核心素養導向下概念教學深度化設計的五個方面
——以“橢圓的定義”概念教學為例

林生琴

(福建省同安第一中學，福建 廈門 361100)

眾所周知，一個數學概念的形成，特別是要在學生的大腦中生根，這無疑需要一個較長的心智過程但從教育的角度來說，某一數學概念在課堂上與學習者“第一次”相遇時，會發生什么？在那些關鍵之處，我們應該如何去思考、設計我們的教學？由于“第一印象”太重要了，所以“概念教學”在很多教師的眼里、心里，都特別重視不過，因經歷、素養和觀念的差異，在概念教學的課堂中，在我們彰揚個性建構的同時，仍有許多值得反思的東西圍繞概念，以下兩個步驟對于進行有深度學習的數學教學很重要：

第一，厘清基本問題，講透概念基本問題是概念課的方向，是引導學生理解概念和其數學思維方式的關鍵，可操作性強數學概念是核心，展現了數學的主要觀點和思維方式，抽象性強教師應該重視講透概念，厘清基本問題，重視數學教材和教師用書，高考考查方式及學情，帶領學生進行深理解

第二，設計研究路徑，實施精準教學教師在實際教學中，如果能夠探索出一種適合概念課的教學研究路徑是很有價值的一節概念課應含有以下幾個部分：概念的引入—概念的生成—概念的剖析與辨析—相關概念的聯系與區別—概念的應用實踐探索出一個比較通用的研究路徑是：提出問題—研究探討—概念形成—解決問題—應用舉例—歸納總結

以橢圓的定義的概念教學為例，以落實數學核心素養為標，著手概念課教學的五個方面：概念的引入，概念的生成，概念的剖析與辨析，相關概念的聯系與區別，概念的應用

一、概念的引入

概念課的教學，在我們以往的課堂上不夠重視傳統意義上的教學是一個概念，幾項注意，抓緊時間反復操練起來！舍不得花時間去搞清概念的源頭和背景，嚴重違背了我們新形勢下的《普通高中數學課程標準(2017年版)》“課標”強調提高從數學角度發現和提出問題的能力，發現問題往往比證明結論更重要，比刷更多的題更重要！

本章教材教學順序安排：橢圓—雙曲線—拋物線，它們有著“同構”的研究內容、過程及方法，概括起來就是按照類似“曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質—應用”的研究路徑，而且把橢圓作為本章的首學概念，是強調示范作用的典型性，更是注重它在基本方法和數學思想兩個方面的引領性，雙曲線和拋物線的研究路徑將通過類比橢圓來完成以下是橢圓概念的引入：

1創設情境，提出問題

一天，老師往平靜的湖面上同時拋了兩顆石子，激起層層漣漪，只見兩組同心圓交織在一起，美妙之極心想：它們的交點都能構成什么樣的圖形呢？(如圖1)

2動手試驗，引出概念

于是老師將該生活現象抽象成數學問題來研究，就得到了圖1，這個圖中都隱藏了哪些圖形呢？現在請同學們拿出手中的筆跟著老師操作：

第一步：如圖2中(1)的方法，涂黑任意選擇的一個曲邊菱形區域

第二步：將其對頂曲邊菱形區域如圖2(2)涂黑

(保證選取的對頂區域的方向一致)重復第二步驟，進行下一步操作……

你有什么發現呢？如果選擇左右型兩側對頂區域，生成的圖形如圖3(是橢圓)

圖1

圖2

圖3

二、概念的生成

問題1：這個涂黑曲線上的某一點(交點)到圓心和圓心的距離之和(計算半徑之和)是多少？

問題2：其他交點到兩圓心的距離之和是否都相等？

問題3：你能得出什么結論？(||+||=定值)

結論是：該曲線上的點到兩定點,的距離之和是個定值，也就是說橢圓上的點滿足到兩個定點,的距離之和為常數(并且大于兩定點之間的距離)

