縱連軌道板上拱安全升溫幅度簡化計算方法

鐘陽龍，蔡小培，侯博文

(北京交通大學 土木建筑工程學院 北京 100044)

CRTS Ⅱ型板式無砟軌道[1]是由鋼軌、扣件、軌道板、CA砂漿層和支承層等組成的縱向連續結構。由于縱向變形受到約束，在夏季極端氣候和持續高溫[2]作用下軌道板內產生巨大溫度力，從而導致軌道板上拱病害的發生，嚴重威脅行車安全。調研發現軌道板上拱多發生在板端。這是由于板端的板間接縫是CRTS Ⅱ型板式無砟軌道的薄弱環節，在復雜環境因素作用下可能出現損傷而導致軌道板偏心受壓失穩[3]。文獻[4-6]針對此問題進行了深入研究。不過現場調研發現在接縫完好地段同樣存在軌道板上拱情況[7]。因此，開展無接縫損傷的縱連軌道板失穩問題研究依然十分必要，同時可為其他縱連式軌道的穩定性研究提供參考。

林紅松等[8]基于建立的軌道板-橋梁-墩臺有限元模型，研究了大跨橋上縱連板式軌道的穩定性。周敏等[9]在前者基礎上考慮了軌道層間非線性約束，對高速鐵路簡支梁橋上縱連板式無砟軌道穩定性進行了分析，并提出層間約束越弱，軌道結構穩定性越差。文獻[10-11]考慮了軌道板與砂漿層間的離縫，忽略鋼軌和扣件影響，將縱連軌道板假定為基礎上長梁，率先采用能量法對其穩定狀態進行了分析。陳醉等[12]在文獻[10-11]的基礎上進一步考慮了上拱波長的變化，基于“不等波長模型”研究了軌道板初拱變形對穩定性的影響規律。文獻[13-14]針對既有研究中將軌道板初拱變形設定為正弦曲線的不足，采用微分方程法獲取了軌道板上拱波形曲線，并基于能量法推導了穩定性計算公式。

既有文獻在研究軌道板上拱時普遍忽略了鋼軌的作用。在高溫條件下，鋼軌內部同樣存在較大的溫度力，可能對軌道板上拱起到助推作用[15]。因此，在軌道板上拱研究中有必要考慮鋼軌的影響。張向民等[15]考慮了鋼軌溫度力，不過在模型中僅引入了鋼軌溫度力的垂向分力，并未將整個鋼軌考慮進去，與實際情況有所不同。

安全升溫幅度TL是最小屈曲溫度，對應平衡路徑上的最低點，見圖1。

圖1 軌道板的平衡路徑

由圖1可知，凹曲線ALB上每一個點都對應一個平衡狀態。當升溫幅度Ts>TL時，每一個升溫幅度對應兩種平衡狀態。AL曲線上的①點為不穩定平衡狀態，LB曲線上的②點為穩定平衡狀態。當結構屈曲時，從①點“彈動”到②點達到平穩。升溫幅度越大彈動動程越大。L點為最低點，是兩種狀態的匯合，對應的溫度為安全升溫幅度TL。當軌道板所受溫度小于或等于TL時，軌道板是穩定的，不會發生上拱現象[14]。安全升溫幅度對于工程設計至關重要。但在既有研究中對其關注較少。本文基于等效截面法和勢能駐值原理，構建了考慮鋼軌作用的縱連板式無砟軌道上拱分析模型，推導了軌道板上拱安全升溫幅度的計算公式，分析了安全升溫幅度的參數影響規律，計算方法和研究結果可為縱連無砟軌道優化設計和養護維修提供參考。

