G-純正合復(fù)形的相關(guān)刻畫(huà)

魏寶軍, 于春艷, 楊曉燕

(重慶對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 重慶 合川 401520)

純這一概念在代數(shù)和模理論研究中扮演著重要的角色.純性是阿貝爾群理論中的一個(gè)重要概念,其中有足夠純內(nèi)射群和足夠純投射群,這使得可以利用同調(diào)方法對(duì)純進(jìn)行更深層次的探究.然而復(fù)形范疇是一個(gè)有足夠多投射對(duì)象和足夠多內(nèi)射對(duì)象的Abel 范疇,因此Gorenstein同調(diào)理論在復(fù)形范疇中可以形成一種新的理論體系.1998 年,Enochs等[1]引入了Gorenstein投射復(fù)形的概念,證明了在Gorenstein環(huán)上的這些復(fù)形就是Gorenstein投射模的復(fù)形.2011年,Yang等[2]證明了在任意環(huán)上復(fù)形P是Gorenstein投射(內(nèi)射)的當(dāng)且僅當(dāng)P的每一層次上的模是Gorenstein投射(內(nèi)射)模,并給出了一系列相關(guān)的等價(jià)刻畫(huà).

2017年,Yu等[3]在定義了相對(duì)于Gorenstein投射模范疇中的純正合列,即G-純正合列,并得到了相關(guān)的一系列性質(zhì)和應(yīng)用.隨著純領(lǐng)域的深入研究,本文通過(guò)前面對(duì)Gorenstein投射復(fù)形范疇中的純正合列,即定義了G-純正合復(fù)形的研究,主要對(duì)G-純正合復(fù)形相關(guān)的等價(jià)刻畫(huà)作了進(jìn)一步研究.

1 預(yù)備知識(shí)

除非特別聲明,環(huán)R是具有單位元的結(jié)合環(huán),所有涉及的模均是酉模,ModR表示左R-模范疇.對(duì)未作解釋的標(biāo)記,事實(shí)和概念,請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

定義 1[5]如果正合復(fù)形F:…→Fn+1→Fn→Fn-1→…是G-純正合的,則滿足以下兩條:

1) 對(duì)任意的n∈Z,Fn是Gorenstein投射的;

2) 對(duì)任意的n∈Z,模的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是G-純正合的.

性質(zhì) 1[5]1)H如果為GProjC(R)中的純投射復(fù)形,則對(duì)復(fù)形的任意G-純正合列0→F1→F2→F3→0,序列

0→HomC(R)(H,F1)→HomC(R)(H,F2)→
HomC(R)(H,F3)→0

是正合的.

2)E如果為GProjC(R)中的純內(nèi)射復(fù)形,則對(duì)復(fù)形的任意G-純正合列0→F1→F2→F3→0,序列

0→HomC(R)(F3,E)→HomC(R)(F2,E)→
HomC(R)(F1,E)→0

是正合的.

3)A如果為GProjC(R)中的絕對(duì)純復(fù)形,則GProjC(R)中任意的正合列0→A→F2→F3→0是G-純正合的.

將GProjC(R)中的純投射、純內(nèi)射和絕對(duì)純復(fù)形構(gòu)成的GProjC(R)的全子范疇分別記為PP-GProjC(R),PI-GProjC(R)和Abs-GProjC(R).

定義 3[4]稱(chēng)R-模的序列

定義 4[6]稱(chēng)小范疇I(yíng)是filtered,如果滿足以下兩個(gè)條件：

1) 對(duì)I的任意兩個(gè)對(duì)象i、j,存在對(duì)象k,使得HomI(i,j)和HomI(j,k)是非空的.

2) 對(duì)I的任意兩個(gè)對(duì)象i、j和兩個(gè)平行同態(tài)f,g∈HomI(i,j),存在對(duì)象k和同態(tài)h∈HomI(j,k),使得hf=hg∈HomI(i,k).

引理 2[6]設(shè)X、Y是鏈復(fù)形.若滿足：

1) 對(duì)任意的整數(shù)n,HomR(Xn,Y)是正合的;

2) 對(duì)任意的整數(shù)n?0,HomR(Xn,Yn)是平凡群.

