思維提升從“畫”中來
——關于小學數學畫圖的思考

趙萬丹 錢 錦 毛鵬萊

數學是一門研究數量關系與空間形式的學科。現實生活當中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》提出，義務教育階段要培養的學生核心素養有以下三個方面：第一，會用數學的眼光觀察世界；第二，會用數學的思維思考現實世界；第三，會用數學的語言表達現實世界。“畫數學”即用數學的眼光（抽象能力和幾何直觀）觀察世界，并用數學的語言簡約、直觀地描述現實世界中的簡單數量關系與空間形式的過程。在小學數學學習的過程中，畫圖貫穿始終。

一、為什么要“畫數學”

畫模型、畫流程、畫思維導圖等都可以稱之為“畫數學”。“畫數學”能夠幫助學生抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構，理解背后蘊含的數學原理，體會數學的實質，能夠讓學生在數學與現實生活中及其他學科之間構建普適的數學模型，表達和解決問題。

例如，在“數的認識”教學中，用連線的方法找到數量之間的一一對應關系，并進行大小的比較，非常簡潔明了。在“十以內的加減運算”教學中，用大括號、實線圈表示合起來，虛線圈、斜杠表示減去，就非常清楚直觀。在“筆算乘法、筆算除法”的教學中，借助小棒圖、點子圖等，可以讓學生很清楚地理解算理。

在解決復雜的問題時，利用線段等圖形理解數量關系，數形結合可以有效提高學生分析問題和解決問題的能力。如在認識分數時，利用圓、長方形、正方形、線段等圖形進行平均分操作，可以使學生深入理解分數的意義。在進行長方體和正方體的表面積教學時，學生先畫出草圖、標出數據，再進行計算，就不會出現錯誤。

二、“畫數學”的相關實踐

如果在教學中，教師不教授給學生長方體、正方體“三視圖”的畫法，也沒有講解過如何標注數據，同時，課堂上的畫圖只是“曇花一現”，課后“畫圖”作業又是空白，那么學生對畫圖就會表現出“躊躇不前”的畏難心理。為了改變老師一再強調畫圖，而學生卻不為所動的狀態，并且讓學生能夠發自內心認可畫圖的重要性，自覺自愿地畫圖，教師要利用長方體和正方體這一單元的相關“畫材”，對學生進行“畫”的能力訓練。教師先示范，然后學生模仿畫出全圖，標出相應數據。在訓練過程中，教師可以結合抽象程度，給出學生長方體的長、寬、高，或正方體的棱長等相關數據，讓學生試著畫出半圖，并利用半圖進行表面積、體積的計算。

（一）畫出區別——讓概念的理解更加深刻

在長方體和正方體的教學過程中，學生對于表面積和體積涵義的理解上有時會發生混淆的現象，以一道辨析題為例：

例1 辨析題“棱長為6 cm 的正方體表面積和體積相等。”有的同學通過計算后得出表面積和體積的結果都為216，因此有的學生判定這道題是正確的。原因在于學生錯誤地認為只要計算結果相等，那么這個正方體的表面積和體積就相等，卻忽略了計算過程、計算結果所蘊含的實際意義。而學生通過畫圖（圖1、圖2）進行辨析，就可以清晰的理解表面積和體積的推導過程和結果所表達的不同含義。

圖1

圖2

1.畫圖可以體現出推導過程的不同。雖然二者都用算式“6×6×6”計算，但是結合示意圖可以知道，兩個算式的含義并不相同。求表面積時的推導過程（圖1），“6× 6”求的是正方體一個面的面積，再乘以6 求的就是6 個面的總面積。而求體積時的推導過程（圖2），“6× 6×6”表示用棱長為1 cm 的小正方體擺出棱長為6 cm 正方體的小正方體的個數：一排有幾個,也就是正方體的長是幾厘米；擺了幾排,也就是正方體的寬是幾厘米；有幾層,也就是正方體的高是幾厘米；一共用了幾個小正方體,小正方體的個數也就是正方體的體積推導過程。棱長為6 cm 的正方體體積就相當于用棱長為1 cm 的小正方體一行擺6 個，一層可以擺6 行，一共可以擺這樣的6 層，一共用了216 個小正方體，即6（厘米）×6（行）×6（層）=216（個）。

