(guān)系；而第二問討論等腰三角形的情形，簡(jiǎn)化了討論的過程.因此教學(xué)中要重視考題的方法總結(jié)及優(yōu)化，使學(xué)生充分理解方法，可合理開展一題多解，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角分析圖形，探索方法.探究過程要注意給學(xué)生留足思考空間，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為教學(xué)重點(diǎn).

3.滲透數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

從上述幾何綜合題的解析過程可知，其中滲透了化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造模型、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，即在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下轉(zhuǎn)化問題，解讀構(gòu)建模型，通過數(shù)形結(jié)合構(gòu)建思路，逐個(gè)討論破解.因此在實(shí)際教學(xué)中，不僅要指導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法，還應(yīng)合理滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在解題中感悟思想，理解思想的精髓，達(dá)到內(nèi)化吸收的效果.同時(shí)章節(jié)教學(xué)中可結(jié)合對(duì)應(yīng)內(nèi)容來滲透數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與圖像教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，等腰三角形教學(xué)中分步討論特性等，讓學(xué)生逐步感知思想，體會(huì)思想真諦.