讓學生的數學“抽象思維”踏上“具象化”滑輪

殷偶云

江蘇省南通市通州區金北學校初中部 226300

數學是一門充滿理性的學科.學生的數學思維是一種抽象性、概括性的思維.如何讓學生的抽象的數學學習直觀化、趣味化、有效化，是初中數學教學的關注重點.“具象化”，是一種對事物進行可感知的、形象化的、具體性的、創造性的活動.在初中數學教學中，教師要讓學生的數學“抽象思維”踏上“具象化”的滑輪，幫助他們搭建理解抽象的數學知識的“腳手架”，讓他們充分地動眼、動口、動手、動腦，進行“具象化”的具身認知.這一過程中的數學學習充滿趣味、非常形象，學生的思維認知得到培養，教師激情助學的教學目標得以實現.

給學生“具象化”的導圖滑輪，讓數學學習可視化

“思維導圖”又稱為“腦力激蕩圖”“靈感觸發圖”“心智地圖”等，是一種“形象的、高效的可視化學習工具”.［1］近年來，思維導圖已經被廣泛地應用于學生學習之中，它猶如一把利劍直達問題的核心，能促進學生對數學知識的理解，能促進學生的思維溝通，能促進學生的學習應用.思維導圖，讓數學認知、數學思維等變得觸手可及、有跡可循.同時，思維導圖能讓學生友善用腦、健康用腦、和諧用腦.因此，思維導圖是一種高效的學習方式.借助思維導圖，學生能有效地疏導、整理知識，能對抽象的數學知識進行具體的分析，能將數學知識連點成線、連線成面、積面成體.

在建構“具象化”的導圖滑輪的過程中，教師要抓住思維導圖的關鍵節點，將一些重要的數學知識、數學問題嵌入其中，讓其成為思維導圖的重要組成，從而誘發、引導、催生學生的數學思維、數學探究.思維導圖，從根本上說就是將相關的數學知識勾連起來的一個網絡，但這個網絡不是“呈現式”的，而是“暗示式”的，從而讓學生的數學思維走向深刻、走向靈動.比如教學“平行四邊形”這一章，我們在教學中對“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等輔以“要素”“性質”“判定”“關系”等關鍵節點，以此建構思維導圖.借助思維導圖，催生學生的數學思考.如學生圍繞“邊”“角”“對角線”等要素展開這樣的自我追問：平行四邊形的對邊怎樣？平行四邊形的對角怎樣？平行四邊形的對角線怎樣？圍繞著“關系”，學生會展開這樣的自我追問：什么樣的四邊形是平行四邊形？什么樣的四邊形是矩形？什么樣的平行四邊形是矩形？什么樣的四邊形是菱形？什么樣的平行四邊形是菱形？什么樣的四邊形是正方形？什么樣的平行四邊形是正方形？什么樣的矩形是正方形？什么樣的菱形是正方形？等等.思維導圖，不僅能讓學生深刻理解平行四邊形、矩形、正方形、菱形等圖形的性質、判定，還能讓學生把握平行四邊形與菱形、矩形和正方形之間的關系.

借助“具象化”的思維導圖滑輪，學生能將相關的知識整合，也能將相關的知識拆解.在整合與拆解的雙向操作中，學生能實現深度學習，構建知識框架.思維導圖，往往將最核心的概念置于中心，將核心概念作為思維導圖的主干，將其他的相關概念等作為思維導圖的枝葉.借助思維導圖，學生能洞察知識的整體與局部之間的關系，能為后續的數學學習奠定堅實的基礎.

給學生“具身化”的操作滑輪，讓數學學習外顯化

學生的數學學習是一種內隱的思維活動，如何將學生的內隱思維確證與表征出來？一個重要的策略，就是讓學生的思維外顯化.為教師要給學生“具身化”的操作滑輪，引導他們動手操作、動腦思考，將外顯的操作與內隱的思維結合起來.可以這樣說，操作是學生思維的外援支撐，思維是學生操作的內源驅動.通過學生的具身化操作，不僅能讓學生掌握知識，更能促進學生數學基本技能的形成，而且可以陶冶學生的情操、開發學生的潛能，拓展思維疆域，讓他們感受、體驗到學習的快樂與成功的喜悅等.

比如初中數學有許多抽象的數學概念，僅僅依靠教師的口頭講解，學生是難以理解的，更難以應用.為此，教師要有意識地將相關的數學概念形象化、可操作化，進而引導學生學習，促進數學思維、數學認知的發展和提升.例如，在教學“認識無理數”這一部分內容時，筆者就為學生設計了如下操作：用兩張邊長為1（一般長度為1分米）的正方形紙片，將其對折，分別剪成4個等腰直角三角形.然后，將這四個等腰直角三角形拼接，使之成為一個大的正方形.這個大正方形的面積就是2（一般為2平方分米）.在此基礎上，筆者引導學生認識2的算術平方根，認識“勾股定理”等.這樣的一種操作，能讓學生理解“無理數”的內涵.為了促進學生將“數”與“形”結合起來，筆者畫出一條數軸，讓學生以原點為起點，以拼成的大正方形的對角線的長度為半徑畫弧，也就是引導學生在數軸上畫出對角線的長度，從而讓學生認識到，盡管無理數是無線不循環小數，但其在數軸上也是可以用點來表示的.通過這樣的操作，促進學生理解“數軸上的點與實數一一對應的關系”.由此，通過具身性的操作，學生理解了無理數，進一步理解了實數.同時，借助具身性操作，也能激發學生的數學學習興趣，調動數學學習積極性，發掘數學學習創造性.