2.畫圖可以體現出推導結果的不同。圖1 表示的是正方體的6 個面，其中陰影部分表示的是一個面的表面積，因此，可以很清晰地看出，正方體表面積表示的是正方體6 個面的面積之和，即棱長× 棱長，單位是cm。圖2 表示的是216 個小正方體擺出的正方體的大小，很顯然體積表示物體所占空間的大小，即棱長×棱長×棱長，體積的單位是cm。

（二）畫出聯系——讓整體與部分的關系更加清晰

例2“劉叔叔將一個長方體的木塊垂直于高裁去3 cm 后，木塊的表面積減少了60 cm，變成了一個正方體，原來長方體木塊的體積是多少？”根據問題，我們要想知道體積，就必須知道長、寬、高。這一問題，通過畫圖（圖3）就可以輕松解決。通過畫圖可以看出，減少的表面積等于裁去長方體木塊前、后、左、右4 個面面積之和即60 cm。而長方體裁去一部分后變成正方體，說明原長方體的長和寬相等（即裁去長方體的4 個側面面積相等），并且比高少3 cm。列式如下：

圖3

長方體的長、寬（截取之后正方體的棱長）：60÷4÷3=5 cm；

長方體的高：5+3=8 cm；

因此體積=5×5×8=200 cm。

學生畫出了圖之后，并標明具體的數據，很快就可以看出整體與部分的關系，通過整理已知條件和問題，輕而易舉地實現文字信息—想象—圖形信息的轉換。

（三）畫出多種情境——讓數學思維得到深化

在長方體和正方體中教學中，還涉及到切割和拼接后，增加了切割面，同時體積大小也發生了變化。

例3“兩個完全相同的小長方體，長6 cm，寬5 cm，高3 cm，用它們拼成一個表面積最小的長方體，拼成后的長方體的體積是多少立方厘米？”兩個相同的長方體拼在一起，一共有三種拼法。哪一種拼法拼成后表面積最小呢？其實拼接問題也可以看作是切割問題，即把兩個長方體拼接在一起可以看作是把一個長方體切割成兩個長方體。我們把拼接問題轉化成切割問題后，問題就變成了有幾種切割方法，哪種切割方法增加的表面積最小。我們可以預設三種切割方法：

預設1：長方體沿垂直于長的方向切一刀（圖4），分成兩個完全一樣的長方體。

圖4

預設2：沿垂直于寬的方向切一刀（圖5），分成兩個完全一樣的長方體。

圖5

預設3：沿垂直于高的方向切一刀（圖6），分成兩個完全一樣的長方體。

圖6

比較哪種預設切法表面積增加的最多？哪種切法表面積增加的最少？

由畫圖可知，沿垂直于高的方向切一刀（圖6）表面積增加的最多。因為增加的兩個面，每個面的面積都等于長方體表面的6 個面中面積最大的面（此題中為上、下面）。因此，學生能夠很快想出要滿足“表面積最小”這一條件，則需要把兩個小長方體中最大的面拼接在一起。也就是把兩個長為6 cm，寬為5 cm的面拼接在一起，也即圖6切法。我們也分3種情況（圖7）進行討論驗證，同樣驗證了，表面積最大的面拼接（圖7中的②），即沿垂直于高的切割方法（圖6）得到了最小的表面積。拼接后大長方體的長為6 cm、寬為5 cm、高為3+3=6（cm）。

圖7

三、怎樣“畫數學”