問題4：反過來，平面內，到兩個定點，的距離之和為常數的點的軌跡是否就是橢圓呢？

具體操作：利用幾何畫板畫一線段，在線段上取一點，使得=，=，無論怎么動，+=，當移動點，再追蹤點的軌跡時，我們發現其軌跡就是一個橢圓！

問題5：由此，你能自己概括出橢圓的概念嗎？

【設計意圖】此環節從生活現象中抽象出研究的對象——橢圓，體現了生活與數學的實際聯系筆者以活動為載體，讓學生在“做中學”數學，通過畫橢圓，了解橢圓上的點滿足什么共同特征，經歷知識的形成過程，積累感性經驗，又通過幾何畫板讓學生明白到兩定點的距離之和相等(大于||)的點的軌跡是橢圓，便于學生概括出橢圓的定義為了改變學生被動且單一的學習方式，讓他們自主思考和學習，教師給學生提供自主探索學習的機會，讓學生通過觀察發現，初步概括出橢圓的定義，培養學生抽象概括的數學核心素養

橢圓雖然是生產生活中常見的曲線，但對橢圓幾何特征的探究與發現是個難點，因為很難由橢圓的形狀想到橢圓的定義，為此，教材在用細繩畫圓的基礎上，通過分開細繩的兩端，畫出圖形，歸納圖形上點滿足的幾何條件：這個圖形上的點到兩個定點的距離的和是定值，進而將具有這種幾何特征的圖形定義為橢圓而筆者的這個設計使得在橢圓概念的教學中，更加注意畫圖、抽象、歸納、概括的完整過程讓學生在充分討論，用自己語言表述的基礎上，給出準確、嚴謹的橢圓定義，注意“平面內”“定點”“距離的和”“常數”等關鍵詞，特別是“常數大于兩定點間的距離||”這一條件

三、概念的剖析與辨析

將抽象的數學概念予以規范、嚴謹的界定過程是新概念的概括的重要過程，是一個數學抽象的過程通常表述形式有純文字的，也有文字符號結合的，還有與圖形相結合的，也就是有文字語言，符號語言和圖形語言的三種表述形式如何概括出橢圓的概念，當然要借助圓的定義對比抽象得到教學中，在得出橢圓的定義后，教師可進一步追問：如果這個常數等于或小于||時，相應的軌跡存在嗎？是什么？從而為后面的學習做好鋪墊在給出焦點、焦距、半焦距等概念后，教師還可向學生說明，這些概念都有“焦”字，說明在實際應用中，這兩個點與光學有著緊密的聯系，進而向學生指出，隨著后續的學習，還會逐漸認識橢圓的光學性質

圓的定義:平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓

教師引導學生從兩個方面概括：一是平面上點的軌跡，二是平面上的點符合什么條件其軌跡是圓(到定點的距離等于定長)

橢圓的定義也是條件式定義：(1)同樣是平面上點的軌跡；(2)平面上的點符合什么條件其軌跡是橢圓？和圓相比有什么不同？定點的個數發生變化，一個定點變兩個定點距離之和有條件限制

教師概括出定義并引導學生對定義中的關鍵詞進行分析理解:

(1)兩個定點，稱作焦點；

(2)兩焦點間距離稱作焦距2

(3)定長2、動點滿足||+||=2(大于||)

問題1：為何“常數”要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？(嘗試讓學生討論得出結論)

總結：當大于2時，軌跡是橢圓；當等于2時，軌跡是線段；當小于2時，軌跡不存在

【設計意圖】經歷從具體情境中抽象出橢圓概念的過程，掌握橢圓的定義，體會數學語言的嚴謹性，研究新概念的性質是學習新概念之后的必要過程這些性質是解決問題的有力工具

第2課時是對橢圓標準方程的認識，從形到數，應抓住橢圓結構特點這個形的認識，，，的幾何意義以及它們之間的關系本節針對培養學生的畫圖、識圖和析圖能力，聚焦關鍵問題，創設了一些可操作性強的學習思考任務

問題2：類比圓，觀察橢圓的形狀，它是軸對稱圖形嗎？它是中心對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？對稱中心位置在哪里？(學生容易得出兩條，分別交橢圓于,,,四點，稱為長軸，稱為短軸，和的交點即為橢圓的對稱中心，簡稱橢圓的中心)

