修正金屬本構模型在超高速撞擊模擬中的應用*

馬 坤，李名銳，陳春林，沈子楷,2，周 剛

（1. 西北核技術研究所，陜西 西安 710024；2. 清華大學工程物理系，北京 100084）

柱形彈體超高速撞擊靶板研究是以空間碎片防護、反裝甲等為背景的研究工作。數值模擬是相關研究手段之一，主要通過離散近似的方式求解帶有初邊值條件、材料廣義應力應變關系的偏微分方程組，進而獲得求解域內的力學參量和動力學行為。結果的準確性主要取決于離散求解的算法以及材料的廣義應力應變關系（即本構模型）。在算法方面，粒子類無網格法在解決超高速撞擊下材料大變形問題優勢明顯，目前光滑粒子流體動力學（smooth particle hydrodynamics，SPH）方法應用較為廣泛。而在本構模型方面，如何更加準確地反映超高速撞擊過程中材料的動力學行為，是力學工作者主要的研究方向，具有重要的學術意義和應用價值。

金屬材料本構模型一般包括物態方程、強度模型和失效模型。在爆炸與沖擊動力學問題的數值模擬中，金屬材料普遍采用Grüneisen 狀態方程。對于超高速撞擊問題，為了能清楚地獲得材料的相態情況，唐蜜構建了GRAY 三相完全物態方程并開展了相關研究。在強度模型方面，Johnson-Cook 模型和Steinberg 模型是超高速撞擊數值模擬中普遍使用的強度模型。兩個模型各有特點，Johnson-Cook 模型基于一維應力實驗得到，Steinberg 模型基于一維應變實驗得到。在超高速撞擊后期的靶板慣性擴孔階段，材料的壓力、應變率開始下降，Johnson-Cook 強度模型能很好地描述此時的材料動力學行為。在材料失效模型方面，Johnson-Cook 失效模型在超高速撞擊過程中也有較為廣泛的應用。但Johnson-Cook 失效模型在計算壓力遠大于屈服強度的層裂問題上，并不能準確計算材料的層裂失效過程。Collé等在材料層裂問題中采用當壓力超過失效閾值后偏應力歸零而壓力不變的方法建立失效模型，處理方法不符合物理實際。Grady 失效模型本質上是拉伸失效模型，能夠反映材料層裂失效問題，廣泛應用于超高速撞擊數值模擬中。Eftis 等基于微孔洞的成核和長大過程建立了損傷演化模型，并模擬了球形彈體超高速撞擊問題，獲得的靶板的層裂以及斷口破壞形貌與實驗結果一致。該模型主要考慮的是靜水壓力產生的層裂問題，沒有考慮剪切失效機制。封加波損傷演化模型是具有明確物理意義的描述材料內部微孔洞總體積演化導致層裂問題的材料模型，一般用于模擬飛片撞擊、滑移內爆（或外爆）加載柱殼破壞等問題，在超高速撞擊問題中的應用較少。Seisson 等在數值模擬鋼球超高速撞擊石墨成坑問題中，鋼球材料的失效模型同時考慮了最大拉伸主應力和等效塑性變形兩種失效準則。Corbett在計算鋁球超高速撞擊鋁靶問題中，彈體采用了最大拉應力以及最大剪應力失效模型，靶板選用了Johnson-Cook 失效模型。Randles 等建立了拉伸損傷和Johnson-Cook 損傷的聯合損傷演化模型，并驗證了數值模擬的準確性。因此，同時考慮拉伸和剪切失效是全面且準確的。但還需要注意的是：在大多數的數值模擬中，當材料滿足失效準則后，材料立刻失效，相應的單元/粒子的屈服強度立刻為零并且不再承受拉伸應力。這將產生大量互相無作用力的單獨單元/粒子，這和彈靶撞擊形成破片群的物理現象不符。在韌性金屬沖擊碎裂問題方面，曹祥等以韌性金屬長桿動態拉伸碎裂為例，分析了非線性損傷演化過程對韌性碎裂過程的影響規律。該斷裂演化模型應用于超高速撞擊數值模擬中，將有助于相對準確地計算彈靶材料的碎裂過程。

