庫侖勢約束下薛定諤方程的勢代數及超對稱自發破缺

王海楠，文 莉，程建蘭，熊露霖，羅 光

(重慶師范大學物 理與電子工程學院，重慶 401331)

超對稱量子力學于1981年由Witten一經提出[1]，就受到人們的廣泛關注，并且超對稱思想很快就被應用到諸如場論等其他領域[2-4]. 超對稱量子力學及其勢代數形式在討論薛定諤方程的求解時也有重要應用，是實現精確求解的一種非常重要的方法[4，5]. 目前，各種勢約束下的薛定諤方程的精確求解或者準精確求解問題一直以來都是量子力學中特別關注的問題[6-11]，而基于超對稱量子力學，能夠求解的勢約束下的薛定諤方程多達十幾種[3，10，12]. 這些勢主要有諧振子勢、庫侖勢、Morse勢、Rosen-Morse勢、Scarf勢、Eckart勢、P?sch-Teller 勢等[3，8].

庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解也是量子力學中的經典問題[13，14]，不過處理過程相對繁瑣.基于超對稱量子力學處理庫侖勢問題，過程和結果相當簡潔明了[15，16].雖然如此，庫侖勢作用下的薛定諤方程的討論依然還有一些有待處理的問題，比如由于在r→0時，庫侖勢是發散的，一般是考慮采取截斷處理[17]；以及針對零能基態波函數中的軌道角動量量子數l的取值，即l<-1時，波函數不滿足歸一化從而出現超對稱自發破缺.

本文基于超對稱量子力學方法，對庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解做了進一步討論.首先，針對給出了徑向方程和角向方程的形狀不變性關系和勢代數理論，導出了勢代數形式的形狀不變關系，滿足SO(2，1)群對稱性；然后討論了徑向波函數和角向波函數的斂散性，討論了系統出現的超對稱破缺，并且采用超對稱破缺系統的兩步……