則鏈映射f:X→Y是零倫的.

定義 5如果任意Gorenstein投射R-模可寫(xiě)成有限表示Gorenstein投射模的正向極限,稱(chēng)環(huán)R滿足(*)條件.

例子 11) Artian代數(shù)是滿足(*)條件的[3].

2)n-完全的Ding-Chen環(huán)是滿足(*)條件的[7].

2 Gorenstein投射復(fù)形范疇中的純正合列

000↓↓↓0→N'→N→N″→0↓↓↓0→P'→P'P″ →P″→0π'↓π↓π″↓0→M'π→Mp→M″→0↓↓↓000

證明因?yàn)閜*:HomR(P″,M)→HomR(P″,M″)是滿的,所以存在映射f:P″→M,使得pf=π″.因此由線性映射π=[τπ′,f]:P′⊕P″→M可得到如下行正合的交換圖.

0→P'→P'P″ →P″→0π'↓π↓π″↓0→M'τ→MP→M″→0

取N=Kerπ,由蛇引理得到上述行列正合的交換圖.又因?yàn)樽笥覂闪械亩陶狭惺荊-純正合的,所以中間一列的短正合列也是G-純正合的.

引理 4設(shè)R滿足(*)條件,C是有限表示Gorenstein投射模構(gòu)成的復(fù)形,P是一個(gè)可縮復(fù)形且P的每一個(gè)合沖模是有限表示Gorenstein投射模的直和.考慮鏈映射g:C→P,則存在一個(gè)可縮復(fù)形P′?P,其中P′是每個(gè)層次由有限表示Gorenstein投射模構(gòu)成的,使得Img?P′.如果復(fù)形C是左有界(右有界,有界),那么子復(fù)形P′也是左有界(右有界,有界).

證明假設(shè)對(duì)任意的正整數(shù)n,存在有限表示Gorenstein投射模{Qn}n∈Z,使得Pn=Qn⊕Qn-1,其微分dp:Pn→Pn-1是映射

Qn⊕Qn-1→Qn-1⊕Qn-2,

(xn,xn-1)(xn-1,0),

g(Cn)?Q?n⊕Q?n-1.

因此P的可縮復(fù)形可以通過(guò)g合成,對(duì)于所有的n,其中P的n-層次上的模是有限表示Gorenstein投射子模且

Q?n⊕Q?n-1?Qn⊕Qn-1=Pn.

定理 1設(shè)R滿足(*)條件.則對(duì)任意的Gorenstein投射復(fù)形F,以下條件等價(jià):

1)F是G-純正合的;

2) 對(duì)任意的有限表示Gorenstein投射模C,有HomR(C,F)是正合的;

3) 任意從有限表示Gorenstein投射模的右有界復(fù)形到F的鏈映射是零倫的;

4)F是正合的且對(duì)每個(gè)層次都是G-純滿的任意鏈映射f:Y→F,對(duì)任意的有限表示Gorenstein投射模的右有界復(fù)形C,鏈映射C→F可通過(guò)f分解;

5) 任意從有限表示Gorenstein投射模的右有界復(fù)形到F的鏈映射能通過(guò)有限表示Gorenstein投射模的右有界可縮復(fù)形分解;

6) 任意從有限表示Gorenstein投射模的有界復(fù)形到F的鏈映射能通過(guò)有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復(fù)形分解;

7)F是有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復(fù)形的一個(gè)filtered上極限.

證明1)?2) 設(shè)C是有限表示Gorenstein投射模.因?yàn)镕是G-純正合的,所以對(duì)任意的n∈Z,存在GProjR模中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0,則

0→HomR(C,ZnF)→HomR(C,Fn)→
HomR(C,Zn-1F)→0

2)?3) 由引理6可得.

3)?4) 因?yàn)槿我獾膹挠邢薇硎綠orenstein投射模的右有界復(fù)形到F的鏈映射是零倫的,所以對(duì)任意的R[n]也成立.故F是正合的.