在現有的數值模擬研究中，失效模型還不能全面反映超高速撞擊下材料在層裂、剪切斷裂時的失效機制，并給出失效后的應力歸零的斷裂演化過程。因此，本文中擬針對超高速撞擊問題，在材料本構模型方面，引入GRAY 三相物態方程以描述材料相態變化，采用Johnson-Cook 強度模型描述靶板后期動態擴孔，結合封加波損傷演化模型以及Johnson-Cook 失效模型，描述不同應力三軸度下材料的層裂、剪切失效行為，并引入曹祥斷裂演化模型，描述材料失效后應力歸零的過程。并將該修正金屬本構模型應用于柱形93 鎢超高速撞擊Q345 鋼板數值模擬中。通過與實驗結果的對比，驗證本構模型的適用性和準確性。初步分析典型彈靶撞擊條件下破片群的空間分布特征。

1 修正金屬本構模型簡介

1.1 GRAY 物態方程

GRAY 物態方程通過初始熔化內能、 完全熔化內能、恒定容比熱初始內能，將材料的固相-液相區分為固相、熔化相、液相以及熱液相。計算中可根據內能判斷材料所處相態，進而給出相應的修正壓力以及溫度，具體表達式如下。

當≤時：

1.2 Johnson-Cook 強度模型

1.3 Johnson-Cook 失效模型

Johnson-Cook 失效模型主要包含了應力三軸度、應變率以及溫度對材料失效的影響。失效應變的表達式為：

為了避免材料失效后應力立刻歸零，引入曹祥提出的非線性斷裂演化模型。該模型以線性內聚力斷裂假設Mott-Grady 模型為基礎，描述了材料在滿足失效準則后的斷裂（裂紋軟化）過程。即材料在達到失效閾值后，材料應力存在一個逐漸卸載至零的過程。此時損傷屈服強度與內聚力斷裂假設下的損傷因子、材料初始失效時的等效應力的關系為：

損傷因子假設為：

式中：為材料斷裂過程中消耗的表面能，即材料的斷裂能。因此，材料的損傷演化過程主要取決于材料斷裂能、非線性系數以及單元的尺寸。

1.4 封加波損傷演化模型

封加波等將材料宏觀微元中的微損傷（微裂紋、微孔洞）總體積與宏觀微元體積之比定義為損傷度函數。基于Griffith-Orowan 提出的裂紋擴展能量觀點，假設微孔洞長大過程中因表面積增加所需要的表面能由微孔洞周圍介質所存儲的應變能提供。此外，提供微孔洞動態長大的周圍介質范圍由應力波擾動傳播的速度即材料聲速來確定。損傷度函數的演化方程為：

式中：為拉伸狀態下基體材料的壓力，σ為孔洞長大的初始應力閾值，為基體材料的體積模量，ω 為表面功（斷裂比功）。

在材料損傷的后期，微孔洞相互間開始連通，材料的損傷快速增長，材料發生分離性斷裂，并且所承受的應力在斷裂發生后下降到零。為近似描述材料損傷后期的應力狀態，仍采用曹祥等提出的斷裂演化模型，含損傷的本構關系定義為：

式中：為單元損傷啟動時的靜水壓力。代表材料成核、長大過程的損傷度的初始值為，代表材料微孔洞聚集并導致最終破壞的損傷函數的初始值為0。材料的損傷演化過程是：首先，為0 并且不變，由起始隨損傷演化逐漸增加，當達到時，值不再變化，開始隨損傷演化而逐漸增加，當增加到1 時表示材料完全層裂破壞。

2 超高速撞擊數值模擬

選用ANSYS AUTODYN 3D 中的光滑粒子流體動力學（SPH）方法模擬超高速撞擊過程。根據軟件接口編寫修正金屬本構模型的自定義子程序模塊，再通過數值模擬結果和實驗結果的對比來驗證本構模型的準確性。選取柱形93 鎢彈體超高速撞擊Q345 靶板問題進行計算，材料模型參數見表1～3。GRAY 物態方程的其他材料參數可參考Royce的研究工作。

表1 93 鎢合金、Q345 鋼GRAY 物態方程及損傷演化模型材料參數Table 1 The material parameters of the GRAY equation of state and the damage evolution model for 93 tungsten alloy and Q345 steel

表2 93 鎢合金、Q345 鋼Johnson-Cook 強度模型材料參數Table 2 The material parameters of the Johnson-Cook yield criterion for 93 tungsten alloy and Q345 steel

