基于聚類綜合評價值的灰色決策模型

趙維濤，胡東超，尹福平

(沈陽航空航天大學 航空宇航學院, 沈陽 110136)

1 引言

灰色決策通過多個不同的決策指標對決策對象進行分類和優選，可以有效處理多目標多準則分類與優選問題。灰色決策方法提出以來，被大量應用于各類評估實踐。2017年，Cao等結合層次分析和灰色聚類法建立了老齡導管架平臺安全評估模型。2017年，Mao等將分數階灰色累加算子應用于城市交通流的預測與分析。2019年，李建華等使用灰色理論構建了裝備維修經費投入預測模型。2019年，E等將模糊灰色關聯理論應用于微型渦輪發動機燃燒特性影響分析。2020年，范紀松等將多層次灰色關聯分析理論和層次分析法進行結合，應用于合成旅工程保障能力評估。2020年，胡昌棟等將灰色層次分析方法應用于機動通信系統效能評估。2020年，Yu等將改進灰色聚類法應用于復合材料無損檢測的評估之中。2021年，Su等將灰色關聯聚類應用物業服務滿意度分析。2021年，梁振剛等基于蒙特卡洛抽樣方法和灰色系統理論建立子母彈對機場目標毀傷效能計算模型。

在灰色決策方法應用的同時，眾多學者對灰色決策理論進行了研究和改進。2016年，Liu等提出了一種基于灰色累加生成算子的灰數預測模型。2019年，Gao等提出了基于分數階弱化緩沖算子的灰色預測模型。2021年，周弘揚等將D數理論與灰色理論用于改進層次分析法。2021年，張軍濤等以模糊數學和關聯函數理論為基礎，提出了基于灰色關聯-模糊綜合評判方法。范紀松等傳統模型中的調整系數向量進行重新設計，優先結果相對傳統方法有所改進。

目前，灰色決策在實際工程中獲得了廣泛應用。然而，傳統灰色決策中綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進行優選，優選結果是建立在分類準確的基礎上。但在實際運用中，往往會遇到決策系數無顯著性差異等情況，此時無法進行準確分類。如果基于存在偏差的分類進行優選，這種偏差會被繼承且放大。另外，綜合決策測度構造不合理，對除第1灰類外的其他灰類，排序結果可能與實際不符。為解決以上問題，以聚類綜合評價值表征評估結果，提出基于聚類綜合評價值的灰色決策模型。

2 傳統方法

傳統方法是根據白化權函數對決策對象的待評估決策指標樣本值按幾個灰類進行歸納，以判斷該決策對象最可能隸屬于哪個灰類，再根據綜合決策測度對同一灰類評級的決策對象進行排序優選。

2.1 基本方法

(1)

當有多個對象屬于灰類時，對象綜合決策測度為

(2)

若>，則在灰類中，對象優于。

2.2 缺陷分析

傳統方法包含分類與優選2個步驟，以聚類系數進行分類，以綜合決策測度對同灰類對象進行排序，然后將各個灰類的排序按灰類高低合并成總的排序結果，進而優選。在實際運用中，傳統方法有時會給出不合理的優選結果。

例如設有高、中、低3個灰類，對象1和對象2聚類系數向量分別為{040,017043}、{000,057,043}，通過隸屬度的比較即可判斷對象2優于對象1。具體說明如下：對象1對“高”灰類隸屬度高于對象2，對“中”灰類隸屬度低于對象2，對“低”灰類隸屬度與對象2相同，因而對象1應優于對象2。按傳統方法對象1屬于“低”灰類，對象2屬于“中”灰類，因綜合決策測度無法對不同灰類決策對象進行排序比較，只能根據灰類高低判斷優劣，排序結果為對象2優于對象1，排序結果與實際相反。

現有調整系數向量設計存在缺陷，本灰類權值(調整系數)比優于本灰類的灰類權值更高，造成本灰類決策系數越大的決策對象，排序結果越靠前。對第1灰類是合理的，但對第(=2,3,…,)灰類，尤其是第灰類，決策排序結果可能與實際不符。另外，在優選時，樣本值高且分布穩定的決策對象應優于樣本值低且分布不穩定的決策對象，但傳統灰色決策并未考慮樣本值分布是否穩定，即未考慮系統數據(規范化無量綱樣本值)的離散程度，具有一定的片面性。

