小學數學建模怎樣進行
——“商的變化規律”教學賞析

浙江臺州市仙居縣步路鄉中心小學（317305） 張敏

什么是數學建模？教師該如何幫助學生進行數學建模？在觀摩了吳正憲老師的一節示范課后，筆者茅塞頓開。吳老師的授課內容是人教版教材第七冊“商的變化規律”。對于這樣的常規課，吳老師還能“玩”出什么新花樣呢？

上課伊始，吳老師并沒有什么神來之筆，她以“猴王分桃”的故事指引學生列出三個對應的除法算式“6÷2=3、60÷20=3、600÷200=3”，并依次進行辨析。這一方式讓我們的期望落空，情緒有些失落。突然，吳老師來了個180度大轉彎，猶如驚雷炸響，讓我們眼前一亮。

一、借助幾何直觀，勾勒模型輪廓

待學生初步認識“猴王分桃”的三個算式后，吳老師沒有讓學生對三個算式蘊含的規律進行繼續挖掘，而是以幾何直觀的形式來揭示規律。

師：這三個算式蘊含著什么規律？我們慢慢揭曉。再來看一組題。（題目省略）

師（出示圖1）：從圖中你能發掘出哪些數學信息？

圖1

生1：橫軸坐標表示短笛的支數，縱軸坐標表示相應的總價格。

師：你知道兩者之間存在什么數量關系嗎？

生2：采購2支短笛需支出10元，采購4支短笛需支出20元，采購6支短笛需支出30元，采購8支短笛需支出40元。

（學生邊說，教師邊在圖中描點，得到圖2）

圖2

師：想一想，采購10支短笛時，橫縱軸的交匯點會跑到哪兒？

生3：延長橫軸末端，往上就可以找到它。

師：你發現了什么新線索？

生4：每個點的縱坐標數除以橫坐標數，得到的商都是5。

師：這個商5有什么實際意義？

生5：它表示一支短笛的單價。

師：你是從何得知的？

生6：用采購短笛的總價格除以短笛的支數，可得一支短笛的單價。

師：短笛的數量和總價一直不固定呀。

生7：但是無論數量和總價格如何變化，一支短笛的單價5元一直不變。

（此時，吳老師沒有滿足于學生對坐標圖的觀察和理解）

師：你們的意思是，隨著采購的短笛的支數不斷增多，需要支付的錢款也會增多，但是每支短笛的單價一直不變。

（吳老師邊說邊伸直左右手，左手平伸代表橫軸，右手豎直代表縱軸，兩條手臂慢慢伸展，使學生從肢體動作中體驗到被除數和除數同步增加的過程，揣摩商不變的本質。）

傳統的建模都是先出示一個情境，然后在大量類似的情境和變式中歸納出運算公式，最典型的是植樹問題模型，其先出示大量的植樹問題，讓學生從中概括出植樹問題的模型，那就是“間隔數+1=棵數”，然后通過變式繼續擴大、豐富模型，概括出“間隔數-1=棵數”“間隔數=棵數”兩個種子模型。即使是“比例”這種模型，一般也是從相關變量中進行概括構建（如速度一定，路程與行駛時間成正比），并利用表格來展示和總結。這樣的建模缺少直觀性，而且學生很難建立變量的連續變化思想（也就是函數思想）。吳老師的這種建模獨樹一幟、別開生面，直接跳過對直觀表象的提煉，出示平面坐標系，用坐標系中的函數圖像來直觀揭示兩個變量的變化關系，這比直接出示短笛的圖片和相應價格要高明得多。這種數學模型具有高度的概括性和抽象性，且因具有幾何直觀而更具說服力。

