泰勒公式的應用研究

孫研博 錢 瑩 李東

（佳木斯大學 黑龍江佳木斯 154007）

泰勒公式作為連接分析學及代數學行列式部分理論的有力工具，在極限的計算、近似估計、線性插值等方面有著重要應用。事實上，泰勒公式雖然結構復雜，但其卻存在較強的規律性，不僅方便記憶，甚至在解決部分問題時能使原本困難的過程化繁為簡，起到事半功倍的效果，是理解和處理復雜數學問題的有力途徑[1]。此外，在經濟學、統計學、金融學等領域出現的部分實際問題也同樣可以用泰勒公式來解決。所以關于泰勒公式的相關運用已經不局限于數學層面。

泰勒公式好比是一元函數微分學的奠基石，一元微分學中相當多的問題都可以歸結為泰勒公式求解，它是一種用函數及其n階導函數在某一定點的值來表示其附近一系列值的公式，將復雜的函數簡化為多項式函數[2]。在高等數學解題中，泰勒公式具有一定的優越性，它是簡單而有效的工具。針對泰勒公式這種可以化繁為簡的功能，本文將以泰勒公式在極限計算，近似計算，線性插值及在行列式中的應用的應用展開討論。

泰勒定理：

設函數f(x)在區間(a,b)上n+1階可導，且導函數連續，那么取x0(a,b)

注：當x0=0時，將其代入（1.1）所得結果被稱為麥克勞林公式。

一、泰勒公式的應用

1.利用泰勒公式簡化極限計算

極限貫穿于高等數學的始終，我們常見的解決極限的方法有：定義法、迫斂性準則、洛必達法則、分母分子有理化等。洛必達法則通常用于解決0比0型或無窮比無窮型此類未定式的極限，而對于那種對分子分母分別求導麻煩式子應用起來就較為不便。對于需要多次求導的式子求極限我們可應用泰勒公式進行簡化計算。

因此可知，對分子應用泰勒展式，若展開項最高次冪小于3，雖然在形式上簡化了計算，但是最終原式依然化為型不定式，不能進行求解。

從而我們可知，對分子應用泰勒公式時，若展開項次冪最高大于3，最終得到正確結果。但是如果次冪越高，那么將其展開的話較為煩瑣，計算容易出現失誤。

我們看到，當展式的冪次最高大于3和等于3時，最后計算的分子都含有高于分母冪次的無窮小階數，然而該項的計算結果仍然為0.這是由于泰勒公式的本質是將某一個函數轉化為一個多項式函數，而且隨著展開項數的增加，其中無窮小的階數也在增加。所以我們根據高階無窮小的遞推可知：若某一個函數的泰勒展開式滿足x的n階無窮小，那么它必定滿足x的小于n階無窮小。

2.利用泰勒公式求近似值

例3：利用泰勒多項式逼近函數sinx，并要求其中的誤差≤ 1 0-3。試分別在m=1和m=2兩種情況下計算：x的取值范圍。

當m=1 時，sinx≈x，使其誤差滿足

如果利用泰勒公式展開更高次冪來逼近sinx，x能在更大范圍內滿足同一誤差。

3.泰勒公式在線性插值中的應用

當n=1 時就是梯形公式了。

例4：證明梯形公式

假設：

將x=b帶入第一個式子，得到

將x=a帶入第二個式子，得到

結合泰勒定理和牛頓-萊布尼茨公式，得出近似計算數值積分的梯形公式

4.泰勒公式在行列式中的應用

在計算行列式時，多數情況下我們采用展開式或者其他純代數型的方法進行計算，比如數學歸納法、代數知識傳遞法方法，知識原理（例如微積分）很少用于計算行列式。我們從此特性中發現泰勒公式更適合計算行列式。我們首先可以了解需要的行列式的特征，觀察其形式并研究其性質，然后為其構造行列式的適當的函數，再根據泰勒公式在某個點上擴展行列式的功能，最后找到行列式。

例5：求解n階行列式

分析：如果一個行列式可以將其看作關于x的函數（一般是x的n次多項式），記作f(x)，我們利用泰勒公式將在某點x0展開，這樣便可以求解行列式的值。

解：記f(x) =D，利用泰勒公式在點z處展開：

由上式可得，fk(z)=z(z-y)k-1時都成立。

根據行列式求導的規則，

于是在x=z處的各階導數代入得到

5.利用泰勒公式判斷斂散性

當題中所給的級數通項表達式是很多各式各樣類型的函數式組合而成的，則很難直接看出來的復雜形式，并且用我們常用的方法不知從何下手的時候，這時就可以考慮嘗試運用泰勒公式，把題目中所給的級數通項變換成統一的形式，然后再進行斂散性的判定。

結語

本文從主要從四個方面探究了泰勒公式在分析和研究數學問題等方面的應用，用一些例子說明其應用方法，補充了高數教材中相關內容，有助于加強學習者對泰勒公式的理解和掌握及應用方法，對更深入的理解和掌握抽象定義起到一定作用。

作為理解和深入發掘函數極限的重要理論根據，泰勒公式是高數教材中的重要研究課題，它可將一些難以研究的函數近似地轉化成為更方便思考的多項式函數。同時泰勒公式作為深入探索函數深層次問題的重要媒介，其在導數及微分的問題、根的存在性問題、相關不等式證明中也有著廣泛的應用；泰勒公式是數學分析問題的一個重要媒介，多數常見的方法解決比較煩瑣時，嘗試運用泰勒公式可能會豁然開朗，通過實例發現泰勒公式在微積分學中理論支撐及復雜計算中的運用，感受運用泰勒公式的便捷性；泰勒公式簡化了復雜的問題，實現了精確度和精確度，并且可以應用于除了數學外的多個其他學科。泰勒公式在數學下設的許多分支領域中都有過具體的應用實例，但是仍有部分學派不同意或者說很少地發表關于泰勒公式的談論。這是因為他們認為泰勒公式及泰勒定理所給內容和理論支撐不夠嚴密，不能完美地適用于解決問題。由此可見，有關泰勒公式的應用仍有完善和提升的空間，值得我們深入地挖掘其中的奧妙。