表3 93 鎢合金、Q345 鋼Johnson-Cook 失效模型材料參數Table 3 The material parameters of the Johnson-Cook failure model for 93 tungsten alloy and Q345 steel

上述Johnson-Cook 強度模型、Johnson-Cook 失效模型以及封加波損傷演化模型對應的材料參數中，除部分參數引用了相關文獻外，其他參數均為實驗所得。包括SHPB 實驗、缺口拉伸實驗、飛片撞擊實驗等。

2.1 數值模擬與實驗宏觀測量結果對比

針對柱形93 鎢彈體超高速撞擊Q345 鋼板問題，可通過實驗后效以及高速攝像獲得靶板穿孔直徑、破片群擴展速度、彈體剩余長度的測量結果。因此，根據實驗彈靶結構和撞擊條件，建立數值模擬模型（光滑長度為0.1 mm）并開展計算。獲得的相應參量的數值模擬結果與實驗結果一同列于表4～5 中。其中，v為破片群軸向最大速度，v為破片群橫向最大速度，Δ為彈體侵蝕長度。需要說明的是，實驗1～6 中未使用高速攝像，實驗8～9 中受彈托材料撞擊影響無法獲得靶板穿孔直徑數據。

表4 靶板穿孔直徑的數值模擬結果與實驗結果對比Table 4 Comparison of numerical simulation results and experimental results of perforation diameter of the target plate

表5 破片群擴展速度、彈體侵蝕長度數值模擬結果與實驗結果對比Table 5 Comparison of numerical simulation results and experimental results of fragment group expansion speed and erosion length of projectile

對比表4～5 中數據可知，在靶板穿孔直徑、破片群擴展速度、彈體剩余長度方面，數值模擬結果和實驗結果一致性較好，大部分誤差在8%以內。

2.2 靶板層裂失效對破片群形貌的影響

實驗研究發現，所有靶板厚度（）小于0.72 倍彈體直徑（）的實驗中，彈靶撞擊后將在靶后破片群前部形成“尖端”。主要是因為彈靶撞擊產生向靶板內部傳播的強沖擊波來不及被來自彈體頭部側向自由面、靶板正向自由面的卸載波及時追趕卸載，導致沖擊波在靶板背表面反射形成較強的拉伸波，進而使靶板產生拉伸層裂破壞并形成速度較高的“尖端”破片。而在數值模擬中，彈靶材料模型包含反映材料層裂失效機制的損傷演化模型。因此，數值模擬應能夠有效預測靶板是否產生與實驗相同的層裂結果。根據實驗條件建模并開展數值模擬，對比靶后破片群形貌數值模擬結果與實驗結果，如表6所示。

表6 不同靶厚與彈體直徑比的破片群實驗結果與數值模擬結果對比Table 6 Comparison of experimental results and numerical simulation results of fragment group with different target thickness and projectile diameter ratio

從表6 可以看出，在靶后破片群前部是否形成“尖端”問題上，數值模擬能夠獲得同實驗一致的現象，這一定程度上驗證了數值模擬中靶板材料模型所包含的反映材料層裂失效機制的損傷演化模型的準確性。

2.3 超高速撞擊下材料的熔化情況

為驗證修正金屬本構模型中GRAY 物態方程計算材料相態的準確性，數值模擬了彈體超高速撞擊雙層靶板問題，分析了首層靶板穿孔及第2 層靶板破片撞擊坑的材料熔化情況。彈體尺寸為?3.5 mm×17.5 mm，撞擊速度為2.76 km/s，兩層靶板厚度均為1.5 mm，建立三維面對稱模型，光滑長度為0.1 mm。

彈體穿透首層靶板后，破片群形貌如圖1 所示，圖中標記了材料所處相態，藍色為固相，綠色為固液混合相，紅色為液相。彈體撞擊首層靶后，有部分粒子發生熔化，但總體上，破片群沒有發生大范圍的熔化。破片群“尖端”部分的破片均為固相。

圖1 數值模擬首層靶后破片群形貌及熔化狀態Fig. 1 The morphology and melting state of the fragment group after the first layer of target obtained by numerical simulation

