基于數學核心素養下深度教學的三種策略
——以事件的關系與運算為例

周 瑛

(浙江省永嘉中學，浙江 永嘉 325100)

“事件的關系與運算”這節課的課程標準要求：了解隨機事件的關系與運算，結合實際問題，知道隨機事件的含義，并能識別它們之間的關系；知道隨機事件的關系與運算的集合表示，能用簡單隨機事件表示復雜的隨機事件，能結合實例進行隨機事件的并交運算

概率研究的一個重要方法是建立一些運算法則，用簡單事件的概率推算復雜事件的概率這就需要研究事件之間的關系與運算，而用簡單事件的運算表示復雜事件的概率是概率學習的一個難點所以，教師要通過不同語言轉換及多種不同方法突破此難點,為學生后續學習事件獨立性、概率的基本性質、概率的計算、排列組合、隨機變量分布列等內容打下堅實的基礎

基于以上分析，下面談談如何進行基于核心素養下的深度教學策略

一、加強教師對數學學科素養內涵的深刻理解

事件的關系與運算的教學目標是培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、數學運算的核心素養和數學思想方法,重點是培養學生的數學抽象、邏輯推理的核心素養

(一)數學抽象

特征：(1)符號式：數學概念、學習方法都可以進行抽象，都可以使用抽象的符號來表達

(2)階梯式：逐級抽象，下一次的抽象是建立在一次抽象材料的基礎之上，甚至在更早的抽象材料上拾級而上

(3)廣泛性：高度的抽象必然有高度的概括

如，本節課至少有四次抽象，具體如下：

第一次抽象：

引入問題：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多事件

設計意圖：要求學生將自然語言轉化為符號語言，再轉化為圖形語言

事件集合形式事件集合形式C1=“點數為1”C1={1}C2=“點數為2”C2={2}D1=“點數不大于3”D1={1,2,3}D2=“點數大于3”D2={4,5,6}E1=“點數為1或2”E1={1,2}E2=“點數為2或3”E2={2,3}F1=“點數為偶數”F1={2,4,6}F2=“點數為奇數”F2={1,3,5}

第二次抽象：

將事件的關系與運算用自然語言、符號語言、圖形語言三種語言描述

事件的關系或運算自然語言符號語言圖形語言包含關系A發生則B一定發生B?A(或A?B)相等關系A發生B一定發生,且B發生A一定發生B?A且A?B(或A=B)并(和)事件A與B至少有一個發生A∪B(或A+B)交(積)事件A與B同時發生A∩B(或AB)互斥事件A與B不能同時發生A∩B=?對立事件A與B有且僅有一個發生A∩B=?A∪B=Ω

第三次抽象：

模型抽象：

(1)較復雜的試驗，按模型歸類可輕而易舉得以解決例如,拋擲一枚硬幣；1個產品是正品還是次品；射擊是否命中；新生兒的性別等這些試驗的樣本空間具有相同的結構這一模型的學習可為兩點分布打下基礎

(2)拋擲3枚硬幣；拋擲3次骰子；觀察三個元件構成的電路是否通暢等都是3次重復試驗的問題依次類推，可以得出次重復試驗模型,放球入盒、兩人比賽問題也可以化為有放回摸球問題這一模型的學習可為二項分布打下基礎

(3)抽簽問題：抽到次品與正品；摸球不放回等都可以化為不放回模型，為超幾何分布的學習打下基礎

(4)兩個隨機事件運算結果抽象

第四次抽象:

方法抽象：如類比、歸納等研究方法

(二)邏輯推理

邏輯推理是指從已有事實和命題出發，依據規律推出其他命題的思維過程主要包括兩類，一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹

從數學學習的研究過程來看，我們經常使用如下的邏輯思考方法：

它突出了聯系的特點，通過類比、推廣、特殊化等方式，可以有力地促進學生的數學思考，使學生更有效地尋找自己感興趣的問題，從而獲得研究方法的啟示

本節課可以用集合的觀點來研究事件的關系和運算：

此外，事件關系與運算的得出都是從實際問題出發，先舉實例，由特殊到一般，再從一般到特殊同時，教師選的例子也應呈現進階性，事件個數從一個到二個，再到三個，再到個

數學思維活動是數學素養形成與發展的核心過程要素，有效的問題鏈可以引領學生進入深度學習基于問題鏈的概念課堂教學應著眼于學生的最近發展區，在學生原有的基礎上進行，通過獨立活動提升其解決問題的水平，再提供需要挖掘、有難度的內容激發學生的潛能，提升學生的發展水平，并超越其最近發展區而達到下一發展階段，教師在此基礎之上進行下一個階段的教學