1 計算方法

1.1 基本假設

假定鋼軌和軌道板為均質線彈性體結構，不考慮初始缺陷和結構損傷的影響[13]。線路運營過程中存在軌道板與CA砂漿層離縫的不利情況，因此計算中可忽略CA砂漿層的黏結強度[10]，僅考慮垂向支撐和切向阻力的作用。另外，假定扣件在軌道板上拱過程中保持正常工作狀態，可有效連接鋼軌和軌道板。從而可將鋼軌和軌道板等效為置于CA砂漿上的無限長梁，梁的重量和抗彎剛度等于鋼軌和軌道板之和。后續對比驗證表明該假定誤差較小且偏于安全。此外，需要特別說明的是軌道板的初始不平順對安全升溫幅度影響很小[13,16]。圖1中虛線為考慮初始不平順時軌道板的平衡路徑示意圖[17]，其相應的安全升溫幅度與直板結果非常接近。同時考慮到無砟軌道初始不平順很小，因此可不考慮軌道板初始不平順的影響。

1.2 換算等效長梁

鋼軌與軌道板系統的參數見圖2。

圖2 鋼軌-軌道板系統參數示意

設定鋼軌與軌道板的彈性模量比值為m=Er/Es，熱膨脹系數比值為n=αr/αs,則軌道板的單位長度重量qs可表示為

qs=9.8ρshb

( 1 )

式中：h為軌道板厚；b為寬，ρs為密度。

鋼軌的單位長度重量為qr。等效長梁的單位長度重量為鋼軌和軌道板之和，即

q=2qr+qs

( 2 )

等效長梁的抗彎剛度表示為鋼軌和軌道板之和，即

EI=2ErIr+EsIs

( 3 )

令等效長梁材料參數與軌道板相同E=Es、α=αs，則等效長梁的截面慣性矩為

I=2mIr+Is=2mIr+bh3/12

( 4 )

由于鋼軌材料參數與等效長梁不同，則需對鋼軌的截面積Ar進行換算得到換算截面積Ah。考慮換算前后鋼軌溫度力相同，即

ErArαrTr=EsAhαsTr

( 5 )

( 6 )

則等效長梁的截面面積為

A=As+2Ah=bh+2mnAr

( 7 )

1.3 安全升溫幅度計算公式

軌道結構等效為單根長梁后，可進行屈曲上拱的解析分析[10-14]。等效長梁上拱過程中的受力見圖3。由圖3可知，長梁主要受溫度力、重力、CA砂漿阻力等作用。長梁在較大的溫度力作用下發生屈曲上拱。上拱區域長度設定為2l，兩端為伸縮區域。由于結構的對稱性，將坐標系原點設在上拱區域中間，并以右側(x≥0)為研究對象。

圖3 鋼軌-軌道板系統等效長梁上拱分析物理模型

長梁的升溫幅度設為T，單位長度重量為q。CA砂漿阻力采用非線性公式[17]為

rc(u)=bτ0tanh(ηu)

( 8 )

式中：rc為CA砂漿阻力,N/m；b為軌道板寬度；τ0、η分別為砂漿界面剪切強度、曲線形狀系數，根據推板試驗結果[3]分別取0.025 MPa、2 500 m-1。

梁的軸向和垂向位移分別為u和v，則梁應變ε和彎曲曲率κ可表示為

( 9 )

κ=v″

(10)

既有文獻研究表明[13]，采用剛性基礎假定是可行的。在剛性基礎假定下，梁在伸縮區域滿足邊界條件為

v(x)=v′(x)=v″(x)=0x≥l

(11)

在此條件下，梁在上拱過程中的總勢能Π包括梁的彈性彎曲、軸向壓縮、抵抗砂漿縱向阻力的變形以及重力勢能，計算式為

(12)

式中：εT為溫度應變,εT=αT；α為線膨脹系數；T為梁的升溫幅度。

為了便于區分，將梁在上拱區域的位移表示為u1和v1，在伸縮區域的位移表示為u2和v2。

根據勢能駐值原理，通過δΠ=0可以得到梁的平衡狀態。參考文獻[17-18]的研究，采用變分法的歐拉-拉格朗日方程計算δΠ=0，可以得到梁的平衡方程為

(13)

(14)

