布朗運動理論中的反常問題及原因分析

高 宏

(北京市清華大學，北京 100084)

一、引 言

布朗運動是一種具有連續時間參數和連續狀態空間的隨機過程，是刻畫布朗粒子不規則運動、光纖陀螺隨機游走誤差和股票價格隨機波動的重要數學工具，在自然科學、工程技術和社會科學領域有著廣泛應用1905年，愛因斯坦認為布朗粒子的不規則運動是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并推導出了描述布朗粒子濃度分布規律的擴散微分方程，從理論上證明了布朗粒子濃度分布函數(,)在時刻服從(0，)正態分布1923年，維納(Wiener)發表了關于布朗運動的研究論文，假設一個布朗粒子在時刻的位移()也服從與濃度分布函數(,)相同的正態分布，并給出了反映布朗運動基本數量關系的布朗運動定義，為《隨機過程》布朗運動理論的建立和發展奠定了研究方法和基本假設基礎，因此布朗運動也被稱為維納過程隨著布朗運動理論的廣泛應用和現代物理學實驗手段的不斷進步，人們發現《隨機過程》布朗運動理論出現了一系列與經驗事實不符和邏輯上不能自洽等反常問題本文介紹了布朗運動理論中出現的反常問題，分析了產生反常問題的原因

二、布朗運動定義及性質

設()為一個布朗粒子在時刻的位移(圖1)，(0)=0，定義

(1)()為平穩獨立增量過程；

(2)()～(0，)，其中>0為常數；

(3)()是的連續函數

則稱()是參數為的布朗運動，或維納過程

圖1 布朗粒子位移曲線

《隨機過程》教科書根據布朗運動定義，推導出了布朗運動的兩個重要性質：

(1)布朗粒子在時刻的位移()服從均值為零、方差為的正態分布；

(2)布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)，或布朗運動路徑處處不可導

三、反常問題

庫恩在《科學革命的結構》一書中給出了反常問題的定義：反常問題是指能威脅到科學理論基礎，使科學理論的客觀真理性和邏輯完備性受到懷疑或被證偽，并引起科學危機和導致科學理論范式轉換的科學問題反常問題主要包括以下三個方面

(一)理論內部邏輯上不能自洽

科學理論是具有一定邏輯結構的理論系統，是由一系列概念、判斷和推理組成的邏輯演繹體系，必然要求理論內部在邏輯上自洽一旦科學理論內部出現自相矛盾的邏輯悖論，則表明該理論的邏輯完備性遭到破壞，在邏輯上被證偽數學史上的三次數學危機都是由于邏輯悖論的發現而直接導致的

設為布朗運動首中時(布朗粒子首次到達圖1中位置的時間)，則首中位置()=為常數

根據布朗運動定義()～(0，)的性質，()的數學期望和方差分別為

[()]=0

(1)

[()]=

(2)

但是，根據()=，可分別計算出()的數學期望和方差為

[()]=[]=

(3)

[()]=[]=0

(4)

顯然，根據首中位置()=計算出的數學期望和方差與布朗運動定義給出的數學期望和方差相互矛盾

(二)理論與經驗事實不符

科學理論是反映人類對自然界本質特征及規律的系統化知識體系，科學理論最本質的特征是其客觀真理性，它要求科學理論必須要正確地反映客觀事物的本質及其規律性如果科學理論中的可檢驗結論與實驗檢驗結果不符，則表明該理論被實驗檢驗證偽

1位移正態分布性質與客觀事實不符

《隨機過程》布朗運動理論假設布朗粒子在時刻的位移()服從(0，)正態分布，則圖1所示的布朗粒子位移曲線應具有如下兩個正態分布的重要特征：

對稱性：絕對值相等的正、負位移值出現的次數大致相等

集中性：絕大多數位移值聚集在均值(原點)附近

但是，圖1所示的布朗粒子位移曲線既不存在正態分布的對稱性，也不滿足正態分布的集中性，因此，《隨機過程》布朗粒子位移服從正態分布的假設與客觀事實完全不符

2瞬時速度無窮大(處處不可導)與物理學實驗不符

《隨機過程》教科書根據“布朗粒子位移服從正態分布”的假設，推導出了布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)或布朗運動路徑處處不可導的結論

