從“點狀”走向“結構”
——以“面積”模塊為例談縱向關聯下的教學實踐

林屏

（杭州師范大學東城實驗學校 浙江杭州 310019）

根據現代學習理論，學生數學學習的過程是認知結構形成、發展和完善的過程。目前，較多一線教師依然進行課時教學，往往忽視了整體與部分間的關系。筆者認為，教師應用整體的視角、聯系的觀點把握教材知識點之間的本質聯系，研究教材編寫的邏輯性和系統性，整合課時、單元內容，把握學段、學科內容，以縱向結構關聯的視角，把教材中的各知識點有機結合起來，做到系統連貫、知識成串，從而幫助學生從“點狀”走向“結構”，使學生的數學學習結構化。

一、無意發現

（一）現狀描述

1.知識鏈條碎片化致使理解不透徹

傳統的教學關注學生的“課時”學習。具體表現為：教師重視知識的單向推進，而忽視知識的多維關聯。重視單一知識的呈現，忽視整體結構的呈現。

2.數學思維無體系導致方法未遷移

不僅知識有生命力，思維更具生命力，更應向下扎根向上生長。“點狀教學”往往將探究學習過程進行壓縮。許多教師執教過程中缺乏方法上的溝通，本質上的探尋，沒有帶領學生在本質中探索序列線索，未能在序列線索中將思想融會貫通。

3.學科能力未關注造成欠缺學習力

“點狀教學”更多的是教師對學生的單向傳遞。這種教學未關注學科素養導致學科能力不足。具體表現為學生自主建構能力薄弱等，即學生習慣于被動接受，缺乏遷移、運用和創造的能力。

（二）成因分析

1.教材內容的散點化

由于教材在編寫時要遵循學生的年齡特點和身心發展規律。從而調整了數學知識的結構。比如“面積”教學，在教材中分別安排在三下、五上、五下、六上、六下。這就要求教師教學時不能僅限于本年級，而必須前后貫通，做到前有滲透，后有鞏固與延伸。

2.教學過程的線性化

許多教師往往拘泥于具體的課時安排，按照教材的編排一課一課地進行教學，缺乏結構地教。比如學習了多邊形面積，學生會計算平行四邊形、梯形、三角形的面積，但還體會不到多邊形面積的測量本質是相同面積單位個數的累加。只有教師結構化地整體設計時，才能引導學生在關聯中領悟知識的本質，從而編織具有生命力的知識結構。

3.教學形態的知識化

教學方式仍顯單一，學生自己很難從知識源頭去探究、體驗、生成與創造，難以實現深度學習。教學評價仍側重知識技能的掌握，著力于知識的獲取，指向未來發展的素養導向的評價仍缺乏研究，對于發現、提出、分析和解決實際問題能力等評價力度不足。數學教學不能忽略了對學生數學素養的培養。比如不規則圖形面積的估測，需要教師引導學生體會化曲為直、移多補少的方法，滲透轉化思想的同時，初步滲透極限思想。

二、專意思考

（一）概念闡釋

結構教學是基于學情、開放整合、優化結構、發展素養的數學課堂教學策略，縱向結構關聯教學是教師以整體、聯系的觀念對相關知識內容以及思想方法的縱向梳理。需要厘清知識塊邏輯關系，立足生長點，挖掘延伸點，建構立體的結構關聯，實現有效銜接的同時，再現數學知識的全貌，還原數學本質，從而形成知識技能的結構化，思想方法的漸進性，學習能力的可持續。

（二）理論基礎

布魯納指出：“掌握事物的結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方法去理解它。”簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣關聯的。結構化學習強調讓學生在活動中自主建構，實現點、線、面、體的多向關聯。

（三）實施原則

1.基于認知經驗

從縱向結構關聯的視角分析研究教材和學情，將學生已掌握的知識、已獲得的經驗與新學的知識溝通聯系起來，讓新知的學習變為對舊知的延續、拓展，促進對新知的理解與遷移。

2.著力自主建構

為了將碎片化的知識有機串聯，應以核心知識為主線，把各個分散的知識點重新聯結在一起，形成整體融通的知識體系。

3.專注能力提升

用縱向結構關聯的視角去分析教材、串聯并拓展教材內容，將“知識點”串聯成“知識鏈”，將“知識鏈”編織成“知識網”，不僅讓學生感受到知識間的聯系，也發展學生的思維，建立完善的認知結構。

