混凝土類材料動態壓縮強度在多維應力狀態下的應變率效應*

劉 鋒，李慶明

（1. 山東科技大學山東省土木工程防災減災重點實驗室，山東 青島 266590；2. 曼徹斯特大學工程學院，英國 曼徹斯特M13 9PL）

混凝土類材料（混凝土、砂漿、巖石等壓縮強度對靜水壓力敏感材料的統稱）被廣泛應用于高層建筑、洞庫、水壩、安全殼等各類國防和民用結構工程中，其力學性能的研究始終是工程界關注的熱點。爆炸、沖擊等強動載荷作用下，混凝土類材料的動態行為與其在準靜態加載下所表現出的力學行為有顯著區別，主要體現為應變率對材料本構關系及強度的影響，即應變率效應。自Abrams發現混凝土類材料的動態壓縮強度隨應變率提高而增加的現象以來，基于落錘、霍普金森桿、液壓伺服器、爆炸裝置等動態加載方式的實驗研究已被廣泛開展。其中，分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）技術是該類材料在中高應變率（10～10s）下動態壓縮力學性能測試的主要手段。

由實驗測得的結果被用來發展混凝土類材料的動態本構關系并確定其中的參數, 進而在強動載荷作用下的結構分析與數值模擬中被廣泛應用。這些實驗結果的合理性和正確認知將直接影響結構抗沖擊能力的預測、設計和評估的可靠性。盡管已有的實驗結果均證實混凝土類材料的動態壓縮強度遵守隨應變率增大而提高的趨勢，但其數值卻存在相當大的離散性，并由此導致了不同的溯源分析和應變率效應產生機制的解釋。例如，有些學者認為實驗觀測所得應變率效應是該類材料的固有特性，結果的離散性應歸因于材料離散性、測試技術差異、尺寸效應、邊界條件等因素；另外一些學者則認為該類材料在高應變率下所表現出的特性可能代表試件中應力狀態的改變，實驗所得的表觀應變率效應并不能代表真實的材料性能，觀測到的應變率效應部分歸結于上述因素，但其主要原因為材料特性（如密度、泊松比、摩擦角、膨脹角等）、試件尺寸、端面摩擦等所導致的不同程度的徑向約束效應。后一觀點最早來自于Green 等對巖石動態壓縮強度測量結果的分析，他們基于典型巖石材料在SHPB 實驗中所測得的結果，指出試件中應力狀態的改變導致了動態壓縮強度隨應變率的快速提高。Brace 等針對3 種巖石材料進行了一維應變加載路徑下的實驗研究，并將其動態和靜態壓縮強度進行了比較，在動態強度提高應歸因于材料固有特性還是應力狀態改變的問題上，他們傾向于支持Green 等的觀點。Jonach針對兩類巖石進行了系統的實驗測試和理論分析，提出快速加載產生的徑向慣性效應引發了圍壓，進而改變了試件的應力狀態，從而導致靜、動態加載體現不同的強度和迥異的破壞形式。Bishoff 等針對混凝土材料開展了類似的研究，也提出了同樣的定性觀點。此后，Donze 等采用離散元方法對簡化的混凝土SHPB 實驗模型進行了模擬，進一步證實橫向慣性產生的圍壓導致了該類材料動態壓縮強度的應變率相關性。由于種種原因，這些觀點與研究在當時并沒有被從事該類材料動態強度應變率效應的研究與應用群體普遍接受，從而導致大量直接基于實驗數據的應變率效應公式（一些代表性公式見圖1）在較長一段時間內被錯誤應用。

圖1 一維應力狀態下 γ 與 ε˙ 之間的關系Fig. 1 γ versus ε˙ under 1D-stress state

Li 等采用數值SHPB 方法對不同應變率下試件中的應力狀態進行了研究，發現在應變率較低（即低于轉換應變率）時，試件可保持一維應力狀態；當應變率高于轉換應變率時，試件不再保持一維應力狀態，基于此，明確提出轉換應變率并不代表從應變率非敏感區到應變率敏感區的轉換，而是代表SHPB 試件中應力狀態的轉變。與此同時，明確指出基于實驗的動態強度提高系數在計算與分析中被大量錯誤使用，使得混凝土類材料的動態壓縮強度在轉換應變率之上被人為的大大提高，從而導致錯誤的理論模型和危險的結構設計。這一工作在近二十年中從定性、定量分析和機理方面得到了較為系統的研究和發展（Li 等, Zhang 等，Lu 等，Flores-Johnson 等，Liu 等），為脆性材料SHPB 實驗技術的完善提供了堅實的理論支持。這些研究工作一方面帶動了學術界對該問題的重視，另一方面引起了應用領域的改變，比如，LS-DYNA 計算程序自971 版本起對K-C 材料模型（Mat-072R3）使用的動態強度提高系數進行了最大閾值截斷，以減小慣性圍壓引起的應變率效應影響。