問題3：平面上到兩個定點，的距離之和為定長2，以2為長度的線段在橢圓中是否能找到？以為長度的線段在橢圓中能否找到？

教師引導：||+||=2；||+||=2，||=2，||+||=2；||+||=2；||=||=||=||=||=||=

【設計意圖】本環節從橢圓的形狀和橢圓的定義，分析橢圓，體現數形結合思想，概括出橢圓的部分簡單幾何性質，培養學生識圖能力

數學的深度化學習應重在以學生發展為中心，設計學生能夠解決的真正的數學問題這些環節是學生的“舞臺”，學生在自身認知的基礎上深度參與發現橢圓的結構特征，并總結一部分橢圓的簡單幾何性質的過程，是能夠激發學生的學習興趣的與此同時，學生和教師的一同參與促使了數學深度化學習的發生師生和生生間的深度交流合作，能夠引導學生反思，也有利于學生逐步內化和遷移其學習數學的基本思路：曲線的幾何特征—曲線的標準方程—通過方程研究曲線的性質—應用

四、相關概念的聯系與區別

大部分是建立在已有概念的基礎之上重新去定義一個新概念將已學原有的概念與學生即將要學習的新概念進行類比，有助于學生將新概念納入其原有的認知系統中，這樣有利于學生形成整體知識結構，又可以幫助學生理解數學概念的形成和發展過程所以，橢圓的概念教學就可以類比圓的標準方程這一節課的學習得到

已有概念具體內容類比新概念圓的概念橢圓的概念圓的標準方程橢圓的標準方程圓的性質橢圓的簡單幾何性質

平常的教學中，通常有兩種方式進行概念教學：一種是概念的同化，一種是概念的形成兩者的區別和優勢是什么呢？

概念的同化是指在學習新概念時，教師用定義的方式向學生直接揭示，然后各種舉例應用，從而達到讓學生能夠對該定義有所認知和理解，掌握新的概念常用于同章節類似概念的教學，比如，學習完指數函數，再學習冪函數時，就可以類比指數函數的結構式定義給出冪函數的概念

概念的形成是指學生獲得新概念的方法，是從生活中具體的實例出發，通過觀察—提問—實驗—思考探究概括出新概念的本質屬性數學核心素養導向下，有深度地設計概念形成的教學是必然的發展趨勢在探究橢圓之后，學生就可以自己類比研究雙曲線：

第一步：選擇一個曲邊菱形區域，將其涂黑

第二步：選擇上下型對頂曲邊菱形區域，將其涂黑

重復第二步驟(注意選取的對頂區域的方向一致)進行下一步操作……

你發現了什么？

如果選擇上下型兩側對頂區域，生成的圖形又是何曲線呢？

布置課后思考可讓學生自主探究，加強學生的鉆研能力，而且為后面雙曲線及其標準方程的學習埋下伏筆

五、概念的應用

學習新的概念目的在于應用學習完橢圓的概念，類比圓的定義的應用，讓學生在掌握橢圓的概念的基礎上，研究什么情況下點的軌跡是橢圓以及橢圓定義的代數形式，通過數形結合進一步探究橢圓的標準方程及簡單的幾何性質

圖4

1(引用教材)如圖4，圓的半徑為定長，是圓內的一定點，為圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓周上運動時，點的軌跡是什么？為什么？(利用幾何畫板展示動點軌跡是個橢圓，然后讓學生嘗試證明)

此例題加深學生對橢圓概念的理解和應用，用定義法判斷方程的軌跡

圖5

2如圖5，在圓+=4上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，點為射線上一點當點在圓上運動時，請思考如下幾個問題：

既然動點的軌跡是橢圓，那么你能否確定兩個定點也就是焦點位置？如何確定？結合橢圓的形狀以及軌跡方程的特點，你能發現什么結論？

①長軸長2,短軸長2，焦距2，你能得出,,的關系嗎？

②橢圓的方程有什么特征？

此例題鞏固用轉移代入法求動點軌跡方程的步驟，由數到形判定動點的軌跡是橢圓(教師幾何畫板展示)，并初步體會焦點在軸上的橢圓和焦點在軸上的橢圓在形和數上的區別,歸納出橢圓標準方程的特點，進一步引導學生認清橢圓方程和橢圓概念的聯系，培養學生作圖、識圖、用圖的能力

