自然遞進促生長，核心素養有落實
——以“一次函數的圖像”第一課時為例

施燕芬

(浙江省杭州市蕭山區高橋初級中學，浙江 杭州 311208)

一、數學核心素養和自然遞進簡介

目前培養學生核心素養成為我國教育界的熱點，成為社會和教育者眼中深化課程改革、落實立德樹人的根本任務的重要因素而學生核心素養的培養最終還是要落實在學科核心素養的培養上數學核心素養的本質在于會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界作為落實數學核心素養的重要支點和主要渠道，課堂教學應為發展學生的數學核心素養提供助力

自然遞進就是通過若干個相互聯系的學習環節，按照一定的邏輯順序和形式形成學習知識鏈，對知識進行“全方位，立體化，有層次”的整體性理解，促進探究教學數學是生長的，將自然遞進的教學理念引入數學學習中，是讓數學學習活動助力學生個體生命的成長；是邏輯連貫的數學教學；是前后一致的數學教學；是關注學生生命成長的數學教學

二、教學分析與設想

本節內容選自浙教版八年級上第五章第四節第一課時，是在已經學習了平面直角坐標系、常量與變量、函數的表示方法及一次函數的概念等基礎上，對一次函數的圖像進行的深入探究同時，本節課的內容對后續學習反比例函數、二次函數的圖像與性質有著借鑒作用本節的教學目標不僅要使學生了解一次函數的圖像是一條直線，更側重畫圖的生成過程、轉化等思想方法的提煉過程、圖像知識的升華過程因此為了有效落實教學目標，本課以一次函數的圖像探索為主線，從知識發生、發展上逐步引入、探索新知識，讓新知識逐步自然生長

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出，數學課程內容“不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法課程內容的選擇要有利于學生體驗與理解，思考與探索”基于學生學情對教學內容的分析，在教學設計時對教學內容進行整體構思，分步編排，將本節課的學習任務做一次分解，其結構如圖1所示

圖1

三、教學過程與說明

【設計】

圖2

如圖2所示的是甲、乙兩人在一次賽跑中路程與時間的函數圖像你能從中獲取哪些信息？

根據圖像回答下列問題：

(1)這是一次幾百米的賽跑？

(2)甲、乙兩人中誰先到達終點？

(3)乙在這次賽跑中的速度是多少？

【現場】

師：同學們，請根據圖像回答下列問題

生(眾)：這是100米的賽跑，甲先到達，乙的速度是8 m/s

師：從中還能得到哪些信息？

生1：甲跑得比乙快，甲比乙提前05 s到達終點

生2：甲跑完全程需12 s，乙跑完全程需125 s

師：很好！根據圖像我們能得到很多的信息參照圖像甲，當=3時，=25，這樣把自變量作為點的橫坐標，把函數作為點的縱坐標就得到點(3，25)，而當=6時，=50，就得到點(6，50)……所有這些點就組成了這個函數的圖像今天我們就來探究一次函數的圖像

【教學說明】

數學教學活動必須建立在學生的認識發展水平和已有的知識經驗上本環節的設置意在讓學生理解函數圖像的概念，感受函數圖像在日常生活中的應用設計三個難度不大的小問題，在激發學生的學習興趣、調動積極性的同時，培養了學生“看圖說話”的抽象能力的素養

【設計】

1自主探究——一次函數=2+1圖像的畫法

2小組合作——以六人小組為單位，交流探究過程

3課堂展示選擇有代表性的小組，要求小組派一名代表進行匯報，同學提出疑問

【現場】

(在學生自主探究，小組交流后)