二、分層漸進感悟，初步建立模型

在上述建模的基礎上，吳老師指點學生重新探尋算式的變化規律。

師：這些算式的商為何始終固定為一個值？請大家任選一個題組，把自己的發現如實記錄下來。

（學生小組合作探究）師：誰來展示一下自己的探究歷程和研究成果？學生展示自己的探究歷程和研究成果，如圖3：

圖3

師：你能根據探尋出的規律，寫出幾組算式嗎？

生1：4÷2=2，40÷20=2……

生2：8÷2=4，80÷20=4……

生3：20÷5=4，200÷50=4……

師：你們說得完嗎？

生4：無窮無盡，數都數不清，終其一生也休想說完。

師：那么如何用一句話或者一個式子來高度概括無法說盡的道理和規律呢？你想到什么，就直說，一時說不清就整理成文后再交流。

（學生反思整個學習過程，將自己的心得體會整理成文）

生5：商的大小與被除數、除數之間的比例有某種潛在的關系。

師：你們想從他嘴里再問出點什么嗎？

生（齊）：這種潛在的關系到底是什么？

生5：比如被除數乘2，除數也乘2，那么商就始終為一個定值。

生6：被除數乘10，除數乘10，商也會為一個定值。

生7：被除數乘幾，除數也乘幾，商會為一個定值。

師：換言之，誰和誰同時乘同一個數，商才會為一個定值呢？

生8：被除數和除數同時乘同一個數，商會為一個定值。

師：很好，這位同學做了高度凝練的概括。你們還有要補充的嗎？

生9：在總結的時候，要一次性考慮到所有情況，不能有一個例外。

師：對的，要把所有情況全部囊括進去。

師（出示圖4）：有的同學是這樣歸納的，你對此有什么看法？

圖4

生10：我覺得把方框替換成字母x更貼切。

師：x表示什么？

生11：任意數。

在這個環節中，吳老師引導學生說出心中所想，學生的想法在吳老師的問題下不斷成熟和完善，由最初的“無窮無盡”到“被除數和除數同時乘幾，商就不會變”，再到用字母x這個簡約的符號來代替方框。這不僅體現了學生由淺薄到深厚的積累積淀過程，也展現了由學生形象感知到理性分析和抽象概括的思維過程，更重要的是，他們嘗到了建模的滋味，體會了數學建模的意義。誠然，有了充分的體驗、漸入佳境的感知，學生的總結才能夠直擊要害“要把所有情況囊括進去”，這個“把所有情況囊括進去”的符號表達就是一個數學建模的過程。

雖然前期建立了一個函數模型，但只是揭示正比例關系，而非本課的核心主旨。本課的核心是商不變規律，前期的模型只是一個框架、一次預演，讓學生發現商（總價與數量的比）不變時，兩個變量存在某種特殊關系，而這種特殊關系要確認無誤地表述出來，才能完成對商不變規律模型的構建。吳老師先順接前一個模型反映的數據特征，提取出算式，讓學生觀察幾組商不變的除法算式的特征，接著將算式對稱排列，用箭頭指出被除數和除數相同的變化規律，最后讓學生應用規律創造算式，發現“無窮無盡”。在教師的引領下，學生對原有規律不斷完善和抽象，最后成功總結出商不變規律：被除數和除數同時擴大或者縮小相同倍數，商不變。

三、回首全程，投用模型于實踐

假如說前面的學習只是學生在順著教師制定的路線走，只是在教師授意和監督下進行的抽象概括，那么怎樣讓學生在后續的學習中擺脫教師的牽引，自己發現新規律，并且能試著用抽象簡約的符號來記錄這種規律，是這節課的一個重要戰略調整，也是教學理念的一次升華。于是吳老師組織學生再次回望學習全過程。

師：回望我們探究的過程，這個規律到底是怎樣出爐的？

電子白板呈現畫面和過程：猴王分桃→采購短笛賬目的坐標圖→自己看圖寫算式→檢驗真偽。

師：看這個坐標圖（如圖5），如果抹去計量單位“元”和“支”的話，你能編一個小故事嗎？

圖5

生1：我購買2塊橡皮泥用了10元錢，購買4塊橡皮泥用了20元錢……每塊橡皮泥5元錢。

生2：我練字，2分鐘寫了10行字，4分鐘寫了20行字……每分鐘寫5行字。

……

如果說前面的建模，是一種籌建和搭建，那么此環節就是在應用模型，屬于模型投用階段。讓人驚喜的是，吳老師的模型投用，再次和幾何直觀勾連上了。

綜觀吳老師的授課過程，不難發現，她堅決貫徹建模思想。為了構建出“商不變規律”這個目標模型，前期建立了兩個小模型作為基礎和框架，當目標模型建立完畢后，前期建立的“框架”還可以循環利用，應用到別的情境中。對模型的應用絕不僅僅是將這個模型中蘊含的公式拿來解題，而是運用這個模型的基本框架去“度量”各種不同的情境，讓同一模型在不同的情境中發揮價值，利用這一模型去對照、整合不同情境下的數量關系，發現不同情境下存在共同數量關系的可能，即從不同路徑去驗證這個模型的可靠性和穩定性。簡言之，模型可以用來“度量”不同的情境，不同的情境又可以檢驗模型的科學性。

綜上，建立數學模型的過程需要學生在分層感知中逐步地完善和抽象，是學生對體驗的不斷沉淀和豐盈。對此，教師要多等待，少說教，少灌輸。只有這樣，“建模課堂”才會驚喜不斷，精彩紛呈。