需要特別指出的是，脆性材料動態強度提高系數被錯誤使用的問題在部分霍普金森桿實驗者和測試結果的應用者中仍未被引起足夠重視，并存在誤解。例如，Field 等盡管在其有關材料動態性能測試的綜述文章中提到SHPB 試件中應力狀態的轉變(即Brace 等的觀點)，但卻將橫向慣性對附加應力的影響與橫向慣性對壓縮強度的影響混為一談。Field 所在的劍橋大學卡文迪許實驗室是霍普金森桿技術的發源地, 在材料動態性能測試方面作了大量世界領先的工作。這一事實表明, 當時的國際主流學術界尚未對混凝土類材料的轉換應變率以及在此之上的應變率效應正確認知。

合理考慮應變率效應是建立混凝土類材料宏觀動態強度模型的關鍵。目前，在這一研究工作方面，該類材料的宏觀動態強度模型均采用一維應力加載路徑下的動態壓縮強度實驗結果成比例放大宏觀準靜態強度模型的方法來實現，并將一維應力加載路徑下的實驗結果外推到一般應力加載路徑的情況，如LS-DYNA 中的K-C 模型，AUTODYN 中的R-H-T 模型。然而，這一外推方法的合法性并沒有得到充分驗證，尤其是在一維應力路徑下測得的表觀應變率效應在轉換應變率之上無法代表材料的真實應變率效應的背景下，此動態模型的建立方法就更缺乏存在的基礎。準確的強度模型應充分體現材料的真實應變率效應以及該效應的應力狀態依賴性。然而，相關研究工作尚未見報道。

基于當前的研究現狀，本文將概述混凝土類材料動態壓縮應變率效應研究的發展及問題，揭示混凝土類材料在不同應力狀態下應變率效應的表現特征并分析其適用條件，最終在動態強度模型的建立中提出多維應力狀態下應變率效應考慮方法。

1 動態抗壓強度提高系數

下面將首先基于以上兩類基本實驗，簡要概括混凝土類材料動態壓縮強度提高系數的基本特征，進而擴展至復雜應力狀態，探究該系數對應力狀態的依賴性。

1.1 基于一維應力路徑的霍普金森桿實驗

絕大多數針對混凝土類材料動態壓縮強度應變率效應的實驗是基于一維應力狀態假設開展的。圖1中給出了該類實驗的典型結果和基于實驗數據所發展的有代表意義的理論模型。如圖所示，在該應力狀態下，動態強度提高系數隨應變率的增加而增大，當應變率超越某一特定應變率（即轉換應變率 ε˙，對混凝土類材料， ε˙≈10～10s）后進入快速增加階段。在應用領域，轉換應變率標志著材料強度對應變率敏感的開始，其后續應變率所對應的提高系數應在強度模型中給予明確考慮。

近年來，基于類似圖1 所示的實驗數據，研究人員提出了大量動態強度提高系數模型，并被廣泛應用于防護結構的響應預測和抗沖擊設計中。其中，最具代表性的是歐洲混凝土協會推薦的模型（CEB 模型），該模型取30 s作為轉換應變率，采用兩段函數方式表達：