師：如何畫一次函數=2+1的圖像？

生1：選擇5對自變量與函數的對應值，在坐標系中描出5個對應的點，并將這5個點連線

師：選擇的這5個點有什么特點？

生2：簡單的點，整數點

師：還有別的要求嗎？

生3：的值對稱的，正數，負數和零，可以取=-2，-1，0，1，2

師(選擇性描出5個點后，見圖3)：一次函數的圖像畫好了嗎？

圖3

生4：沒有，還沒有連線

師：為什么要連線？

生4：因為還有無數個點也符合函數解析式

師：那怎么辦？

生4：再多取一些點，還可以取±3，±4，±5,…

師：很好，但橫坐標1與2之間還有點嗎？

生(眾)：有！

師(借助幾何畫板，見圖4)：通過幾何畫板繪制這些點并觀察，你有什么發現？

生(眾)：在一條直線上

師(見圖5)：在12-13之間還有點嗎？再試試看放大、縮小，你發現了什么？

生(眾)：也在同一直線上

圖4

圖5

師：如果在這條直線上取兩個點，如(-25，-4)，(4，9)，它們滿足什么關系？

生5：它們都在函數圖像上

師：滿足一次函數=2+1解析式的點(，)在它的圖像上，而圖像上的每一點的橫坐標，縱坐標都滿足一次函數的解析式，所以一次函數的圖像是一條直線

【教學說明】

借助幾何畫板，通過增加點的方式，逐步逼近，感受一次函數的圖像是一條直線事實上，點追蹤的過程，就是驗證圖像的完備性，即滿足解析式的點都落在函數的圖像上，同時進一步在圖像上取點，來驗證純粹性，即圖像上的點的坐標滿足函數解析式，深刻體會點與坐標的一一對應關系本環節在設計的時候，教師放手讓學生動手解決數學問題，體現把課堂真正回歸給學生的原則，真正做到了培養學生自主學習的習慣、小組合作的精神及模型觀念的素養

【設計】

已知一次函數=3與=-3+2

(1)在同一平面直角坐標系中，畫出這兩個函數的圖像

(2)求一次函數=3，=-3+2與坐標軸交點的坐標

【現場】

(在學生畫完一次函數的圖像后)

師：怎么畫一次函數=-3+2的圖像？

生1：選幾個點，列表，描點，連線

師：我們是否可以更簡潔地畫出這條直線呢？至少要描幾個點？為什么？

生2：至少兩個點，一次函數的圖像是一條直線，而兩點確定一條直線

師：那么我們可以怎么簡化畫一次函數圖像的方法？

生2：采用兩點作圖法，步驟依然是列表、描點、連線我選擇(1，-1)，(2，-4)

生3：我選擇(0，2)，(1，-1)畫圖

師(黑板上作圖)：很好，整點取值能方便作圖

師：大家再看，(0，2)這個點有什么特殊性？

生4：當=0時，=2，而這是直線=-3+2與軸的交點

師：那么直線與軸有交點嗎？如果有，坐標是什么？

師：請總結一下求一次函數圖像與坐標軸的交點坐標的方法

師：總結得很到位！請繼續思考，根據一次函數的圖像，可得正比例函數=-3的圖像有何特點，在畫圖像時，你會怎么取點?

生6：圖像是經過原點的一條直線，與坐標軸交于點(0，0)，可以一個點取(0，0)，另一個點取(1，-3)

師：因此我們可以利用“兩點法”來優化、簡化一次函數圖像的畫法；可以直接利用函數的表達式求函數圖像與坐標軸的交點的坐標

【教學說明】

由于有了環節二的過渡，又通過教師逐層追問，學生自然得到畫一次函數的圖像只需“恰當的兩點”，即應用兩點確定一條直線教師通過讓學生選取的不同的點，引出求函數圖像與坐標軸的交點，讓學生深刻體會交點的意義及求法，培養了數據觀念的素養