在具身性操作中，教師不僅要盤活學生的思維，更要催生學生的想象.通過思維、想象與操作的融合，讓學生更充分地將知識、實踐、興趣與學習融為一體.具身性的操作，不僅讓學生對數學知識的本質、關系等有了深刻的理解，而且進一步發展了學生的動手操作能力、合作探究能力，豐富了他們的數學精神，潤澤了他們的數學生命.

給學生“游戲化”的活動滑輪，讓數學學習趣味化

學生的數學學習應當是一種超功利的“玩中學”.給學生“游戲化”的活動滑輪，能讓數學學習趣味化.在初中數學教學中，教師要激發學生的思維，引導他們習得知識、掌握方法、提高技能，從而縮小學生與數學、學生與教材之間的心理距離，激發求知欲望，讓數學知識學習不再枯燥，讓初中數學課堂不再煩悶、沉悶等.游戲性，是存在于學生中間的學習或生活屬性.只有在游戲之中，學生才能感受、體驗到數學學科知識的無界性.

比如在教學“多邊形的內角和”時，筆者依托學生所學的“三角形的內角和”等相關知識，讓他們逐步思考、探究“四邊形”“五邊形”“六邊形”“n邊形”的內角和.在這個過程中，筆者讓學生以游戲的方式展開，從而使得數學探究充滿一種趣味性.活動一開始，筆者讓學生用剪刀剪下了任意的一個四邊形、五邊形、六邊形等.在此基礎上，引導學生用自己的方法展開探究.如此，有學生用量角器量；有學生將角撕下來拼；還有學生從多邊形的內部、邊上或頂點上出發將多邊形分成若干個三角形，利用三角形的內角和來求出多邊形的內角和，等等.其中，采用測量和拼角的方法的學生，發現了這兩種方法對于五邊形、六邊形乃至于更多邊的多邊形不適用，因而紛紛轉向“將多邊形轉化成三角形”的方法.在探究的過程中，學生積極猜想、驗證，充分探究多邊形的邊數與分割成的三角形的個數之間的關系，等等.通過多向的游戲化活動，學生自主建構了“多邊形的內角和”.我們知道，游戲是一種自成目的、自我生成的活動，在活動中學生會積極主動質疑、反思：多邊形的外角和等于多少度呢？多邊形的外角和與多邊形的邊數也存在著不變的關系嗎？通過積極主動質疑，拓展數學活動的深度、廣度，讓數學活動更具有思維的含量、探究的質量，進而延伸學生的數學學習.

由于初中生的思維還處于具體形象向抽象邏輯過渡，很多方面還很不成熟，故他們對某些數學概念的理解比較膚淺.太抽象化的數學知識、太形式化的數學教學往往會讓學生生厭、生惡，會妨礙他們對數學知識的理解、表達.而給學生游戲化的活動滑輪，能讓學生的數學學習趣味化、形象化，能降低他們建構數學知識的坡度和難度，從而大大提升數學課堂教學效能.

給學生“合作性”的互動滑輪，讓數學學習團隊化

學生的數學學習是一個彼此相互協作、互動合作的過程［2］.教師要給學生“合作性”的互動滑輪，讓數學學習團隊化.在初中數學教學中，教師要為學生的合作互動搭建平臺，讓學生在團隊觀察、理解、分析、研討等互動中，探索新的知識、完成活動內容.師生、生生的合作性互動滑輪，能讓師生、生生抱團發展、共同進步.在這個過程中，教師要充分認識自身的引導者角色，積極發揮學生主體性的作用，當好學生數學學習的參與者、組織者、點撥者、協助者.

在“合作性”的互動滑輪帶動下，學生的數學學習猶如“旅游”.教師要將黑板、講臺、時空等賦予學生，讓學生充當學習的“導游”，最大限度地活躍思維、認知，積極參與數學學習.同時，教師要引導學生在合作中傾聽、在合作中表達，通過傾聽與表達，讓學生積極分享.通過分享，增強合作意識與合作能力，不斷激發、強化學習興趣，提升學習效能，讓學生對數學知識形成真正的理解.例如教學“隨機事件與概率”這一部分內容，為了讓學生感受、體驗“等可能事件”的隨機性，筆者組織學生摸球.筆者對學生進行分工，哪個學生負責搖球，哪個學生負責摸球，哪個學生負責記錄，哪個學生負責監督，讓學生明白各自的職責，并為進一步的合作學習打下基礎.在合作學習中，筆者引導全體學生猜想摸球的結果，并將實際的摸球結果與他們的猜想聯系起來，從而讓學生對等可能性、事件的隨機性、事件的獨立性等知識有深刻的理解，對事件發生的頻率、事件發生的概率等知識也會形成深刻的理解.這樣的一種合作促進了學生的互動交流，如摸球的學生會向記錄的學生詢問摸球結果；記錄的學生會向摸球的學生詢問摸球方法，等等.在這個過程中，學生還會就某些問題展開研討.在互助合作的過程中，學生提高了自身的數學學習能力，發展了自身的數學核心素養.

課堂合作性的學習，能促進師生、生生的互動、交流.在數學教學中，教師要幫助學生組建“共同體”，形成一個數學學習與研究的“團隊”.在合作中，學生能感受、體驗到學習的快樂.在合作交流中，教師要鼓勵學生積極參與，增強學好數學的信心；要讓學生既擁有不同的單一的學習任務，又擁有共同的整體的學習任務.

具象思維是先于形象思維而存在的，同時也是學生抽象思維的基礎、源泉.通過制作“具象化”思維滑輪——思維導圖滑輪、動手操作滑輪、游戲活動滑輪、合作互動滑輪，引導學生在“做中思”“做中玩”“玩中思”“玩中學”.當數學思維、數學探究踏上了“具象化”的滑輪，學生的學習就會充滿快樂，變苦學為樂學、變死學為活學、變厭學為愛學.