對于交界點x=l，滿足的邊界條件[18]為

(15)

對于原點x=0，滿足的邊界條件為

(16)

同時還滿足

(17)

由式(13)的第2個計算式可知，上拱區段梁的軸向力Nt=-EA(ε-εT)是常數，那么式(13)的第1個計算式可簡化為

(18)

式(18)是常系數四階線性微分方程，其通解為

v1(x)=

(20)

式中：λl=4.493 4。

根據式(20)可以計算得到任一Nt下梁的上拱矢度ω=v1(0)。為了進一步評定什么溫度條件下上拱以及獲取上拱安全升溫幅度，還需計算Nt與升溫幅度T的對應關系。參考文獻[17-18]，推導得到關系式為

(21)

(22)

根據式(21)～式(22)可以計算得到任一Nt下梁的升溫幅度T。

梁的溫度力由鋼軌溫度力和軌道板溫度力組成，計算式為

EAαT=2ErArαrTr+EsAsαsTs

(23)

推導可得

(24)

結合式(24)從而計算得到任一Nt下縱連軌道板的升溫幅度Ts。綜合式(20)計算得到的任一Nt下梁的上拱矢度ω，可繪制出軌道板升溫幅度Ts與上拱矢度ω的關系曲線，也即縱連軌道板平衡路徑曲線。平衡路徑曲線的最低點對應的軌道板升溫幅度，即縱連軌道板的上拱安全升溫幅度TL，計算式為

(25)

2 方法驗證

2.1 與既有文獻對比驗證

本文與既有文獻[14]的計算結果進行對比以驗證計算方法的可行性。文獻[14]雖然在模型中沒有考慮鋼軌，但引入了鋼軌重力的影響并計算得到了軌道板上拱的安全升溫幅度。本文計算參數與文獻[14]相同，見表1。

表1 軌道模型參數

基于第1節所述計算方法計算得到考慮鋼軌重力影響的軌道板平衡路徑見圖4。由圖4可知，縱連軌道板上拱安全升溫幅度TL=49℃，與文獻[14]計算結果相同。說明本文提出的計算方法合理可行。

圖4 與既有文獻[14]計算結果對比驗證

2.2 與有限元結果對比驗證

本文同時與有限元計算結果進行對比，以驗證提出的計算方法可以充分考慮鋼軌的影響。基于Abaqus有限元軟件建立的鋼軌-軌道板上拱分析模型見圖5。由圖5可知，由于鋼軌和縱連軌道板都屬細長結構，可采用二結點三次歐拉梁單元B23進行模擬。扣件和砂漿層的非線性約束采用連接單元CONN2D2進行建模。整個軌道結構關于上拱區域中心位置的橫截面對稱，因此僅需建立半個軌道模型。模型的長度和單元網格尺寸通過試算確定，以達到計算精度和計算效率的綜合考慮。模型一端對稱約束，另一端固定約束。模型中除了施加溫度和重力外，還在對稱邊界位置的軌道板端部節點上施加一位移擾動。通過擬靜力算法，計算得到任一溫度條件下軌道板上拱屈曲時刻的垂向位移(也即上拱矢度)。進而繪制出升溫幅度-上拱矢度關系曲線(即平衡路徑)并計算得到軌道板上拱安全升溫幅度。

圖5 鋼軌-軌道板上拱分析有限元模型

不同鋼軌升溫幅度下的軌道板平衡路徑見圖6。由圖6可以看出,計算公式得到的結果與有限元結果，不管是曲線趨勢還是數值大小都非常接近，表明本文提出的計算方法是可行的。

圖6 與有限元計算結果對比驗證

在本文1.1節里提到該計算方法有一定誤差，此處對誤差產生原因進行分析。在1.1節的基本假設里提到扣件“可有效連接鋼軌和軌道板”并認為梁的“抗彎剛度等于鋼軌和軌道板之和”。這兩個假設，前者認定扣件垂向剛度足夠大從而可有效連接鋼軌和軌道板，后者認為扣件縱向阻力較小，給軌道系統整體抗彎剛度的貢獻可忽略不計。本節基于有限元模型，對扣件垂向剛度和扣件縱向阻力的影響進行分析，計算結果見圖7、圖8。由圖7、圖8可知，計算誤差主要由后者假設產生，不過誤差較小且偏于安全，因此說明該計算方法是可行的，且滿足工程設計的需要。