【設計】一個長方形的周長是12 cm，一邊長是cm

(1)求它的另一條邊長關于的函數表達式，以及的取值范圍

(2)畫出這個函數的圖像

【現場】

(學生作答，教師巡視并用平板拍照功能收集學生答題情況)出示如圖6所示的圖片

圖6

師：這兩個圖像一樣嗎？

生(齊)：不一樣！

生1：在實際情形中，因為，都表示邊長，且0<<6，所以此時這個函數圖像就不能向兩端無限延伸了

師：你的思路很清晰，觀察很敏銳在實際情形中的一次函數圖像與一般的函數圖像具有差異性，在自變量的取值上條件有所限制，此時它是一條無端點的線段，是直線的一部分

【教學說明】

課標強調，成功的教學不是讓學生帶著句號走出課堂，而是讓他們帶著感嘆號和新的問號走出課堂環節四的設計是為了高階生成，預約精彩教師借助平板拍照功能，快速收集學生信息，通過比對教學，讓學生深刻地感受自變量的取值范圍對圖像的制約作用教師通過問題的解決來內化核心素養，讓學生推理能力的素養落地生根

【設計】

通過本節課的探討學習，你獲得了哪些新的知識？你認為有哪些方面的進步

【現場】

師：本節課我們學習了哪些新的內容，請同學們總結一下

生1：我知道了一次函數的圖像是一條直線，學會了用“兩點法”畫一次函數的圖像，還掌握了如何判斷一個點在不在一條直線上和如何求一次函數圖像與坐標軸的交點

生2：實際情形中的函數圖像的自變量的取值條件有時會受限制

師：同學們的回答很全面我們不妨從以下三個方面回顧：

(1)研究過程

(2)研究思路

(3)研究方法(數與形切換)

【教學說明】

教師通過回顧一次函數圖像的全程學習和研究，以“自然遞進”調動認知儲備，喚醒學生的學習興趣，完成知識建構，充實知識網絡，促進數學思考，提升核心素養

四、幾點思考

1自然遞進促進知識生長

一次函數圖像的本質是由無數多個滿足一次函數關系式的動點組成的圖形為了讓學生真正地理解一次函數圖像的本質，本節課設計兩個“遞進”：

教學目標遞進：一是了解函數的圖像的概念通過生活現實中的例子，引入要研究的一次函數的圖像；二是就一次函數的圖像進行點、點的坐標、變量的對應取值等要素的探究；三是對一次函數圖像的畫法進行優化、簡化、深化和應用

教學過程遞進：在確定教學目標后，教學的每一個環節設計都緊緊圍繞落實教學目標，力求找到更好、更優、更深刻的方式方法，使核心素養“落地生根”以往的一次函數圖像的教學設計只注重結果，直接告訴學生畫函數圖像需經歷列表、描點、連線的過程,但學生并不清楚一次函數的圖像為什么是一條直線，為什么幾個點能代替無數點，為什么要順次連線因此在設計環節二時，教師先讓學生自主嘗試，再合作交流，最后引導學生總結同時，教師要借助現代多媒體技術，如幾何畫板，電子白板等，通過兩個點之間不斷增加點的方法，逐步逼近；所描的點也從有限到無限，從離散到密集，從特殊到一般，讓學生首次感受圖像整體的發展趨勢，見證圖像的生長是連續的在環節三的設計上，教師以追問“開路”，引導學生感悟畫一次函數的圖像用“兩點法”即可在環節四的設計上，教師讓學生進一步感受生活中的函數圖像受自變量的制約教師在教學過程中以階梯式的問題設計，引導學生的視域從“樹木”走向“森林”

2核心素養催生高效課堂

隨著課改的深入，為了數學核心素養教學目標的確立和落實，我們的數學課堂教學必須“化教學內容為數學本質，融生本理念于教學實踐，合核心素養為教學目標”教師要把學科核心素養的培養落實在數學教學活動設計的每個環節當然，學生的數學核心素養并不是教師教出來的，而是在教師的引導下，學生在自主、合作、探究中，去思考、領悟、積累中獲得的因此，本節課在教學設計時，每一環節落實一個學習任務，落實數學知識，落實數學核心素養

總之，從“自然遞進”的角度進行教學，立意高，思想性強，數學味濃這樣的安排可以自然而又深刻地反應數學知識發生、發展的過程，能更好地落實數學核心素養的培養，鑄就出學生生命成長的生長性課堂，素養立意的生成性課堂，教學相長的發展性課堂，學生思維提升的靈動課堂