模糊數列關于序β的f-理想統計收斂和強f-理想收斂

馮 雪, 鞏增泰

(1. 青海民族大學 數學與統計學院, 青海 西寧 810007; 2. 西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730000)

本文基于模函數f將統計收斂和強收斂置于理想的框架下,提出和研究了模糊數列關于序β的f-理想統計收斂和強f-理想收斂,推廣了前人的工作.

1 定義及說明

實數R上的模糊集u稱為模糊數,是指：u是正規的、凸模糊集、隸屬度函數u(x)上半連續、支撐集[u]0=cl{x∈R:u(x)>0}為緊集.記所有模糊數所組成的集合為E1.對任意的0≤r≤1,水平截集[u]r={x:u(x)≥r}是一個閉區間.對u,v∈E1,k∈R,加法和數乘為：

[u+v]r=[u]r+[v]r，

[ku]r=k[u]r.

模糊數u,v∈E1之間的距離為

其中D表示Hausdorff距離,分別是[u]r和[v]r的左右端點.表示零模糊數.

記N是全體自然數組成的集合,集合A?N的自然密度定義為

設f是無界模函數,β∈(0,1],設N是全體自然數組成的集合,集合A?N的fβ-密度定義為

δf

當f(x)=x且β=1時,

δf

若函數f:[0,∞)→[0,∞)是連續的遞增函數,且f(0)=0,對x,y≥0,有

f(x+y)≤f(x)+f(y),

則稱函數f是模函數[9].

定義 1設x={xk}為模糊數列,x0為模糊數,f為無界模函數,β∈(0,1],若對任意的ε>0,δ>0,有

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

注 1若對所有的n∈N,當f(x)=x且β=1時,退化為其中,

例 1設I是自然密度為0的自然數集N的理想,A={12,22,…},定義模糊數列

x

即模糊數

即

δ}?A∪{2,3,…,M}∈I.

由以上討論可知,當n∈A且n→∞時,

定義 2設x={xk}為模糊數列,f為無界模函數,β∈(0,1],對任意的δ>0,定義下列強f-理想收斂的模糊數列空間：

其中

注 2若稱模糊數列x={xk}關于序β強f-理想收斂于模糊數x0;若稱模糊數列x={xk}關于序β強f-理想收斂于模糊數列若稱模糊數列x={xk}關于序β強f-理想有界.

注 3若對所有的n∈N,當f(x)=x且β=1時,模糊數列空間退化為其中

2 模糊數列關于序β的f-理想統計收斂的相關性質

定理 1設x={xk},y={yk}是兩個模糊數列,則以下成立：

1) 對任意實數C,若x則

2) 若x且y則xk+y

證明1) 當C=0時,結論顯然成立.

設C≠0,有

因為

D(Cxk,Cx0)≥ε}|)≥δ}?

D(x

壓力注漿孔的布置就是超前探水孔的布置位置，根據該掘進段實際情況，如滲涌水量較大，可在適當位置增加注漿孔的數量，以確保防治水效果。

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

D(yk,y0)≥ε}|)≥δ}∈I.

因為

D(xk+yk,x0+y0)≤

D(xk+yk,x0+yk)+D(x0+yk,x0+y0)=

D(xk,x0)+D(yk,y0),

對任意ε>0,有

由

D(xk+x0,yk+y0)≥ε}|)≥δ}?

可得

xk+y

定理 2設模糊數列x={xk}與關于序βf-理想統計收斂的模糊數列y={yk}幾乎處處相等(即集合{k∈N:xk≠yk}為有限數集),則x={xk}關于序βf-理想統計收斂,且與y={yk}收斂于同一模糊數.

證明對幾乎所有k,有xk=yk且y對于任意ε>0,有

{k∈N:xk≠yk},

所以

定理 3設β、γ是兩實數,且滿足0<β≤γ≤1,那么

證明設x={x則

由上式可知

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}?

D(xk,x0)≥ε}|)≥δ}∈I,

推論 1設x={xk}為一模糊數列,β∈(0,1],那么其中

3 模糊數列關于序β強f-理想收斂的相關性質

定理 4強f-理想收斂的模糊數列空間有如下包含關系成立

證明顯然成立.

設x={x則

定理 5設f1,f2是模函數,則以下結論成立：

證明設則因此,對任意的δ>0,β∈(0,1],有

那么

因此可以得到

f2(D(x

故

2)和3)的證明與1)相似.

證明設x={x記那么f(t)≥lt,t≤l-1f(t),所以,

由

可以得到

定理 7設β,γ是兩實數,且滿足0<β≤γ≤1,那么

證明設x={x則

于是可知

4 模糊數列關于序β的f-理想統計收斂和強f-理想收斂的關系

定理 8設f為模函數，若存在正數C,使得對所有的x≥0,y≥0,有f(xy)≥Cf(x)f(y),并且0,則

證明因為

f(|{k≤n:D(xk,x0)≥ε}|ε)≥

Cf(|{k≤n:D(xk,x0)≥ε}|)f(ε),

那么

所以

因此x={x故

5 結論

致謝青海民族大學2021年校級青年項目(2021XJGH24)對本文給予了資助，謹致謝意.