然而，近年來，針對圖1 所示實驗數據產生機制的理解促使研究人員對動態強度提高系數的取值和宏觀動態強度獲得的合理性進行了嚴格審視和重新思考。如圖2 所示的系列研究表明，在SHPB 實驗中超越轉換應變率后，試件動態強度的提高總是伴隨試件應力狀態自一維應力經多維應力到一維應變狀態的演化。對于壓縮強度為靜水壓力敏感性的混凝土類材料來講，快速加載導致的橫向慣性效應約束了試件的側向變形，進而產生了可觀的圍壓，從而導致了軸向強度的大幅提高。試件中圍壓數值的大小受外部條件（如端面摩擦）和內部條件（如試件尺寸、材料密度、泊松比、摩擦角、膨脹角等）的共同影響。在該實驗下實測的表觀應變率效應包含大量的偽應變率效應（也稱結構效應），不能代表該類材料的真實應變率效應，因此在使用前必須對其進行嚴格的修正。學者們曾嘗試采用空心試件、波形整形等技術手段克服這一缺陷，但均被證明只能緩解、不能完全消除橫向慣性導致圍壓的影響，因此無法徹底排除偽應變率效應的存在。

圖2 應力狀態隨應變率提高的演化過程[23]Fig. 2 Evolution of stress state with the increase of strain-rate [23]

基于以上分析，以往大量開展的所謂一維應力狀態下的動態壓縮實驗其實是動態單軸壓縮實驗，在轉換應變率之上無法在試件中實現真實的一維應力狀態，因此也無法獲取真實一維應力狀態下材料的動態強度提高系數。將一維應力路徑下的測試結果直接用于獲取一維應力壓縮強度隨應變率的變化，將過高估計這類材料的動態壓縮強度，必然導致錯誤的理論模型。

1.2 基于一維應變路徑的實驗研究

相比于一維應力路徑下的實驗，基于一維應變路徑的研究要少得多。圖3 所示為花崗巖試件在一維應變實驗條件下的準靜態和動態應力、應變數據，準靜態應變率為10s，動態應變率范圍為10～10s。與一維應力路徑下的實驗顯著不同，在3%的軸向應變（等同體積應變）下，徑向應力始終處于相對較高的水平，軸向的動態與靜態壓縮強度相比無顯著提高。

圖3 一維應變路徑下花崗巖準靜態和動態強度[10]Fig. 3 Quasi-static and shock strength of Granite under 1D-strain path [10]

因該路徑下實測的應力-應變關系沒有明顯的屈服點，Brace 等采用軸向應變為0.7%的靜、動態強度計算其動態強度提高系數。采用相同的處理手段，花崗巖、石灰石和透水石3 種材料的動態強度提高系數隨應變率提高的變化關系可以統一表示為（見圖4）：

分析圖4 中數據的演化特點，可得如下兩點啟示：（1）對比圖1 所展示的數值，一維應變路徑下測得的動態強度提高系數近似線性演化，缺失轉換應變率，并且在高應變率下其數值大大減小；（2）盡管明確的應變率強化機理尚未被完全清楚地闡述，且不同材料可能具有不同的應變率敏感性，但混凝土類材料的應變率強化效應真實存在，其與應力狀態密切相關，這種依賴性需要在強度方程中給予考慮。

圖4 一維應變狀態下 γ 與 ε˙ 之間的關系[10,42]Fig. 4 γ versus ε˙ under the 1D-strain state[10,42]

鑒于爆炸、沖擊等強動載荷作用下，材料可能更接近處于一維應變狀態，Liu 等提出在進行材料動態強度計算時，采用基于一維應變路徑下測量的強度提高系數，即：

式中： σ(ε) 、γ(ε˙) 分 別 為一維應 變 路徑下的準靜態強度和動態強度提高系數。基于此動態強度模型開展的數值模擬及對比分析表明其可以獲得較好的預測結果。

1.3 復雜應力狀態下的實驗研究

意識到混凝土類材料的應變率效應可能是加載路徑和應力狀態相關的，學者們嘗試應用圍壓設備配合霍普金森桿或多組霍普金森桿聯動的方式開展研究。Johnson 等根據Piotrowska 等基于約束混凝土試件開展的霍普金森桿實驗結果進行了分析，根據實驗過程中實測的圍壓數值，總結了動態強度提高系數隨應變率和圍壓數值的演化關系（見圖5）。圖中數據分布沒有反映轉換應變率的存在，表現出動態強度提高系數增長率隨圍壓數值增大而逐漸降低的趨勢，其演化規律更接近于一維應變路徑下實驗結果所體現的特點。然而，鑒于該類材料壓縮強度的靜水壓力敏感性特征，當前該類技術的最大障礙在于在實驗過程中無法保持恒定的應力狀態，從而無法獲得特定應力狀態下的動態強度提高系數。