3 基于聚類綜合評價值的灰色決策

將分類與優選作為整體考慮，在傳統模型僅考慮各灰類決策系數的基礎上，進一步考慮各指標樣本值、各灰類臨界值以及系統數據離散程度，將樣本蘊含的信息充分利用，分類與優選在理論上相比傳統模型更具客觀性。本文方法的具體步驟如下：

1) 數據處理

將指標樣本值進行無量綱化處理，將量綱數據轉化為0～1之間的無量綱數據。

2) 指標權重及白化權函數

按照傳統方法確定各指標權重及白化權函數。

3) 歸一化白化權函數

(3)

4) 歸一化聚類系數

(4)

5) 聚類綜合評價值

在加權平均原則基礎上，進一步考慮樣本標準差，給出聚類綜合評價值概念，提出一種新的灰類量化取值方法。

聚類對象的聚類綜合評價值為

(5)

式中：為第灰類量化值；為聚類對象的無量綱樣本標準差；()為的函數。

在灰類量化時，取落在灰類的各個樣本值的平均值為該灰類量化值。若某個灰類沒有樣本值，則取該灰類臨界值為該灰類量化值。可通過白化權函數確定，相關定義及計算可參見文獻[1]。

函數()為無量綱樣本標準差的函數，采用分段函數表示，為

(6)

式中：為標準差臨界值，為相鄰2個灰類樣本值對應標準差的加權平均值，權值為相應灰類隸屬度。

從式(5)可以看出：聚類綜合評價值綜合考慮各灰類的聚類系數、各灰類臨界值、各樣本值以及系統數據的離散程度(標準差)，能夠將少量樣本的信息充分利用，聚類結果在理論上相比傳統模型更具客觀性。

6) 分類與優選

以相鄰灰類白化權函數交點為區間邊界，結合上下限，給出s個灰類區間，聚類綜合評價值落在哪個區間，聚類對象就屬于哪個灰類。

根據聚類綜合評價值數值大小，對決策對象進行排序比較，聚類綜合評價值越大，排序結果越靠前。根據決策要求需要的目標個數，選擇排序靠前的對象為優選結果。

4 算例

4.1 算例1

該算例為防空武器毀傷能力評價與選擇，分為更優、優、良、中、差、更差6個灰類。采用基于中心點的三角白化權函數，各灰類取值范圍分別為[0.825，1.0]、[0.675，0.825]、[0.525，0.675]、[0.375，0.525]、[0.225，0.375]、[0.000，0.225]，灰類臨界值分別為0.9、0.75、0.6、0.45、0.3、0.15，指標權重依次為0.245 1、0.127 8、0.251 7、0.253 9、0.121 5。指標無量綱化樣本值(評分值)見表1，本文方法的計算結果見表2所示。

表1 指標無量綱化樣本值Table 1 Non-dimension index value

表2 計算結果(算例1)Table 2 Results of example 1

傳統方法首先利用聚類系數對指標進行分類，然后利用綜合決策測度對同灰類指標進行排序。傳統方法排序結果為>>>>，分類結果為屬“更優”，屬“優”，、和屬“良”；本文方法排序結果為>>>>，分類結果見表2。本文方法計算結果與傳統方法計算結果有所不同，具體說明如下：

1) 樣本與樣本

對于分類結果，從表2可知，樣本對“更優”和“良”灰類的聚類系數分別為0373和0393，差異十分微小。當采用聚類系數的最大值(傳統方法)作為分類結果，從數學理論上講，存在一定評估風險。當最大隸屬度(“良”灰類)和第二大隸屬度(“更優”灰類)相差較小時，分類結果應與二者對應灰類等級的平均狀態“優”大體相當。然而，傳統方法分類結果為“良”，分類結果偏于保守。

對于排序結果，樣本和樣本歸一化聚類系數向量分別為{0373,0034,0393,0000,0000,0000}、{0033,0574,0393,0000,0000,0000}，二者對“良”、“中”、“差”、“更差”灰類隸屬度相同，因此可以把這4項從分析中去掉，通過對其他灰類(“更優”和“優”)隸屬度即可判斷樣本與樣本的優劣。樣本對“更優”灰類隸屬度高于樣本，對“優”灰類隸屬度低于樣本，說明樣本相比樣本傾向于更高灰類。另外，對表1中指標評分值進行分析，樣本的指標3、4和5評分值與樣本相同，指標1、2評分值比樣本高，即樣本應優于樣本。綜上所述，無論比較隸屬度，還是比較指標評分值，樣本都應優于樣本，而傳統方法排序結果樣本優于樣本，排序結果錯誤。

