從一道幾何最值問題看研究性學習

王廣輝（廣東省深圳市羅湖中學）

良好的數學思維方式和學習習慣是學好數學的核心因素。因此，教師在教學中要讓學生以研究數學的態度來學習數學。對于典型的數學問題，在初步解決的基礎上，教師應該引導學生主動尋找一些相關的問題，并嘗試解決，這樣對于學生的高效學習大有裨益的。下面對一道典型的幾何最值問題進行深入剖析，引導學生了解并掌握研究性學習數學的方法和技巧。

一、典例精析

題目如圖1，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，點P是對角線BD上的一個動點。如果點M，N分別是邊AB，AD的中點，求PM+PN的最小值。

圖1

解析：此題源自人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊第85 頁問題1。我們不難找到解決方案，即作出點M關于直線BD的對稱點M′（如圖2）。連接M′N，線段M′N的長即為所求。由平行四邊形的性質可知，M′N=AB=4。所以PM+PN的最小值為4。

圖2

波利亞曾經形象地指出，好問題同采蘑菇有些相像，它們都能成堆地生長，找到一個后，你應當在周圍再找找，很可能附近就有好幾個。因此，我們應該引導學生在上述問題解決的基礎上進行思維發散，嘗試以此為基礎去解決更有挑戰性的問題。

二、問題初探

變式1：如果圖1 中的點M是邊AB的中點，點N是邊AD上的動點，試求PM+PN的最小值。

解析：遵循慣性思維，我們自然會想到作出點M關于BD的對稱點M′，但由于點N是動點，再連接M′N是無意義的。此時應該作M′N⊥AD于點N，垂線段M′N的長即為所求，即。

【小結與歸納】從表面上看，由源問題過渡到變式1似乎是“舊瓶裝新酒”，但與源問題不同，變式1主要考查的是幾何性質“垂線段最短”。接下來，我們進一步拓展思維，思考如下問題：如果將變式1 中的條件“點M是邊AB的中點”改為“點M是邊AB上的動點”（即點P，M，N均為動點）呢？此時動點問題依次由“一動兩定（點）”過渡到“兩動一定（點）”，最終過渡到“三動（點）”，問題的難度層層遞進。

三、拓展研究

變式2：如圖3，如果AP=，點M，N分別是邊AB，AD上的兩個動點，求△PMN周長的最小值。

圖3

圖4

解析：如圖4，分別作出點P關于AB，AD的對稱點P1，P2。連接P1P2，分別交AB，AD于點M，N，則△PMN的周長的最小值即為線段P1P2的長度。連接AP1，AP2。在△AP1P2中，AP1=AP2=AP，∠P1AP2=2∠DAB=120°，容易求出線段P1P2的長為，即△PMN的周長的最小值為。

【小結與歸納】以上問題把“將軍飲馬”問題分三類設計，問題層層遞進，引導學生探究，使學生的認知在類比與轉化中不斷走向深入。

四、深度探究

變式3：如圖5，如果點M是邊AB的中點，點N是邊AD上一個動點。將△AMN沿MN所在直線翻折，得到△A′MN。連接A′C，求線段A′C的最小值。

圖5

解析：如圖6，由折疊可知A′M=AM=BM，因此點A′在以點M為圓心，半徑為2 的半圓上。由三角形的三邊關系可知，A′C＞MC-MA′。所以當點M，A′，C三點在同一條線上時，線段A′C的長度最短。作CE⊥MB交MB的延長線于點E。在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC= 4，則BE= 2，CE=。所以在Rt△CEM中，CM=。因為A′M=2，所以A′C的長度的最小值為-2。

圖6

【小結與歸納】在變式3中，求最值所涉及的知識點主要是三角形三條邊之間的關系，即“三角形兩邊之和大于第三邊”。

五、結束語

我們看到，以上問題以菱形為載體，從不同的角度派生出諸多新的問題，設計精巧，從不同層面對學生的能力進行考查，一步步拓展學生思維。

通過數學問題的變式，拓展學生的思維，引導學生知道應該怎樣進行創造性地思考。在教學中，教師要經常引導學生以研究者的身份對數學問題進行探索性地改變與思考。