三、創意實踐

目前，較多一線教師進行單元整合的相關研究，即橫向的結構關聯教學，但往往忽視了整體與部分間的關系，整合課時、單元內容的同時，還應把握學段、學科內容，以縱向結構關聯的視角，建立完整的知識結構體系。針對上述問題，筆者以“面積”模塊為例，從數學知識理解、數學方法遷移、學科能力發展三個維度，談談如何從點狀教學走向縱向結構關聯教學，來促進教師有結構地教，學生有關聯地學。

筆者將從尋找生長點、挖掘生長線，整合相似點、凸顯思考力，打破困惑點，培養學習力，這幾條路徑實現從“碎片學習”走向“結構學習”；從“孤立學習”走向“比較學習”；從“單一學習”走向“縱橫學習”，具體操作如下：

（一）指向數學知識理解

1.尋找生長點

教師需要以整體視角，樹立聯系觀，在課堂教學中突破課時、單元、學段的限制，厘清知識塊間的邏輯關系，溝通與之相關的知識，建構較完善的知識結構。以面積為例，筆者對人教版小學數學“面積”模塊相關知識進行了縱向梳理，如表1 所示：

通過梳理教材，我們不難發現三年級學習面積的概念，之后都是學圖形的面積特征和面積計算。由于面積的學習是小學生從度量一維的“線”的長短到度量二維的“面”的大小，是他們空間形式認識發展上的一次飛躍。長方形、正方形的面積計算是學生求解探索“面積公式”知識的起始課。是學習多邊形面積和其他圖形面積公式的基礎。我們以長方形正方形面積教學為例，思考生長點，擬定新目標。

案例一：

表2 案例

教學設計如下：

表3 教學設計

教學力求做到關注數學核心概念的滲透與落實，注重學生對核心內容的深刻體驗。從數到估，處處鋪墊與伏筆，為后續的學習打下扎實的基礎。

2.挖掘生長線

從教學內容中可以看出，《面積》的學習經歷了一個由易到難的過程。圍繞認識面積、求面積（解決問題）這條主線，我們可以看到在認識完面積后，層層遞進（如下圖）。面積的計算公式是有形的，但隱藏在零散知識體系中的數學思想是無形的。我們在理清知識顯性脈絡，體現知識序列性的同時也應深挖其隱性脈絡。“求平面圖形面積”的隱性脈絡即“轉化思想”。立足生長點，挖掘生長線，有效銜接不同年段同一體系的相關知識內容，才能幫助學生建立知識間的前后聯系，建構完整的知識網絡。

圖1

（二）指向數學方法遷移

1.整合相似點

“求平面圖形面積”一直從三年級貫穿至六年級，貫穿始終的除了面積的求法這一知識技能外，“轉化思想”同樣一以貫之。尤其是五年級上冊多邊形面積的學習過程中，教師在教學中將轉化思想推向了至高點。以“求面積”為知識線，轉化思想的滲透經歷了以下幾個過程（圖2）：

圖2

我們以《多邊形的面積整理與復習》為例，思考相似點，重構整合，讓知識“聯”起來，讓方法統一起來，知識梳理，形成框架。教師引導學生梳理已學知識，形成知識網絡圖。這樣既幫助學生完善知識結構，又進一步拓展認知結構。數學知識中的有些知識在學生看來是完全不關聯的，但實際上在知識背后具有縱橫聯系，學生很難發現，是需要老師著力的地方，讓學生體會到幾個圖形公式推導層層遞進，共同利用轉化的方法。