2010年，美國得克薩斯大學的李統藏地利用激光光鑷技術首次實驗測量到了布朗粒子的瞬時速度，實驗結果表明，布朗粒子的瞬時速度是均值為零的不相關白噪聲，布朗粒子的瞬時速度(導數)不僅存在，而且可觀測，直接顛覆了《隨機過程》教科書布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)和布朗運動路徑處處不可導的錯誤結論，同時也證明了“布朗粒子位移服從正態分布”的假設不能成立

事實上，根據愛因斯坦布朗運動理論中的“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運動相互獨立”假設，直接就可得出“布朗粒子瞬時速度為零均值不相關白噪聲”的結論

(三)應用導致金融危機

1965年，美國第一位獲得諾貝爾經濟學獎的著名經濟學家薩繆爾森(Samuelson)，根據《隨機過程》布朗粒子位移服從正態分布的錯誤假設，建立了描述股票價格隨機波動現象的幾何布朗運動模型

1970年，布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)基于薩繆爾森的幾何布朗運動模型，推導出了著名的B-S期權定價公式.由于B-S期權定價公式為股票、債券、貨幣、商品等金融衍生產品的定價提供了數學工具，B-S期權定價公式迅速被廣泛應用于金融市場，直接導致了“第二次華爾街數學革命”，使金融市場獲得了空前規模的發展.1997年，斯科爾斯因此獲得了第二十九屆諾貝爾經濟學獎，布萊克不幸英年早逝，沒有與斯科爾斯一起領獎.

由于幾何布朗運動模型與實際股票價格波動現象和運行趨勢嚴重不符，導致-期權定價公式成為造成 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機的罪魁禍首

被譽為“中國金融數學開創者”、獲得2020未來科學大獎“數學與計算機科學獎”的彭實戈院士，在《中國基礎研究發展報告(2019年)》第二章中國數學前沿進展中明確指出：B-S 期權定價理論是造成以前歷次重大金融危機的關鍵性原因.

英國著名數學家斯圖爾特(Stewart)在《改變世界的17個方程》書中寫道：B-S期權定價公式改變了世界，它不僅創造了一個金額難以估計的產業，而且也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰.

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布(Taleb)在《金融時報》上發表了題為“破壞市場的偽科學”專欄文章，對金融數學進行了嚴厲的批判：人們從一次又一次的金融危機中得出了“金融數學的有效性與占星術一樣不靠譜”和“金融數學通過創造風險來危害金融系統”的結論.塔勒布痛斥金融數學理論獲得諾貝爾獎不僅是對科學的侮辱，而且一直使金融體系面臨崩潰的風險.

四、原因分析

(一)物理概念錯誤

愛因斯坦認為布朗粒子的不規則運動是由于受到大量液體分子的連續隨機碰撞造成的，并假設“同一布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”和“不同布朗粒子之間的運動互不相關”，推導出了布朗運動擴散微分方程

式中(,)為布朗粒子的濃度分布函數，為擴散系數

布朗運動擴散方程的歸一化解析解為：

(6)

顯然，布朗粒子在擴散過程中的濃度分布函數(,)服從正態分布，有

(,)～(0，)

(7)

式中=2

維納在研究單個布朗粒子的運動規律時，將描述大量布朗粒子濃度分布規律的正態分布抽象為一個布朗粒子的位移變化規律，并定義布朗粒子在時刻的位移

()～(0，)

(8)

布朗運動定義是對現實世界布朗運動基本數量關系的反映，也是建立布朗運動理論的邏輯起點(基本假設、基本原理或基本公理)維納將大量布朗粒子的濃度分布規律等同于單個布朗粒子的位移變化規律，導致建立布朗運動理論的邏輯基礎與客觀事實不符，因此從布朗運動定義出發推演出的布朗運動理論必然無法正確描述布朗運動現象及規律

(二)數學抽象錯誤

數學抽象是指從現實世界中提取出研究對象的數量關系、空間形式及變化規律，并用數學符號表示為數學概念或數學模型，從而可用數學語言來刻畫客觀世界的本質屬性與內在規律在特定的語境中，數學抽象有時是指“抽象的結果”，有時是指“抽象的過程”或“抽象的方法”