圖5 不同圍壓狀態下動態強度提高系數與應變率之間的關系[44,47]Fig. 5 Dynamic increase factor versus strain rate under the given confining pressure [44,47]

在動態強度模型的建立方面，目前尚無考慮應變率效應對應力狀態依賴性的理論與方法，這正是本文中研究的主要內容。

2 多維應力狀態下應變率效應模型和實現方法

2.1 動態強度提高系數

以上分析和比較表明，針對混凝土類材料，兩類基本實驗所測得的動態強度提高系數變化趨勢顯著不同，即應變率效應與加載路徑(即應力狀態路徑)密切相關。因此，合理的動態強度預測需要準確考慮加載路徑和應力狀態的影響，應采用如下更為合理的形式：

式中： σ(ε,η) 、 γ (ε˙,η) 分別為相同加載路徑和應力狀態下的準靜態強度和動態強度提高系數。

圖6 為基于不同加載路徑所測的動態強度提高系數表現特征。在動態強度模型中對其合理考慮尚存在兩個難點：（1）如1.3 節分析，到目前為止，尚無法獲得任意應力狀態下該類材料的動態強度提高系數；（2）如1.1 節所述，高應變率狀態下（大于轉換應變率），當前實驗手段無法獲得真實一維應力狀態下的動態強度提高系數。

圖6 混凝土類材料在多維應力狀態下的動態壓縮強度提高系數Fig. 6 The multi-axial dynamic increase factor model of strain-rate effect on compressive strength of concrete-like material

基于以上第一個難點，且考慮到一維應力和一維應變路徑對應該類實驗的兩個極端工況，它們分別對應的動態強度提高系數應為其數值的包絡（即上界與下界）。因此，建議采用線性插值的方式得到計及應力狀態影響的動態強度提高系數，即：

由于實驗手段無法得到 γ(ε˙) ，因此需要給出一個合理可行的確定方法。研究人員就如何處理圖6 中段所包含的偽應變率效應進行了諸多嘗試，處理方法大致分為2 種：（1）基于實驗數據處理或數值模擬的數據修正；（2）對實驗數據采用線性延伸或閾值截斷。

第1 種處理方法的典型代表是H-J-C 模型的建立。Holmquist 等意識到圍壓對混凝土類材料動態壓縮強度的顯著影響，因此，針對傳統的一維應力路徑下的實驗數據，沒有直接由測量得到的動、靜態強度獲得動態強度提高系數，而是在動態強度中去除圍壓影響后再計算該數值。其建議模型為（表現為不存在轉換應變率的線性演化形式（見圖7），與圖6 中段類似）：

圖7 已有材料模型對動態強度提高系數的修正Fig. 7 The correction on the dynamic increase factor in existed material models

式中：=0.007 ， ε˙=1 s。

第1 種處理方法的另一代表性做法是基于數值模擬和迭代方法，通過反復對比模擬結果和實驗數據對動態強度提高系數進行多次修正。Lu 等和Liu 等應用此方法，針對巖石和聚合物的真實應變率效應進行了識別，發現高應變率下材料的真實動態強度提高系數顯著低于實測數據，其差異程度與試件尺寸、材料特性相關，但采用圖6 中段的形式將獲得該系數相對保守的估計。

第2 種處理方法的典型代表是AUTO-DYNA 計算程序中R-H-T 材料模型對應變率效應的考慮。該模型完全忽略轉換應變率后的實驗數據，直接基于轉換應變率前的數據開展回歸分析，建立類似式(4(a))的表達式（見圖7）。此處理手段等同于將轉換應變率前的實驗數據線性擬合后再線性外延。

第2 種處理方法的另一代表性做法是K-C 模型對動態強度提高系數閾值的設定。該模型的開發者們意識到CEB 模型在高應變率下對應動態強度提高系數過大將導致錯誤的預測結果，因此對其適用范圍進行了嚴格限制。具體做法是當壓縮應變率大于300 s時不再按照式(4(b))進行該系數的預測，而是直接應用常數2.94 作為閾值給予截斷（見圖7）。