對實驗結果的分析表明，在該速度段下，首層靶后破片群沒有產生大范圍材料熔化。而當剩余彈體及破片群撞擊第2 層靶板后，受二次加載作用影響，撞擊區附近將發生大范圍的材料熔化。典型實驗獲得的首層、第2 層靶板中心穿孔斷口掃描電子顯微鏡（SEM）結果如圖2 所示，第1 層靶板斷口較為光滑，未發現大范圍熔化，而第2 層靶板斷口則有較多熔融后凝固組織。在圖1 的數值模擬中，能夠觀察到首層靶板斷口、整個破片群尚未發生大范圍的材料熔化。

圖2 實驗第1 層和第2 層靶板斷口的SEM 結果Fig. 2 SEM results of fracture surface of the first and second layers of the target plates

在數值模擬中，當剩余彈體穿透第2 層靶板時，除靶板中心區域受剩余彈體撞擊外，其他區域均為破片群撞擊影響區。如圖3 所示，在破片群撞擊后的撞擊坑處，大量的SPH 粒子發生熔化。對比圖1 中撞擊前的破片群的熔化狀態，可以判斷在圖3 中靶板破片撞擊坑中的SPH 粒子的熔化，大部分是破片在撞擊第2 層靶板過程中發生的。

圖3 數值模擬彈體穿透第2 層靶板時彈靶位置及靶板撞擊坑熔化狀態Fig. 3 Numerical simulation of projectile target position and melting state of impact crater when projectile penetrates the second layer of the target plate

上述關于材料熔化的數值模擬分析結果和實驗中靶板破片撞擊坑微觀組織分析的結論是一致的，實驗通過掃描電鏡獲得的破片撞擊坑的形貌如圖4 所示。可以看出，撞擊坑表面圓潤光滑，像液體澆筑后的表面形貌，說明撞擊坑中的材料已經發生了熔化。因此，認為數值模擬基本能夠反映超高速撞擊過程中彈靶材料所處的相態。

圖4 實驗第2 層靶板破片撞擊坑SEM 形貌圖Fig. 4 SEM morphologies of impact crater of fragments in the second layer of target

2.4 破片群對效應靶的穿孔統計分析

當93 鎢合金彈體以2～3.5 km/s 速度撞擊鋼板時，撞擊后彈靶材料破碎將形成平均尺寸較大的破片群。為了獲得破片群特征尺寸的分布規律，可在首層靶板后設置一層薄效應靶。通過統計效應靶穿孔面積與累積數量的關系，間接分析破片群特征尺寸分布規律以及材料的動態破碎行為。因此，為了進一步驗證修正金屬本構模型的計算結果，參照實驗條件建模并開展計算。彈體直徑15 mm、長15 mm。首層靶板厚度10 mm，后效靶板厚度1 mm，兩層靶板間距1 014 mm。實驗彈體速度為2.25 km/s，模型光滑長度為0.25 mm。選取數值模擬彈體撞擊首層靶板后1 ms 時刻后效靶板的穿孔結果進行分析，實驗和數值模擬效應靶穿孔形貌對比如圖5 所示。圖6 為效應靶穿孔的累積數量與穿孔面積曲線的對比情況。其中，累積數量表示大于橫坐標穿孔面積的穿孔總數。需要說明的是，實驗中，彈體撞擊首層靶板后形成的破片群經歷了與空氣介質短暫的熱量交換才撞擊到薄效應靶上，而數值模擬中，則考慮短暫熱交換所引起的溫度變化對破片穿孔尺寸的影響相對破片密度以及速度對穿孔尺寸的影響是次要因素，因而忽略了空氣的影響。

圖5 實驗與數值模擬后效靶穿孔形貌對比Fig. 5 Comparison of experiment and numerical simulation on the perforation morphology of aftereffect target

在效應靶穿孔形貌上，由于實驗難以保證絕對的軸對稱撞擊，并且材料破碎有一定的隨機性，導致實驗效應靶穿孔形貌對稱性不明顯，而數值模擬有明顯的對稱性。但總的來說，較大破片穿孔更趨近于效應靶中心區域，效應靶邊緣區域穿孔較小，這是實驗以及數值模擬的共同特征。從圖6 可以看出，后效靶穿孔累積數量與穿孔面積統計曲線的數值模擬結果和實驗結果一致性較好，僅在統計曲線兩端略有差距。那么從統計角度講，數值模擬獲得的超高速撞擊破片群符合實驗破片群的特征尺寸分布規律。