圖7 不同扣件垂向剛度下軌道板平衡路徑

圖8 不同扣件縱向阻力下軌道板平衡路徑

3 方法應用

本節基于提出的計算方法對軌道板安全升溫幅度的參數影響規律進行分析。參數包括鋼軌升溫幅度、軌道板厚度、軌道板彈性模量和砂漿層界面剪切強度。

3.1 鋼軌升溫幅度影響

軌道板安全升溫幅度隨著鋼軌升溫幅度的增加而減小，基本呈線性關系，見表2。基于該方法還可計算得到不考慮鋼軌時軌道板的安全升溫幅度為47 ℃，僅考慮鋼軌重力時為49 ℃，同時考慮鋼軌重力和抗彎剛度時為54 ℃。這說明鋼軌重力和抗彎剛度可抑制軌道板失穩。但當同時再考慮鋼軌溫度且升溫幅度達到40 ℃時，由表2可知，軌道板安全升溫幅度降低到46 ℃，小于47 ℃，說明鋼軌起到了加劇軌道板失穩的作用。因此，在研究軌道板穩定性時非常有必要關注鋼軌的影響。

表2 鋼軌升溫幅度對軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

3.2 軌道板厚度影響

軌道板厚度取0.1～0.3 m，鋼軌升溫幅度取60 ℃，計算結果見表3。由表3可知，軌道板安全升溫幅度隨著軌道板厚度的增加而線性增加，因此可通過增加軌道板厚度來提高軌道結構穩定性。

表3 軌道板厚度對軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

同時發現解析解計算結果與有限元計算結果的差值隨著板厚的減小而增大。這是由于板厚減小，軌道系統整體抗彎剛度也減小，從而增大了扣件阻力對軌道系統抗彎剛度的影響程度。建議在軌道板厚度不小于0.1 m的情況下使用本文提出的簡化計算方法。

3.3 軌道板彈性模量影響

考慮C30、C40、C55、C70四種混凝土標號的彈性模量，鋼軌升溫幅度同樣取60 ℃，計算結果見表4。由表4可知，軌道板安全升溫幅度隨著軌道板彈性模量的增大而線性減小，但變化幅度不甚明顯。同時可知在既有軌道板彈性模量范圍內，公式法具有較好的計算精度。

表4 軌道板彈性模量對軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

3.4 砂漿層界面剪切強度影響

砂漿層界面剪切強度τ0考慮0.006、0.013、0.025、0.040、0.060 MPa五種情況，其他參數保持不變，計算結果見表5。由表5可知，軌道板安全升溫幅度隨著砂漿層界面剪切強度的降低而迅速減小。因此為了保持軌道結構的穩定性，需重點關注層間離縫情況，盡量提高層間粘結性能。

表5 砂漿層界面剪切強度對軌道板安全升溫幅度的影響 ℃

4 結 論

本文建立了考慮鋼軌作用的縱連軌道板上拱分析模型，推導了軌道板安全升溫幅度計算公式，并與既有文獻和有限元結果進行對比驗證了該計算方法的可行性，最后基于該方法研究了軌道板安全升溫幅度及其參數影響規律。主要有以下結論：

(1)本文提出的簡化計算方法合理可行，可應用于縱連式無砟軌道的穩定性分析與結構設計。

(2)鋼軌升溫幅度較大時，鋼軌可能加劇軌道板失穩，因此在研究軌道板穩定性時有必要關注鋼軌的影響。

(3)可通過增加軌道板厚度和砂漿層剪切強度等措施提高軌道板的穩定性。