第1 種及第2 種方法中的線性延伸法都可用來間接得到一維應力狀態下材料的動態強度提高系數。根據圖7，上述方法均體現了圖6 所示的通過線性延伸至得到一維應力狀態下高應變率區域的動態強度提高系數的理念。第2 種方法比第1 種方法更簡單直接，更易于被實驗操作者和應用者接受，同時它們之間的差別也不是很大。鑒于此，在不失一般性的前提下，本文中采用線性延伸的方法考慮轉換應變率后的動態強度提高系數。

需要特別指出的是，仍有大量的研究人員沒有認識到如圖6 中段所示的動態強度提高系數存在大量偽應變率效應的事實，從而直接采用實測數據（或其回歸公式）作為輸入值進行模擬工作，這將導致錯誤的預測并可能引發災難性的后果。Liu 等對比了不同計算模型在轉換應變率后的動態強度提高系數，它具有如下排列關系：

因此，建議在缺乏其他路徑下動態強度提高系數的情況下，優先選擇H-J-C 模型和線性R-H-T 模型進行數值模擬，以獲得相對正確或偏于保守的響應預測。

2.2 多維應力狀態下動態強度提高系數模型在強度方程中的實現

選擇簡單有效的Druker-Prager 準則配合上述應變率效應模型預測該類材料的動力行為，其表達式為：

在材料動態強度確定時，首先根據靜態屈服面 Δ σ() 計算 Δ σ(/γ) ， 然后通過動態放大系數 γ 得到動態提高后的屈服面 Δ σ():

此外，應用-α 方程考慮壓力與體積的關系，其與強度（式(14)）和應變率效應模型（式(9)）通過Fortran 語言編譯為用戶子程序后嵌入ABAQUS計算平臺。本文中僅選取Drucker-Prager 準則和-α 方程作為示例闡明多維應力狀態下應變率效應模型的有效性，其他可以準確體現靜水壓力影響的混凝土類材料模型均可以應用相同處理手段應用此模型。

3 數值計算結果和討論

3.1 數值霍普金森桿實驗和計算參數

基于上述理論開展典型霍普金森桿實驗的數值模擬（也稱數值霍普金森桿實驗，numerical split Hopkinson pressure bar，NSHPB），其裝置如圖8（a）所示。通過對比在無側向約束、剛性側向約束和非剛性側向約束（分別對應圖8(c)～(e)）下數值預測結果與實驗數據，展示不同應變率模型的特點并驗證本文建議模型的有效性。

圖8 不同加載路徑下數值霍普金森桿實驗示意圖Fig. 8 The illustration of NSHPB test setup for different loading path

因部分文獻未給出實驗加載的細節（如撞擊桿的長度和質量、入射速度和波型整形方式等），本文數值實驗采用在入射桿端施加脈沖波的方式實現動態加載，并通過調整加載、持續時長和應力幅值實現各級應變率（如圖8(b)）。基于數值計算結果，應用下式進行軸向應力、應變和應變率的計算：

為了方便與實驗數據進行對比，在表1 中列出了典型實驗所涉及的材料、設備等參數，并將其作為基本輸入被應用于本文的數值霍普金森桿實驗中。對于在參考文獻中缺失的部分必需參數，本文中采用類似實驗對應的參數（如摩擦角和膨脹角等）給予了合理替代。盡管端面摩擦效應對實驗數據的影響很大，但考慮到實驗操作者總是通過涂抹各類潤滑劑等措施減小摩擦因數，同時文獻中也沒有明確端面摩擦參數的數值，因此本文中分析未考慮此效應的影響。一維應變和非剛性側向約束的對比實驗均給出了壓力與體積應變的關系曲線，它們被直接用于數值模擬；此類數據在無側向約束工況下普遍缺失，其狀態方程按文獻[23]中給出的建議考慮。

表1 數值霍普金森桿實驗中裝置、試件的尺寸和材料參數Table 1 The dimension and material parameters in NSHPB test

數值實驗可獲得實際測試中無法獲得的除軸向以外的應力、應變分量以及應力狀態等參數，從而為深入理解試件響應機理提供可靠依據。本文中基于如下方式表征以上變量：

式中： σ(,) ， ε(,) 分 別為 (,) 位置處的分量應力和應變，數字 1、2、3 代表軸向、徑向和環向分量。

因為缺乏系統的實驗數據，且鑒于CEB 模型被廣泛使用，因此在本部分計算中選取該模型的首段表達式（式4（a））及其高應變率區的延伸線確定 γ(ε˙) 。與此對應，按照式（6）確定 γ(ε˙) 。以上數據在相應實驗完善后可以進行補充和修訂。