圖6 實驗與數值模擬后效靶穿孔累積數量與穿孔面積統計曲線對比Fig. 6 Comparison of experiment and numerical simulation on the statistical curves of cumulative perforation number and perforation area

2.5 典型彈靶撞擊下破片群的空間分布

開展典型93 鎢彈體超高速撞擊Q345 鋼板問題的數值模擬，彈體直徑3.2 mm，長徑比5，靶板厚度1.5 mm，撞擊速度為3.0 km/s，模型光滑長度取0.1 mm。保存模擬結果中的SPH 粒子位置坐標，參照Liang 等所使用的廣度優先搜索（BFS）算法，識別破片并統計分析相關物理量的空間分布情況。

圖7～8 為破片群的數量和質量在各軸向比速度段、橫向比速度段內的累計情況。在每個柱形圖內，不同顏色代表不同質量范圍破片的累積結果。v為破片軸向速度，為彈體初始速度，v為破片橫向速度，v為破片群的最大橫向速度。從圖7 可以看出，在軸向方向上破片群前端的破片數量高、總質量占比高。而低速段的大質量破片主要為靶板擴孔末期剝落的低速破片。從圖8 中可以看出，在橫向方向上，各比速度段的數量基本相同。大質量破片主要集中在低橫向速度段內，即破片群的前端和尾端。

圖7 破片數量、質量關于破片群軸向比速度的分布Fig. 7 Distribution of fragments number and mass in relation to fragment specific axial velocity

圖8 破片數量、質量關于破片群橫向比速度的分布Fig. 8 Distribution of fragments number and mass in relation to fragment specific lateral velocity

圖9 為破片軸向動量、橫向動量（絕對值）在各軸向比速度段內的累積結果。其中，不同顏色代表不同動量范圍內的累積情況。可以看出，隨軸向比速度的增大，軸向動量呈指數增長形式分布，高軸向動量破片集中分布于破片群前端。另一方面，高橫向動量也集中于破片群的前端，結合破片群質量分布特征認為，這是由于該區域的破片群累積質量較高。綜上，破片群的前端具有較高的質量、軸向動量以及橫向動量（絕對值）。

圖9 破片軸向動量、橫向動量關于破片群軸向比速度的分布Fig. 9 Distributions of fragments axial momentum and lateral momentum in relation to fragment specific axial velocity

3 結 論

為建立適用于超高速撞擊問題的修正金屬本構模型，引入GRAY 三相物態方程描述材料相態變化，采用Johnson-Cook 強度模型描述撞擊后期材料的力學行為，綜合封加波損傷演化模型以及Johnson-Cook 失效模型描述層裂、剪切失效機制，并引用曹祥斷裂演化模型，描述材料失效后應力歸零的過程。通過柱形93 鎢超高速撞擊Q345 鋼板數值模擬結果與實驗結果的對比，驗證了本構模型的適用性。分析了典型彈靶撞擊條件下破片群的空間分布特征，得出結論如下。

（1）基于修正金屬本構模型，開展了不同撞擊條件的柱形93 鎢超高速撞擊Q345 鋼板數值模擬，獲得的靶板穿孔直徑、彈體侵蝕長度、破片群擴展速度結果與實驗結果一致。

（2）GRAY 三相物態方程能夠相對準確地計算93 鎢合金撞擊Q345 鋼靶過程中彈靶材料所處的相態。數值模擬發現，撞擊速度在2～3.5 km/s 時，彈靶材料并不會發生大范圍熔化，但當剩余彈體和破片群撞擊第2 層靶板時，破片撞擊坑將產生大范圍熔化，該現象與實驗結果是一致的。

（3）封加波損傷演化模型能夠準確得出超高速撞擊過程中靶板是否產生層裂破壞，對于不同靶板厚度與彈體直徑比值的撞擊問題，數值模擬獲得的靶板是否產生層裂破壞的結果與實驗結果一致。

（4）綜合封加波損傷演化模型、Johnson-Cook 失效模型以及曹祥提出的斷裂演化模型后，典型條件下數值模擬獲得的破片群對后效靶板穿孔的面積與累積數量統計曲線和實驗結果一致。

（5）基于修正金屬本構模型，獲得了典型條件下柱形93 鎢彈體超高速撞擊Q345 靶板破片群空間分布統計結果，破片群的前端具有較高的質量、軸向動量以及橫向動量（絕對值）。