（一）畫出關鍵條件，充分發揮“畫數學”的直觀性優勢

在實際的數學教學活動中，對于有畫圖條件的題，教師應引導學生將問題中的關鍵條件畫出來，讓學生充分感知到幾何直觀，培養學生良好的“畫數學”習慣。引導學生在今后的學習過程中，通過畫圖來分析問題、解決問題，從而促進幾何直觀思維的培養。

以一年級的排隊問題為例，例4“小朋友們排隊做游戲，從左往右數，樂樂排第十，從右往左數，樂樂排第五，這排一共有多少名同學？”大部分學生都是用10+5=15（人）。此時再引導學生用畫圖的方法進行驗證，先用△確定為題目中的“樂樂”，再用不同的圖形，如○等表示出從左開始數的前九個人，從右開始數的前四個人。從圖中可以發現，樂樂被算了兩次，因此，正確列式為：10 + 5 - 1 = 14（人）。通過比較兩次的解題過程引導學生發現：第一次列式計算得到的結果存在誤差，而用畫圖的方法能夠既快速又正確的得到答案，由此讓學生認識到畫圖對理解較為復雜、抽象的題目，起到了十分重要的作用。

（二）營造“畫數學”的氛圍，促使學生主動“畫數學”

在具體教學中數學教師應利用例題、習題中現有的“畫圖”資源，通過對比分析，向學生闡明“畫數學”在解決問題時的優勢，并創造條件讓學生進行有效應用。對能闡明數學本質的優秀作品進行講解，給予適當表揚和獎勵，通過正強化促使學生增加“畫數學”這一行為出現的頻率，對于存在缺陷的畫圖給予學生引導和指正，不斷提高學生的畫圖能力，營造“畫數學”的氛圍，促使學生自覺自愿地畫圖。

在學習了分數的相關內容以后，教師可以設計這樣的題目，例5“有一盤餃子，小立吃了這盤餃子的2/5，小會吃了剩下的2/5，誰吃得多？”以下是三位學生的解答。學生1：五分之二表示把單位“1”平均分成5 份，取了其中的2 份。單位“1”大的，每份的數量就大，那么5 份當中的2 份也就比較大。所以，一盤餃子的五分之二大于剩下部分（五分之三盤餃子）的五分之二，小立吃得多。

學生1 雖然闡明了原因，并且正確判斷出了小立吃得更多，但我們還可以通過其它辦法來解決這個問題。而學生2 學生3 用不同的畫圖方式（見圖8），不僅將剩下部分的2/5 直觀表示出來，還通過不同的思考過程，將思維外顯。遇到此類題目時，教師講評的語言要具有明顯的導向性，以促使學生在深刻體驗到數學學習中“畫數學”的優勢之后，增強“畫數學”的主動性。

圖8

（三）采用多樣畫圖方式，優化畫圖方法與技巧

在畫數學的教學過程中，即使學生已經充分體悟到了畫的主要特征與優勢，并且能夠主動采用畫圖的方法分析問題，解決問題。但是在遇到較為復雜的數學問題時，學生往往不能很快找到便捷而有效的畫圖方式，甚至會因此浪費較多時間。因此教師除了教會學生各種畫圖的方式之外，還應展示不同的畫圖技巧。然后讓學生分析他們之間的區別、聯系以及各自的優缺點，從而促使學生掌握更多簡單易懂的畫圖技巧，為培養和提升學生的數學思維能力提供有力保障。

（四）“畫”“話”結合，共“hua”本質

在“說理”課堂成長起來的孩子是敢于、樂于發表自己的數學理解的，他們不僅“聽得懂、理得透”數學知識的本質，還“寫得明、說得清”其中的道理。因此，把“畫數學”和“說數學”相結合，可以讓課堂由傳統以教為主轉變成以學生的學為主，讓學習真實發生。

學生“畫數學”能力的培養并非是一蹴而就的，只有充分挖掘教材中“畫”的資源，在每一次的教學活動中逐步滲透“畫數學”的意識，訓練畫數學的方法技巧，才能真正實現以“畫”助力，提升學生的幾何直觀能力。