3.2 無側向約束下的數值霍普金森桿實驗

圖8（c）中自由邊界是該類實驗的基本邊界形式，通常用來測量試件的單軸動態抗壓性能，在實際實驗中應用最廣。基于式（9）的多維應力狀態應變率效應模型開展針對砂漿試件（直徑37 mm）的數值實驗，圖9 中給出了應變率282 s的加載下各應力分量的演化過程，其強度提高系數為1.76（靜力單軸強度為51 MPa），后續的對比分析顯示該數值與實驗結果一致性較好。徑向和環向應力的演化特征將響應過程分為特征明顯的兩個階段：在軸向應變達到0.21%之前，徑向和環向應力接近零，靜水壓力與軸向應力維持約1∶3 的關系，說明此階段試件處于嚴格的一維應力狀態（對應應力三軸系數為-0.33）；軸向應變大于0.21% 后，徑向和環向應力驟增，并在軸向應力達到峰值（90.01 MPa）時分別為19.19 和11.55 MPa，使試件應力三軸系數降至-0.54，表明試件已脫離初期的一維應力狀態進入多維應力狀態。

對應圖9，圖10 中給出了試件在峰值應力時刻的應力三軸系數分布云圖（據式（1））。圖10表明，沿試件厚度方向，應力三軸系數分布具有較好的均勻性，處于動力平衡狀態；在徑向上此均勻性被完全打破：自試件外緣到內核，應力三軸系數逐漸降低，自一維應力狀態（ η =-0.33 ）到多維應力再到一維應變狀態（ η =-0.64 ，由泊松比為0.19，根據式（2）計算）順次演化。以上分布特征準確反映了動力加載過程中橫向慣性效應所產生的側向圍壓以及由此導致的應力分布不均勻，此機制提高了該類靜水壓力敏感性材料的抗壓強度，這與文獻[15, 23]中的分析一致。

圖9 應變率282 s-1 加載下試件應力分量與軸向應變的關系曲線Fig. 9 The stress components versus axial strain at strain-rate of 282 s-1

圖10 試件應力三軸系數云圖Fig. 10 The contour of stress triaxiality within the specimen

為了清楚地考察壓縮強度提高、應力狀態改變與應變率的關系，圖11 總結了動態強度提高系數、應力三軸系數隨應變率提高的演化過程。數據表明，閾值應變率89.5 和554.3 s將試件應力狀態分隔為一維應力、多維應力和一維應變三個應力狀態。該類材料抗壓強度的提高伴隨應力狀態由一維應力狀態經多維應力到一維應變狀態的演化，試件在達到峰值應力時刻其大部分材料可能處于多維應力狀態（應變率89.5～554.3 s）或一維應變狀態（應變率大于554.3 s）。復雜應力狀態的出現顯然違背了霍普金森桿實驗關于試件應處于一維應力狀態的基本假定，由此測量所得的試件表觀強度并不能完全體現材料在一維應力狀態下的真實應變率效應。

圖11 γ 和 η 隨應變率提高的演化趨勢Fig. 11 The evolution of γ and η with the increase ofε˙

為了展現2.1 節所述不同應變率模型的特點并驗證本文提出模型的有效性，以下分別基于CEB 模型（式（4））、一維應變路徑應變率模型（式（6），取為3 個數值的中間值0.014）和本文所提多維應力狀態模型（式（9））進行數值實驗，并與實驗結果進行對比。考慮到該加載路徑下應變率效應與材料參數和試件幾何尺寸具有強關聯性，模擬分別針對直徑37、73 mm 的砂漿和混凝土試件開展。數值預測結果及相應的實驗數據同時繪于圖12 中（為了增加實驗數據點，直徑74 mm 的砂漿實驗結果也在圖12(b)中示出）。兩者對比體現如下顯著特點：（1）絕大多數實驗數據處于基于CEB 模型和一維應變路徑數據模型的預測結果之間，可以認為，以上兩個模型可作為動態強度提高系數的上限和下限；（2）基于CEB 模型的預測數據明顯高于實驗數據，并且兩者的差異隨應變率的提高而顯著增大，如圖12（a），應變率分別對應81.21 和457.09 s，動態強度提高系數的預測誤差由0.19 增至0.87，分別達到實測數值的42.2%和141.3%，表明CEB 模型會導致動態強度的過高估計；（3）實驗數據在轉換應變率之上的較低應變率時更接近于本文建議模型（式（9））的預測數據，在較高應變率工況下，其數值更接近于一維應變路徑應變率模型的預測數據，這與針對試件應力狀態的分析結論相一致，同時也驗證了選取CEB 模型首段表達式（式（4a））的延伸線作為高應變率情況下動態強度提高系數的有效性。總的來講，后兩個應變率模型得到的結果相差不是很大。

