微元法及其應用的探討*

殷紅燕

（中南民族大學數學與統計學學院）

一、引言

定積分是高等數學和數學分析中非常重要的概念，而微元法是將積分理論應用到實際中的重要方法，是聯系理論與實際的橋梁。

很多教材對微元分都有介紹。例如文[1]對微元法的描述為：定積分所計算的是某個函數F(x)的改變量F(b) -F(a)，通過分割、近似、求和、取極限可得到積分式而這個積分式與微分式是等價的。因此可將以上四個步驟歸結為兩步：(1)求出F(x)的微分式，其中f(x)是已知的；（2）將微分式積分得這就是微元法的思想原理，它是對積分的四個步驟的一個簡化。但文中沒有說明在求的近似值時，該用怎樣的量f(x)Δx來近似。

文[2]則要我們試著找到這樣一個ΔF的近似式:它是Δx的一次式，而它與ΔF也許只差一個比Δx高階的無窮小,可也沒說清楚該如何去找這樣的一個近似式，或者說即使找到了一個這樣的形如f(x)Δx的式子，它是否就一定滿足與ΔF只差是比Δx高階的無窮小呢?在文[3]中雖然特別強調要嚴格檢驗ΔF與所求得的f(x)Δx之差是否為Δx高階的無窮小，以確保所求結果的正確性，但同樣沒有說明該如何去檢驗，或者說如何去求滿足這樣要求的形如f(x)Δx的表達式。還有很多學者對微元法及其應用進行了研究，可見文獻[4-8]及其內參考文獻，但對于到底用什么樣的方法求出的近似量一定是滿足要求的這一問題上都沒有給出明確回答。這使得教師在教學中往往只能拘泥于課本中所給的例子進行套用，學生在學習時，難以領會其精髓，特別是在求與微元小物體有關的近似量時，很難弄清楚所求的量是否滿足要求。

為此，本文對微元法進行了進一步的探討，特別是對用什么樣的方法求出的近似量一定是滿足要求的這一問題作了詳盡的研究，并以多種方法求解球的表面積和體積為例，說明如何靈活應用微元法解決問題。最后，指出在應用微元法時需要注意的問題，為教師在教學中提供一些思路。

二、微元法

微元法又稱為元素法，實際上就是求某種與物體有關的量的方法。要使用微元法必須要明確兩個問題：1）什么樣的量可以用微元法來求？2）如果一個量可以用微元法來求，如何求？

首先，回答第一個問題。

如果一個量u分布在物體Ω上，或者說量的值依賴于物體Ω，并且量u對物體Ω具有代數可加性，其中代數可加性包括可分性和可和性。所謂可分性是指：如果將物體Ω分成若干個與Ω同型的小物體這里同型是指現實世界中可將物體理想化的分成五種類型物體——直線型，曲線型，平面型，曲面型，立體型，則對應的量u也相應的被分成各自僅依賴于小物體ΔΩi的部分量可和性是指量u等于所有依賴于小物體ΔΩi的部分量Δui之和，即凡是滿足上述兩個條件的量u均可用物體Ω上的微元法來求。

對應于物體Ω的五類情形：直線型、曲線型、平面型、曲面型和立體型，相應的微元法依次可稱為定積分的微元法、第一型曲線積分的微元法、二重積分的微元法、第一型曲面積分的微元法和三重積分的微元法。

對于第二個問題，解決方法如下：

第一步：在物體Ω上任取一微元小物體dΩ，這里dΩ既表示該小物體，也表示該小物體的度量。在教學過程中要提醒學生這樣理解這一微元小物體，那就是可以將這一微元小物體近似看成一個有度量的質點，并且這一質點位于相應的空間一點P的位置。若對應的物體是直線狀物體，則物體位于閉區間[a,b]上，于是對應的微元小物體位于區間[a,b]上的任一小區間 [x,x+dx]之上，小物體的長度用dx表示。若將微元小物體當成質點看，要這樣理解這一微元小區間 [x,x+dx]：該微元小區間有長度dx，但該微元小區間上僅有一個點，該點的坐標就是x。若對應的物體是平面型物體，則該物體位于xoy平面上某一區域D上，于是對應的微元小物體位于區域D上的任一微元小區域dσ上，小區域的面積用dσ表示，若將微元小物體當成質點看，要這樣理解這一微元小區域dσ：該區域有面積dσ，但該區域上僅有一個點，該點的坐標就是(x,y)。其他三種情形類似。

第二步：計算出量u位于微元小物體dΩ上的部分量Δu的近似值du。

這一步是正確應用微元法求解量u的關鍵，也是讓學生最難理解和掌握的。用什么樣的方法去計算得到的Δu的近似值，才是滿足要求的du呢？本文給出的判別標準是:微元小物體dΩ上的部分量Δu與其所求得的近似值du之差必須是微元小物體的度量dΩ的高階無窮小，而且du是dΩ的線性齊次函數，即：du=f(P) dΩ ， 其 中f(P)d是 已知的。

在實際應用中又如何使du的表達式正好滿足上面的要求呢? 事實上，在求du的過程中只要堅持做到“以直代曲”即可保證所求的量滿足要求。所謂“以直代曲”，通俗一點說就是“以直線代曲線，以平面代曲面”，或者說“以微元小曲線段上一點的切線段代替該點附近的微元小曲線段，以微元小曲面片上一點的切平面片代替該點附近的微元小曲面片”。做到這一點，求出du的表達式，并忽略其中含dΩ高階無窮小部分即可。雖然用此方法求du的表達式可能會比憑直觀判斷所采用的方法稍復雜一些，但一定是正確的。

第三步：對第二步中所求得的du=f(P) dΩ在物體Ω上積分，即可得到要求的量

三、用微元法求半徑為R的球的表面積

下面通過用不同方法求解半徑為R的球的表面積來具體說明應用微元法時近似量的求法。

方法一：應用定積分的微元法，如圖1所示。

圖1 應用定積分微元法

方法二：應用二重積分的微元法，如圖2所示。

圖2 應用二重積分微元法

其中γ為上半球面在該點的切平面的法向量與z軸的夾角.

方法三：在圓周角[0,2π]上任取一微元小區間 [θ,θ+ dθ]（如圖3所示）, 則對應的含在兩半球面之間有一小片球面。

圖3 在圓周角上取微元小區間

四、結語

微元法在物理、化工、經濟等方面都有廣泛應用，正確應用微元法可以將積分學更好的運用于解決實際問題。掌握好微元法的關鍵就是要正確求出與微元小物體有關量的近似量，本文對此給出了方法并舉例說明。

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