在對平行四邊形、三角形、梯形的剪、移、拼的過程中，學生直觀體會到圖形間的轉化。把平行四邊形的面積轉化成長方形的面積，這樣就推導出平行四邊形面積公式。把三角形、梯形轉化成平行四邊形。這樣就推導出三角形、梯形面積公式。這就是上圖中雙向箭頭的含義。這樣，學生腦海里那些孤立、分散、無序的圖形知識點就穿成了鏈、攏成了片，織成了網，縱橫溝通，形成了系統化的知識結構。有利于學生方法的遷移，面積計算公式的推導。

2.凸顯思考力

重構梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯系。“多邊形的面積”這個單元還有一個內在聯系——梯形面積公式，這是學生看來八竿子打不著的。那么就需要教師在練習課上，將梯形面積公式與其他圖形面積公式有機整合。通過動態演示梯形上底的變化，溝通梯形、三角形、平行四邊形公式間的關系。讓學生經歷由模糊到清晰、由片面到全面、由感性到理性的認識過程。他們又進一步發現，梯形的面積公式是其他四種圖形面積的通用公式。于是建立起基于轉化思想的知識網，感受數學知識的邏輯性和系統性。在重構整合中，學生真真切切感受到各線知識的緊密聯系。抓住數學思想，具有單元性質的數學知識就會被“提領而頓，百毛皆順”。

（三）指向學科能力發展

縱向結構關聯下教學，除了尋找學科知識的生長點，整合相似點，我們還要打破困惑點。有了知識網，還需要指向于知識網中每個或者某個節下知識點的應用練習，以凸顯學科能力的簡單應用為主，既能體現知識點的鞏固，又能以變式促成能力的提升。基于知識網下的結構性應用，更能以一種超脫的姿態助力學生打破困惑點，培養學習力。

1.打破困惑點

《不規則圖形的面積》一課是建立在學生已經學習了多邊形的面積，初步掌握了轉化的思想方法上進行教學的。學生對于教材中數方格、轉化成基本圖形等估算面積的方法并不具挑戰性，因此，我們將教學內容由估算不規則圖形面積轉變成盡可能精確地計算不規則圖形面積。旨在幫助學生體會化曲為直、逐步逼近的方法，滲透轉化思想的同時，初步滲透極限思想，為六年級圓面積的學習做鋪墊。

2.培養學習力

縱向結構關聯教學的目的，就是培養學生的學習力，讓學生能夠將新知融入原有的認知體系進行建構，并能在新的情境中創造性地解決問題。比如學生學習平行四邊形面積時采用轉化的思想，把不知道的圖形轉化成已經知道的長方形。學生可以把轉化思想遷移到三角形、梯形、圓等面積的學習。

四、詩意收獲

數學知識的教學，要注重它的“生長點”與“延伸點”，教師要把每節課的知識放到整體知識體系中，注重它的內在結構，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數學的整體性。教師有結構地教，引導學生有關聯地學。

（一）從“碎片學習”走向“結構學習”

圖形的面積公式推導本來就是相互關聯的，教學中教師應重視在圖形及其性質之間建立聯系，幫助學生建立轉化思想，促進學生學習方法的遷移，幫助學生把分散的內容穿起來，變“碎片學習”為“結構學習”。

（二）從“孤立學習”走向“比較學習”

在某一階段，學生習得的一些知識經驗又作為以后學習的基礎，數學知識的學習不能孤立地學，縱向結構關聯教學注重厘清知識塊邏輯關系的過程中，勾連相關知識，形成依據知識發展脈絡的線性知識結構，在聯系中比較，建立不同知識模塊的關聯，使知識結構立體化。

（三）從“單一學習”走向“縱橫學習”

任何知識都不是孤立的，教師要引導學生自主建立起學科的知識框架；同時，任何方法也不是單一的，縱向結構關聯及橫向結構關聯也不是互不相容的，二者互相補充，可以取得事半功倍的效果。

總之，教學中除了著眼課時、單元內容，還要以宏觀角度，縱向關聯的視角著眼學段、學科內容，把握數學知識發生發展過程中的顯性與隱形脈絡，穿點成線、連線成面、勾面成體，盡可能幫助學生建立多維、立體、交叉的數學學科知識體系。縱向關聯視角下的結構化分析，整體化設計，幫助學生實現認知、思維結構的完善，促進學生學科能力的發展。