《牛頓力學》和《隨機過程》均以質點作為研究對象《牛頓力學》將質點位移與時間之間的數量關系抽象為時間函數()，而《隨機過程》卻將質點位移與時間之間的數量關系抽象為隨機變量()

雖然《隨機過程》使用時間函數符號()來表示隨機變量，但隨機變量()并不是時間的函數，它實質上是定義在樣本空間上的單值函數，是樣本點的函數

樣本空間映射的是隨機試驗所有可能結果構成的集合，因此隨機變量()在時刻有多個或無窮多個取值，而時間函數()在時刻只有唯一一個取值時間函數()和隨機變量()的區別及所描述的物理對象見表1

表1 時間函數和隨機變量的區別

從表1可以看出，時間函數和隨機變量是兩種內涵與外延完全不同的數學結構，對應于完全不同的物理對象時間函數用來描述單個質點的位移隨時間變化過程，隨機變量用來描述所有質點在時刻的空間位置分布狀態

事實上，根據隨機過程定義，一個隨機運動的質點在時刻的位移()是固定時的隨機過程(,),亦即樣本函數()或樣本軌道()，而樣本函數本身就是時間函數《隨機過程》教科書將質點在時刻的位移()錯誤地抽象為隨機變量，導致《隨機過程》研究對象無形中從單個質點改變為質點集合，建立的理論必然與客觀事實不符，無法正確描述單個布朗粒子運動現象及規律

(三)邏輯錯誤

數學以邏輯推理的嚴密性著稱為了保證數學理論的確定性、無矛盾性和明確性，在運用概念、做出判斷、進行推理的數學思維過程中，必須要遵循同一律、矛盾律、排中律和充足理由律這四個邏輯思維基本規律但是，《隨機過程》教科書中卻出現了一系列違反同一律和矛盾律的邏輯錯誤

同一律是指在同一數學思維過程中，所使用數學概念的內涵和外延必須要與其自身始終保持同一如果在同一數學思維過程中，把兩個完全不同的數學概念混為一個概念，就會違反同一律，犯“混淆概念”或“偷換概念”的邏輯錯誤，必然會導致推導出的結論在邏輯上不能自洽

矛盾律是指在同一數學思維過程中，兩個不同的數學概念不能反映同一對象如果用兩個不同的數學概念描述同一對象，就會出現違反矛盾律的邏輯錯誤，必然會導致邏輯矛盾或邏輯悖論的產生

以布朗運動定義為例，分析《隨機過程》教科書中的邏輯錯誤(表2)定義是通過簡明陳述來揭示概念內涵或解釋命題的邏輯方法，布朗運動定義中的被定義項()為時間函數，但是布朗運動定義中的定義項卻用隨機變量和時間函數這兩個定義域和值域完全不同的數學概念來描述同一個布朗粒子在同一時刻的位移，從而出現了違反同一律和矛盾律的邏輯錯誤由于隨機變量和時間函數在同一時刻的數學期望和方差完全不同，因此必然會導致《隨機過程》布朗運動理論產生邏輯悖論，在邏輯上不能自洽

表2 布朗運動定義中邏輯錯誤分析

《隨機過程》布朗運動理論是以布朗運動定義作為其邏輯出發點(基本原理、基本公理或基本定律)，按照一定的邏輯規則推演出來的一系列邏輯結論布朗運動定義中的邏輯錯誤，導致《隨機過程》布朗運動理論的邏輯完備性在邏輯出發點就遭到顛覆式破壞

五、結論

本文對《隨機過程》布朗運動理論中出現的“理論與經驗事實不符”“邏輯上不能自洽”“應用導致金融危機”等反常問題進行了介紹，詳細分析了導致《隨機過程》布朗運動理論產生反常問題的物理概念錯誤、數學抽象錯誤和邏輯錯誤《隨機過程》布朗運動理論出現一系列的反常問題，表明布朗運動理論的客觀真理性和邏輯完備性被證偽，預示著布朗運動理論將面臨庫恩在《科學革命的結構》書中所描寫的重大范式轉換，《隨機過程》教科書中原有的錯誤方法和錯誤理論將會被新方法和新理論所取代，為中國的隨機過程學科進入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發展機遇