中美兩本微積分教材中導數(shù)的定義

阮玉潔 王 敵 王紅麗

(1.大連大學經(jīng)濟管理學院，遼寧 大連 116622；2.大連大學機械工程學院，遼寧 大連 116622;3.大連大學信息工程學院，遼寧 大連 116622)

一、引 言

同濟大學高等數(shù)學教研室編寫的《高等數(shù)學》(第七版)(以下簡稱同濟版)是我國高校理工類專業(yè)普遍使用的一本經(jīng)典教材導數(shù)是高等數(shù)學中重要的概念之一，同濟版教材對導數(shù)的定義進行了全面的闡釋，但是關于什么是“導數(shù)不存在”并沒有給出一個明確的定義，因此學生在學習過程中會產(chǎn)生這樣的疑問：如果導數(shù)即等同于導數(shù)存在，那么“導數(shù)不存在，可否寫作′()不存在”，如果不可以寫，那么在習題中出現(xiàn)的′()不存在又如何理解呢？或者說() 在=處不可導是否等同于′()不存在？本文用美國高校普遍使用的，由Dale Varberg 等編寫的《微積分》(第九版)(以下簡稱Varberg版)教材的導數(shù)定義來解決上述問題

二、兩本教材關于導數(shù)的不同定義

1同濟版教材導數(shù)的定義

設函數(shù)=()在()內(nèi)有定義，當在處取得增量Δ(點+Δ仍在該領域內(nèi))時，相應地，取得增量Δ=(+Δ)-()；如果Δ與Δ之比當Δ→0時的極限存在，那么稱函數(shù)=()在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)=()在點處的導數(shù)，記為′()，即

函數(shù)()在點處可導有時也說成()在點具有導數(shù)或?qū)?shù)存在

1求函數(shù)()=||在=0處的導數(shù)

當<0時，

故

當>0時,

故

這個例子是大多數(shù)微積分教材上都會給到的例子，大家可以看到在解題的最后是通過函數(shù)在=0處不可導來描述的那么我們在做這樣的題目時，會用“函數(shù)在=0處的導數(shù)不存在”來描述還是寫作“′(0)不存在”呢?

浙江大學的蘇德礦老師也講過這道例題，他在講完函數(shù)()=||在=0處不可導之后，又特別強調(diào)了這道例題的結論如果寫成“′(0)不存在”這種寫法是矛盾的，因為′(0)是當()=||在=0處可導時才給出來的記號，現(xiàn)在()=||在=0處不可導，所以寫為“′(0)不存在”是矛盾的(見中國大學蘇德礦微積分第二十四節(jié)：左右導數(shù)定義，導數(shù)與連續(xù)的關系)

2Varberg版教材導數(shù)的定義

The derivative of a function f is another function f ′(read “f prime”)whose value at any number x is

If this limit does exist，we say that f is differentiable at x.Finding a derivative is called differentiable;the part of calculus associated with the derivative is called differential calculus.

同樣，在文獻[2]第103頁也給出例題1的解答：

Thus,

Where as，

Since the right-hand and left-hand limits are different，

Does not exist.Therefore,′(0)does not exist.

我們可以看出，這本微積分的教材最后的結論是“′(0)does not exist.”

由此，我們可以看出，在Varberg版微積分中，有導數(shù)存在，導數(shù)不存在的定義，也可以寫作′()不存在

文獻[1]教材其中幾個有關于“導數(shù)不存在”以及“′()是否存在”的習題

則()在=1處的( )(見文獻[1]內(nèi)第83頁7題)

(A)左導數(shù)、右導數(shù)均存在

(B)左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在

(C)左導數(shù)不存在，右導數(shù)存在

(D)左導數(shù)、右導數(shù)均不存在

三、從廣義積分概念的改進來思考導數(shù)定義的改進

1廣義積分定義的改進

以上內(nèi)容是對無窮限廣義積分定義的改進，我們注意到文獻[1]中的第256頁的廣義積分定義正是采用的改進后的無窮限廣義積分的定義31

2導數(shù)定義的改進

根據(jù)廣義積分定義31的改進，結合美國微積分教材表述,我們將對導數(shù)定義加以改進,給出如下導數(shù)定義

下面以這種定義方式求解例2

四、結 語

感謝微積分專題領學團隊指導教師的指導！