圖12 基于不同模型的數值霍普金森桿實驗預測結果及與實驗數據的對比Fig. 12 The predicated dynamic increase factor based on different models and comparison with test data

3.3 一維應變路徑下的數值霍普金森桿實驗

選取文獻[10, 42]中的花崗巖為研究對象，采用圖8（d）所示的約束方式開展數值霍普金森桿實驗，動態加載過程中試件的徑向和環向位移被嚴格約束，符合一維應變加載路徑要求。試件的靜態加載下的狀態方程和強度如圖13 所示，數值實驗中應變率效應模型采用式（6）形式，取為0.005。

圖13 試件準靜態狀態方程和偏應力強度[42]Fig. 13 The quasi-static EoS and deviatoric strength of sample[42]

圖14 中給出了典型加載下（應變率為515 s）的數值霍普金森桿預測數據，其與實驗結果具有較好的一致性。在此加載路徑下，應變率效應模型式（9）等同于式（6），因此兩種模型的預測結果完全相同。以上對比分析表明，本文建議的多維應力狀態動態強度提高系數模型在針對一維應變加載路徑下也具有良好的適用性。

圖14 數值霍普金森桿結果與實驗數據的對比Fig. 14 The comparison between NSHPB results and test data

3.4 非剛性側向約束下的數值霍普金森桿實驗

本節針對圖8（e）所示的具有非剛性側向約束的試件開展數值霍普金森桿實驗，其約束方式如圖15所示：直徑40 mm、厚50 mm 的試件被內徑40.2 mm、外徑80 mm、長50 mm 的高強鋼質圓環包裹，左右分別借助直徑40 mm、高30 mm 的高強鋼質圓柱體墊塊傳遞動力載荷。實際實驗中，試件與約束環之間具有0.2 mm 的縫隙，用以通過涂抹潤滑劑減小試件與約束環內壁的摩擦。因無法準確把握此潤滑層的力學性能，數值模擬未對此細節給予考慮，而是在模型建立時將約束環內徑設為與試件直徑相同并指定兩者之間光滑接觸（摩擦因數為零）。

圖15 試件在環向約束下數值霍普金森桿實驗示意圖Fig. 15 Illustration of NSHPB for sample with confinement

經靜態圍壓實驗測定的材料狀態方程和偏應力強度如圖16 所示，將其分別作為基本輸入數據用于后續的動力計算。約束圓環和墊塊的彈性模量約為（1 98±7 ） GPa（本文中計算取200 GPa），泊松比0.29，屈服強度1.8 GPa。

圖16 準靜態圍壓實驗測定的試件狀態方程和偏應力強度[44]Fig. 16 The measured quasi-static equation of state and deviatoric strength of sample [44]

實際實驗中，試件的應力、應變分量和應力狀態基于環向應變與內壓的函數關系（針對約束裝置）計算確定，在數值實驗中，以上結果仍直接通過式（17）的處理方式獲得。為了考察應變率對偏應力和狀態方程的影響，分別通過下式計算試件偏應力、靜水壓力和體積應變：