2) 樣本、樣本與樣本

傳統方法排序結果為>>，排序結果錯誤，具體解釋如下：灰色決策模型是根據多個不同指標對樣本進行排序比較，當單獨按任意指標的排序結果都一致時，灰色決策模型的排序結果也應與按任意指標的排序結果一致。從表1中的評分值可知，對于5個指標的評分值，樣本均大于樣本、樣本均大于樣本，即對所有指標而言，樣本均優于樣本、樣本均優于樣本。因此，實際排序結果應為>>。

3) 討論

傳統方法結果不合理的主要原因是：傳統模型的綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進行排序，對于不同灰類決策對象間的排序則直接繼承分類結果，樣本分類不合理將被排序結果繼承并放大。

本文模型的聚類綜合評價值可對屬于不同灰類的所有決策對象進行排序，排序結果不受分類結果影響；能夠減少因聚類系數無顯著差異引起的分類錯誤的風險，能夠避免因不合理分類引起排序結果偏離實際的現象，分類與優選結果更客觀。

4.2 算例2

該算例來源文獻[15]，為武器裝備供應商的評價與選擇，分為優、良、中、差4個灰類。各灰類取值范圍分別為[085，10]、[075，085]、[065，075]、[00，065]，各個灰類臨界值分別為09、08、07、06。各指標無量綱化樣本值、權重及白化權函數見文獻[15]。本文方法的計算結果見表3所示。

表3 計算結果(算例2)Table 3 Results of example 2

傳統方法排序結果為>>。本文方法排序結果為>>。本文方法排序結果與傳統方法排序結果不同，具體說明如下：

1) 樣本與樣本

傳統方法排序結果為樣本優于樣本，排序結果不合理。具體解釋為：對比表3中樣本與的數據可知，按最大隸屬度原則，樣本與均屬于“良”灰類，但樣本對“優”灰類隸屬度優于樣本，對其他灰類隸屬度劣于樣本，即樣本傾向于更高灰類、樣本傾向于更低灰類。另一方面，對于樣本的最大隸屬度0369與“優”灰類隸屬度0327接近，即樣本相對偏向“優”灰類；而樣本，其最大隸屬度0385與“中”灰類隸屬度0354接近，即樣本偏向于“中”灰類。綜上所述，樣本是優于樣本的。

2) 討論

造成傳統模型排序結果不合理的主要原因是：傳統模型利用綜合決策測度進行排序，本灰類權值(調整系數)比優于本灰類的灰類權值更高，造成本灰類決策系數越大的決策對象，綜合決策測度必然也越大。對第1灰類(最優灰類)是合理的，但對其他灰類，排序結果可能出現不合理現象。

本文模型用聚類綜合評價值取代傳統方法中的綜合決策測度，能夠避免因綜合決策測度中的調整系數向量構造不合理引起的排序偏差。本文模型同時考慮了指標樣本值、各灰類臨界值及樣本離散程度，將樣本蘊含的少量信息充分運用。本文模型排序結果與文獻[15]通過重新設計調整系數向量得到的排序結果一致。

5 結論

1) 以聚類綜合評價值取代傳統模型中的綜合決策測度，提出了一種基于聚類綜合評價值的灰色決策模型。該模型將分類與優選作為整體考慮，突破了傳統模型需要決策對象屬于同灰類的限制，可同時對所有灰類決策對象進行排序優選，排序結果不受分類結果影響。聚類綜合評價值能夠綜合考慮各灰類歸一化聚類系數、各灰類臨界值以及系統數據離散程度，能夠將少量樣本信息充分利用，分類結果與排序優選結果在理論上比傳統模型更具客觀性。

2) 本文模型既能避免因綜合決策測度中調整系數向量構造不合理引起的排序偏差，也能消除綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進行排序的限制，同時還能減少聚類系數無顯著差異而引起的不合理排序及錯誤決策風險。算例表明，本文模型合理有效，分類與優選比傳統模型更加客觀。