含參量定積分的求解技巧

武燕玲 付 柯 賀春梅 麻 歡 石璐潔 李喜彬

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

一、引 言

在求解定積分的過程中，通常會遇到形如

這里先介紹一個定理

設(shè)(,)與?(,)均在矩形區(qū)域≤≤,≤≤上連續(xù)，則函數(shù)在[，]上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)′()，且

此定理給出了求導(dǎo)和積分可以交換的充要條件，由于我們下面所計算的積分中被積函數(shù)的連續(xù)性以及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性均可以保證，故在具體求解的過程中不再證明其交換順序的合理性

二、含參量的定積分

先看兩個利用一階導(dǎo)數(shù)求解的例子

對求偏導(dǎo)，可得到

上式為關(guān)于參量和定積分，采用分部積分法，

上式的最后一項積分可以利用分步積分法來進行求解

由于積分與求導(dǎo)具有互逆關(guān)系，對上式進行積分:

此題得解

以上的計算方法是在本題滿足積分與求導(dǎo)互逆條件的基礎(chǔ)上，先對參量求偏導(dǎo)再對其進行積分得到的讀者可自行類比，嘗試對求偏導(dǎo)再積分得到相同結(jié)果

但有些積分中并不包含參量，處理方法是在被積函數(shù)的適當位置插入?yún)⒘浚怪優(yōu)榉e分的形式，進而求解，最后根據(jù)原題對插入?yún)⒘咳∵m當?shù)闹担纯傻媒庀旅鎭砜匆粋€具體的例題

本積分中不含有如例1中的未知數(shù)，故我們在積分的三角函數(shù)部分引入?yún)?shù)

上式顯然有(0)=0對求導(dǎo)，得到

上面的積分結(jié)果可參考專著[2]此時，對上式求積分，移項后可以得到()的表達式

下面介紹一個和反三角函數(shù)有關(guān)的例子解題思路仍采用求導(dǎo)再積分的方法

本積分中不含有如例1中的未知數(shù)，故我們在反正切函數(shù)中引入?yún)?shù)

顯然有(0)=0對求導(dǎo)得到具體值

第二步用到了有理分式的拆解方法再對上式求積分可以得到()的表達式

最后令=1可以得到原積分的解為

由此可見，對于我們不是很熟悉而且求積分難度相比起來較大的反三角函數(shù)，也可以利用此種方法，求解也相較而言簡單了不少

在實際計算過程中，我們發(fā)現(xiàn)運用此種方法能解決有些定積分問題，只求一次導(dǎo)數(shù)無法得解，此時我們對它再次求導(dǎo)，得出具體的數(shù)值，最后利用二階微分方程的性質(zhì)求得通解

對上式進行分步積分，有

其中

以及

顯然有(0)=0對()求導(dǎo)數(shù)得到

對上式進行積分，并令積分的上限為1，可得到原積分的結(jié)果為

為常數(shù)，仍可引入?yún)?shù)

求一階導(dǎo)后未得到具體數(shù)值，但可知=0時有

′(0)=-π

此時，不妨對其求二階導(dǎo)數(shù)

由此可得二階齊次常微分方程

″()-()=0

通解為()=e+e-

此題得解

本題雖未得到求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的具體值，但分別為求解提供了初始條件和二階常系數(shù)方程，綜合求得原函數(shù)即定積分的值

此題是《數(shù)學(xué)物理方法》或者《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中一道經(jīng)典的例題，不過該例題在上述教材均根據(jù)留數(shù)定理進行求解此例題說明，利用留數(shù)定理求解的一些積分同樣可以在實變函數(shù)的范圍內(nèi)進行求解，只不過對技巧性要求較高

本題由于積分區(qū)間特殊，所以先利用其原函數(shù)

本題將待求積分看作已求導(dǎo)后的積分，但仍可使用上述思路求解根據(jù)函數(shù)奇偶性，將“求導(dǎo)后”積分區(qū)間進行變化，得到一階微分方程，求得通解，代入初始條件，求得“原函數(shù)”最后將其求導(dǎo)，得到我們需要的定積分

對該極限求對數(shù)，由于對數(shù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，極限運算和對數(shù)函數(shù)可以交換順序，

其中第三部利用了定積分的定義將上式記為一個新函數(shù)并引入?yún)⒘浚?/p>

易知(0)=πl(wèi)n2對新函數(shù)求導(dǎo)，有

上式第四步用到了三角有理積分的“萬能公式”法將所得值進行積分：

由(0)=πl(wèi)n2得積分常數(shù)為=-πl(wèi)n2，代入求得

此題目為“2021年全國高等院校數(shù)學(xué)能力挑戰(zhàn)賽”的壓軸題求解此題的過程相對煩瑣，需要先將乘積轉(zhuǎn)換為求和的形式，利用定積分的定義，原極限變?yōu)橐活愄厥庑问降亩ǚe分定積分的求解方法就是將其變?yōu)楹瑓⒘康男问剑笄髮?dǎo)再積分

對其求導(dǎo)有

最終得到原積分的結(jié)果為

上式用到了伽馬函數(shù)的性質(zhì)

推廣后，我們可引入的參量形式多種多樣，如本題引入了指數(shù)形式，從而利用了伽馬函數(shù)的性質(zhì)，使解題變得更簡單

三、總 結(jié)

含參量定積分的求解方法是眾多定積分求解技巧中的一種通過以上8道例題可以看到，并無特定形式的定積分適用此種技巧，要想熟練掌握此種技巧還需大量的練習(xí)同時此種方法通常運算量較大，因此它往往出現(xiàn)在求解復(fù)雜定積分的過程中，但本文介紹的方法又不失為一種求解定積分的可行方法

總之，利用導(dǎo)數(shù)求解定積分，是一種常見的求解含參量定積分的方法，雖有一定的使用條件，但仍可求解某些定積分