應用式（9）對應的應變率效應模型，一維應力狀態下動態強度提高系數取為CEB 模型的首段延伸線，一維應變狀態下動態強度提高系數取值為0.014（式（6），材料為石灰石）對應的數據進行數值實驗，圖17 中給出了試件應變、應力分量和應變率隨加載時間（為入射波在試件中單次傳播經歷的時間）的演化過程。加載過程中鋼質墊塊和約束圓環最大Mises 應力分別為961.8 和1 081.4 MPa，小于材料彈性極限（1 800 MPa），表明約束裝置仍處于彈性狀態，這與實驗測量一致。從圖17（a）中可以看到，隨著試件軸向應變隨加載時間的快速增加，徑向和環向應變維持在較低的水平（軸向應變達到最大值13.6%時，徑向和環向應變最大值約為0.45%），應力三軸系數接近-0.67（由泊松比為0.2，根據式（2）計算），表明試件在整個加載過程中處于準一維應變狀態。該類實驗無法獲得恒定應變率下的材料動態強度，參考文獻 [43-44]的處理方法，取加載過程的平均應變率（約151 s）作為此加載工況的應變率數值，這與實驗數值（146 s）基本一致。

圖17 數值霍普金森桿實驗預測的典型變量演化過程Fig. 17 The evolution of typical variables predicated in a NSHPB test

圖18 中給出了數值實驗得到的偏應力和狀態方程預測數值以及與實驗結果的對比。在偏應力方面，依次采用分別對應花崗巖、石灰石和透水石的值（式（6））將得到逐漸趨向實驗值的結果，但在圍壓50～300 MPa 范圍內仍有較大差別，其原因主要來自以下3 個實驗中的不確定性。(1) 式（6）的數值來自3 種不同類型的巖石，而文獻[44]涉及的實驗材料為添加硅質骨料的混凝土，這類骨料具有更高的壓縮強度（330 MPa）和更小的孔隙率（低于2%）。因此，雖同屬混凝土類材料，但其組分、微觀結構與巖石及普通混凝土存在顯著差異，進而導致其動態強度較高一些。(2) 實際實驗對于該混凝土僅給出了2 個實驗工況，它們在具有幾乎相同應變率（143、146 s）下，其實驗數據在50～300 MPa 圍壓范圍內具有較大差別（見文獻[44]中的圖14），另一工況的實驗結果（對應應變率143 s）與圖18（a）所示的數據（對應應變率146 s）相比，數值較小，但因測試手段原因其數據振蕩過大，不便使用。因此，圖18（a）中的實驗數據可能正確體現了材料動態性能演化的趨勢，但在定量上有一定偏差。(3) 如前文所述，試件動態偏應力數值基于實測約束環的應變推算得到，該應變與環壁內壓（對應試件的徑向應力）作用面積、位置和量值密切相關，在實驗前由靜態加載下的數值模擬確定。實際實驗中，動態加載導致的慣性效應和波傳播效應使得響應行為較靜態下復雜，而本模擬未考慮的試件與約束環間的縫隙也可能會放大此效應。此外，大的軸向壓縮變形將導致試件與約束環內壁的接觸面積減小并偏離初始位置（因試件與約束環近乎無摩擦）。在此情形下，采用初始按理想化情況確定的靜態推演關系進行各應力分量等數值的計算也可能會引入誤差，進而導致本文預測結果失去較為準確的評判標準。

圖18 數值霍普金森桿預測結果及與實驗數據的對比Fig. 18 The predication results in NSHPB test and comparison with test data

在狀態方程的對比方面，數值實驗預測（采用3 組值）結果與輸入曲線（靜態實驗結果）一致，但明顯低于動態實驗所測得的結果。此現象可能由2 個因素造成，即：(1) 前述實驗測量中的不確定性；(2) 與抗壓強度類似，該類材料的狀態方程可能也具有應變率敏感性，這在Cui 等研究者的工作中已經開始給予關注。因缺乏明確、足夠的數據支持，本文模型對此未予考慮，可在未來相應研究工作完善后再補充。

4 結 論

研究了不同應力狀態下混凝土類材料動態壓縮應變率效應的表現特征，將僅包含應變率的動態強度提高系數模型擴展至同時計及應變率和應力狀態的多維應力狀態形式。結合Drucker-Prager 強度準則和-α 狀態方程，該模型被成功應用于霍普金森桿實驗的數值模擬。針對自由邊界、剛性約束和非剛性約束SHPB 試件的模擬及與實驗數據的對比分析表明，發展多維應力狀態下的應變率效應模型是必要的，它可以體現應變率效應隨應力狀態改變的特點，從而更準確地預測該類材料的動態壓縮強度。研究結果有助于正確認識混凝土類材料的動態壓縮應變率效應，并在分析與數值模擬中正確使用該類材料的動態壓縮強度模型。