設計問題鏈的流程：

本節課可以設置以下問題鏈：

問題1：你能說說本試驗的其他事件嗎？試用集合的形式表示這些事件

問題2：借助集合之間的關系與運算，你能發現這些事件之間類似的聯系嗎？

問題3：你能說出實際生活中具有包含關系的隨機事件嗎？

問題4：你能歸納概括一下不可能事件的定義嗎？

問題5：你能舉出事件的一個互斥事件嗎？對立事件呢？

問題6：互斥事件與對立事件的聯系和區別有哪些？

問題7：三個事件的并事件；交事件你能寫出來嗎？

問題8：你能寫出表示兩個元件工作狀態的樣本空間嗎？

問題9：你能用集合的形式表示事件、事件以及它們的對立事件嗎？

問題11：如何用事件的運算得到新的事件

問題12：將串聯改為并聯，你又如何看待這幾個問題？2個元件改為4個元件，你又如何解決這幾個問題？摸球事件與電路試驗有何聯系？

問題13：你有什么收獲？

三、提升學生的參與度

學習主體在思維活動中的經歷、體驗、反思過程中產生的情感共鳴是其數學素養形成與發展的催化劑

深度學習流程圖如下：

具體措施：

1適當留白

2設置學生感興趣的探究題

如：以通用技術中接線路問題為切入點,層層遞進設置問題,提升學生的學習興趣

現有4個外觀一致的電子元件甲、乙、丙、丁，每個元件可能正常或失效

如圖，由甲、乙兩個元件組成一個串聯電路，觀察兩個元件正常或失效的情況設事件=“甲元件正常”，=“乙元件正常”

(1)寫出表示兩個元件工作狀態的樣本空間

(2)用集合的形式表示事件，以及它們的對立事件

設計意圖：讓學生進一步鞏固概念

2已知電子元件甲、乙(標號為1和2)正常，丙、丁(標號為3和4)失效，現從中不放回地依次隨機抽取2個元件，如圖，組裝成一個串聯電路

設事件=“第一次抽取到正常元件”，=“第二次到抽取正常元件”，

=“兩次都抽取到正常元件”，=“兩次都抽取到失效元件”，

=“兩次抽取的元件狀態相同”，=“電路不能正常工作”

(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件

(2)事件與，與，與之間分別有什么關系？

(3)∪與事件有什么關系？∩與事件有什么關系？

變式方法:

(1)將電子元件甲、乙、丙、丁改為紅球1號、2號，綠球3號、4號

(2)從中不放回地依次隨機抽取2個元件改為從袋中不放回地依次隨機摸出2個球

(3)=“第一次抽取到正常元件”→“第一次摸到紅球”，

=“第二次抽取到正常元件”→“第二次摸到紅球”，

=“兩次都抽取到正常元件”→“兩次都摸到紅球”，

=“兩次都抽取到失效元件”→“兩次都摸到綠球”，

=“兩次抽取的元件狀態相同”→“兩個球顏色相同”，

=“電路不能正常工作”→“兩個球顏色不同”

上述例題從兩個元件的串聯，到兩個元件的并聯，再到四個元件選兩個進行串聯，再到抽象出一樣模型的摸球問題，逐層遞進問題還可以挖掘，如拓展為三個正常元件等，讓學生帶著問題回顧課堂所謂學習不止，探究不息

3給學生展示的機會與適當的鼓勵

教師要經常巡視班級，多多傾聽學生的想法，給予學生正面的評價與鼓勵，讓學生充滿學習數學的成就感，對數學的學習更加有興趣，同時設置淺層的問題，幫助學困生逐漸提起學習數學的興趣，使其在不斷的鼓勵中形成數學思維

四、結 語

數學的世界是星辰大海，是浩瀚宇宙，它深邃唯美作為教師，應該帶領求知欲旺盛的學生們探究數學，感悟數學，享受數學紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行,教師在平常教學中要踐行基于數學核心素養下深度教學的三種策略,真正提升學生的數學思維，從而實現立德樹人