如何將橢圓定義代數化？

從例2出發，得到焦點在軸上和焦點在軸上橢圓定義的代數表示，課后思考如何將該代數式化簡成橢圓的標準方程

此例題用代數形式表示橢圓的概念，讓學生體會幾何與坐標的聯系，滲透數形結合思想，降低難度，并且從例題中總結橢圓方程的特點，為下一節課推導橢圓的標準方程做鋪墊

筆者第一次設計本節課時，采用的是舊思路：動手操作，直觀感受橢圓—探究橢圓上的點有什么性質—形成橢圓的概念—推導橢圓的標準方程—概念的應用和熟悉橢圓的標準方程；第二次重新改了一個思路：動手操作，直觀感受橢圓—探究橢圓上的點有什么性質—形成橢圓的概念—數形結合初步探究橢圓的簡單幾何性質：平面上到兩個定點，的距離之和為定長2，以2為長度的線段在橢圓中是否能找到？以為長度的線段在橢圓中能否找到？例1和例2的設計主要是研究橢圓的其他生成路徑，初步讓學生對橢圓的代數表示有個潛意識的認知；例3的設計從特殊到一般，為推導橢圓的標準方程做一個鋪墊，降低了推導橢圓的標準方程的難度而且整章圓錐曲線的探究路徑基本保持一致，充分體現了單元整體設計的思想

六、引導學生深度學習的深度化教學策略

在高中數學課堂中真正引導學生深度學習的深度化教學設計，應注重三個方面：

1聚焦關鍵問題——讓學生深理解

在實際教學中，教師應該圍繞數學概念，進行深度分析教學要素，聚焦關鍵問題，有目的、有方向地進行設計，引導學生展開學習，從而提高學生自主學習的能力例如，筆者在設計“任意角”一課時，通過設計問題串，讓學生明白對角進行推廣的必要性

問1：若時鐘慢了5分鐘，該如何校準？

問2：若時鐘快了兩個小時，將它校準應如何撥動分針？

問3：初中我們都學過哪些角？

問4：與我們分針轉動所形成的角有什么不同？

問5：720°是怎樣的一個角呢？現實生活中還有沒有這樣的角？

問6：解說員說的跳水運動員向內翻騰三周半，旋轉的角度大小是多少?

2創設一定情境，激發學生的學習樂趣——讓學生深投入

要想揭示數學的本質，教師就要努力設計符合學生認知的數學真問題，這是實現數學深度學習的標志

如“弧度制”一課中，筆者為了讓學生理解引入弧度制的必要性和合理性，設計了以下5個問題：

問題1：任意的°圓心角，弧長如何計算？

問題2：建立一個新的單位制，我們首先要做什么？(聯想角度制)

圖6

問題3：如圖6，∠是多少弧度？

問題3-1：弧度制下，如何求圓心角？

問題3-2：半徑的大小不同，∠的弧度數會改變嗎？

3概念課學習的基本思路——讓學生進行深遷移

橢圓概念的教學中，其基本思路就是畫圖—抽象—歸納—概括這個研究路徑同樣可以遷移到雙曲線和拋物線的學習中思考框架是一個大體思路，在這個思維框架下，學生能夠從最初的模仿，到嘗試理解和應用，再逐步內化，使學生掌握這個曲線學習的基本研究路徑，明確其思維方向，最終能夠提出問題，研究探討，解決問題，從而學會學習，能夠較好地自主學習，提高數學思維能力

新高考就是新課程教學的風向標，同時對數學教學提出了新要求直觀想象和數學抽象兩大核心素養的落實教會學生用數學的眼光看世界，邏輯推理和數學運算兩大核心素養教會學生用數學的思維分析世界，數學建模和數據分析兩大核心素養教會學生用數學的語言表達世界進行深度的概念教學設計如何將概念教學的五個方面緊密結合，有機滲透，真正讓數學六大核心素養落地，仍需要我們廣大一線教師去學習，去實踐，去探索，去研究