量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

楊師杰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

大學(xué)教授量子力學(xué)通常從引入薛定諤方程開始，以求解不同條件下的薛定諤方程本征值問題貫穿始終，但是對于為何存在本征值問題，本征函數(shù)的完備性則略而不談，相關(guān)的數(shù)學(xué)物理方法課程也只述結(jié)論，不表原因，這致使量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一直不甚了了.本文試圖從線性空間的內(nèi)積開始，對量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做一個系統(tǒng)的描述[1]，以期對教學(xué)產(chǎn)生有益的輔助作用.

1 線性空間基礎(chǔ)

1.1 度量空間

范數(shù)用來表征某個線性向量空間中向量的長度，記做‖x‖，滿足條件‖x‖≥0，定義了范數(shù)的向量空間稱為賦范空間.設(shè)是一個非空集合，對其中任意兩點x、y，引入一個相應(yīng)的實數(shù)d(x，y)，滿足：1) 正定性：d(x，y)≥0，當且僅當x=y時，d(x，y)=0；2) 對稱性:d(x，y)=d(y，x)；3) 三角不等式:d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y).則稱d(x，y)為中的一個度量，稱為定義度量d(x，y)的度量空間.

度量空間是將歐幾里得空間的距離概念做推廣的一個抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它采用集合中兩個元素之間的度量取代歐幾里得空間中兩點之間的距離，可以包括向量距離、函數(shù)距離、曲面距離等.賦范空間和度量空間的區(qū)別，在于度量定義于任意非空集合，而范數(shù)僅定義于向量空間.

當空間定義了度量之后，就可以比較空間中兩點之間的距離，度量空間的柯西序列可表述為:設(shè)(，d)為度量空間中的點序列x1，x2，…，xk，…∈，如果對于任意正實數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N(ε)，當n，m>N(ε)時，度量(距離)d(xn，xm)<ε，則該序列稱作柯西序列，用極限表示，即

任何緊致集合都是完備的，但反過來不成立.比如實數(shù)集雖然是完備的，但不是緊致的;只有加……