設(shè)C是有限表示Gorenstein投射模的右有界復(fù)形.考慮鏈映射g:C→F.假設(shè)存在g與零映射之間的同倫Σ,使得g=dFΣ+ΣdC.因?yàn)閒:Y→F是每個(gè)層次由G-純滿同態(tài)構(gòu)成的鏈映射,所以在每個(gè)層次存在映射S:C→Y,使得Σ=fS.因此

h=dYS+SdC:C→Y

是一個(gè)鏈映射.又因?yàn)閐Yh=dYSdC=hdC,所以

fh=f(dYS+SdC)=fdYS+fSdC=
dFfS+fSdC=dFΣ+ΣdC=g.

4)?5) 設(shè)F是正合復(fù)形.構(gòu)造一個(gè)對(duì)子(P,π),若對(duì)任意的n,Qn是有限表示Gorenstein投射模的直和且Qn→ZnF是G-純滿態(tài)射,則由引理4可得到如下交換圖.

0→Qn→QnQn-1 →Qn-1→0↓πn↓↓0→ZnF →Fn→ Zn-1F→0

5)?6) 設(shè)C→F是鏈映射,其中C是有限表示Gorenstein投射模構(gòu)成的有界復(fù)形.由5)可知,鏈映射C→F可以通過(guò)有限表示Gorenstein投射的有界可縮復(fù)形P分解為C→P→F的合成.因?yàn)镃是有界復(fù)形,所以由引理4知,Img?P′,其中P′是有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復(fù)形.

ζ=ζ

是鏈映射,使得f是合成

其中(P,f)是中的任意對(duì)象,η(P,f)是Γ(P,f)到的自然映射.

則對(duì)子(P⊕P′,[f,f′])是中的對(duì)象且自然映射τ:P→P⊕P′和τ′:P′→P⊕P′是中的態(tài)射.因此有如下交換圖.

Pτ→ PP'τ'←P'f↓[f,f']↓ f'↓FFF

下證ζ每一個(gè)層次是滿的.

再證ζ每一個(gè)層次是單的.

γn=η(Q,g)(tn).

gn(tn)=0∈Fn.

考慮可縮鏈復(fù)形P,其中P的第n和n-1層次為R，其他層次為0.則存在唯一的鏈映射h:P→Q,其中h(1)=tn.則有范疇中的如下交換圖.

0←Ph→Q0↓0↓g↓FFF

因此可以誘導(dǎo)出鏈復(fù)形的交換圖.

0←Ph→QΓ(0,0)←Γ(P,0)Γ(h)→Γ(Q,g)η(0,0)↓ η(P,0)↓ η(Q,g)↓㊣lim?→ Γ㊣lim?→ Γ㊣lim?→ Γ

于是易得tn∈Kerη(Q,g).故

γn=η(Q,g)(tn)=0.

設(shè)(P,f)和(P′,f′)是中的兩個(gè)對(duì)象,a,b:(P,f)→(P′,f′)是兩個(gè)平行態(tài)射.則a,b:P→P′是兩個(gè)鏈映射,使得f′a=f=f′b.因?yàn)閒′(b-a)=0,所以f′可通過(guò)C=Coker(b-a)分解為其中p是商映射.因?yàn)镃是有限表示Gorenstein投射模的有界復(fù)形,所以存在有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復(fù)形P″,使得分解為

于是有下面交換圖.

Pa,b→P'p→C?→P″f↓f'↓f'↓f″↓FFFF

故對(duì)子(P″,f″)也是的一個(gè)對(duì)象,鏈映射c=φp是ζ中從(P′,f′)到(P″,f″)的態(tài)射.因?yàn)?/p>

c(b-a)=φp(b-a)=φ0=0,

所以cb=ca.

7)?1) 設(shè)F是有限表示Gorenstein投射有界可縮復(fù)形{Pi}i∈I的filtered上極限.因?yàn)镻i是正合的且filtered上極限是正合函子,所以復(fù)形F也是正合的.因此對(duì)任意的整數(shù)n,GProjR中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是可裂短正合列0→ZnPi→Pni→Zn-1Pi→0的filtered上極限.故由引理1易知,對(duì)任意的整數(shù)n,GProjR中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是G-純正合的.

致謝重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目(GG2020010)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.