多項時間分數階擴散方程H1-Galerkin混合元方法的超逼近分析

史艷華,王芬玲

(許昌學院 數理學院,河南 許昌 461000)

考慮如下二維多項時間分數階擴散方程：

(1)

其中X=(x,y)，f(X,t)，u0(X)是給定的充分光滑的函數，分數階算子P(Dt)u(X,t)滿足

分數階微分方程是包含非整數階微分算子的一類方程，在實際生活中有廣泛的應用，比如地理、物理、流體力學、環境科學等[1-3].一般地，分數階微分方程的分析解很難求出，因此此類方程的數值解算法引起了不少學者的關注.比如有限差分法，有限元方法，有限體積法，譜方法等[4-7].關于方程(1)，文[8]建立了單項時間分數階微分方程的線性三角形元的有限元全離散格式，并給出了穩定性分析和超收斂結果.文[9]基于雙線性元和L1時間逼近格式建立了單項變系數的時間分數階擴散方程的全離散格式，并進行了高精度分析.文[10]進一步對文[9]中的方程，借助時間方向上的L2-1σ格式和空間方向上非協調的類Wilson元，建立了非協調的全離散逼近格式，導出了具有O(h2+τ2)的高精度結果.

混合元方法是求解偏微分方程一種很有效的方法，該方法需要構造滿足LBB相容性條件的兩個有限元空間，但是這通常不是一件易事.因此文[11]提出了H1-Galerkin混合元方法，一是不要求有限元空間滿足LBB條件，二是剖分不需要滿足擬一致剖分條件.因此，該方法已被廣泛應用于整數階微分方程[12-15].對于分數階微分方程，文[16]討論了一維分布階擴散方程的兩種H1-Galerkin混合元格式，并給出了中間變量和原始變量的最優誤差估計.文[17]利用雙線性元和零階R-T元研究了單項時間分數階擴散方程的H1-Galerkin混合元方法，同時導出了中間變量和原始變量的高精度結果.文[18]又進一步把該方法推廣到時間分數階四階擴散方程.

1 單元構造和全離散逼近格式

P1=span{1,x,y,xy,x2,y2,x2y,xy2}，P2=span{1,x,y,xy,x2}，P3=span{1,x,y,xy,y2}，

則相應的有限元空間為

(2)

(3)

根據文[19]，有以下結論.

引理2 設u∈H4(Ω)，則

和

利用文[8]-[10]，不難得到以下結論.

引理4 假定當t∈(0,T]時，φtt(X,t)∈L2(Ω)，則

引理5 設φn≥0,n=0,1,…,N，φ0=0，μ是一個正常數且滿足

則

φn≤Cτ-αsμ.

2 穩定性分析

本節主要給出全離散格式(3)的穩定性分析.

和

(4)

假設定理1的第二個結論對于n=1,…,l時成立，則當n=l+1時，

在方程(3)的第一式中，令vh=Un，則

從而

定理得證.

3 超逼近分析

為了導出超逼近分析，先根據方程(1)和(3)和引理3的第二式，得誤差方程

(5)

(6)

再借助引理5，得

(7)

利用引理6，方程(7)式的左邊等價于

類似于(6)式右端第一項的估計得

又

因此

根據引理5有

從而

在方程(5)的第一式中令vh=θn，則

結論得證.