Fuzzy系統(tǒng)的函數(shù)逼近功能及誤差估計(jì)

李洪興

(1. 北京師范大學(xué)珠海校區(qū) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 珠海 519085;2. 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

1 預(yù)備知識(shí)

熟知,Fuzzy集合是由L.A.Zadeh于1965年首次提出的,隨后,基于Fuzzy集所形成的Fuzzy推理以及使用Fuzzy推理所構(gòu)造的Fuzzy系統(tǒng)的研究工作逐漸展開,Fuzzy系統(tǒng)的應(yīng)用范圍逐漸擴(kuò)展.其中,Fuzzy系統(tǒng)的函數(shù)逼近功能是一個(gè)十分有意義的研究方向.從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,一個(gè)Fuzzy系統(tǒng)實(shí)際上是從輸入論域到輸出論域的一個(gè)映射; 特別,當(dāng)輸入論域和輸出論域都是實(shí)空間時(shí),該Fuzzy系統(tǒng)就是一個(gè)實(shí)函數(shù),它當(dāng)然可以近似逼近某個(gè)實(shí)函數(shù).文獻(xiàn)[1]已經(jīng)顯示了Fuzzy系統(tǒng)函數(shù)逼近的雛形,文獻(xiàn)[2]證明了Fuzzy系統(tǒng)的插值機(jī)理,而文獻(xiàn)[3]揭示了Fuzzy系統(tǒng)的概率論意義.本文將從Fuzzy系統(tǒng)的具體構(gòu)造出發(fā)討論Fuzzy系統(tǒng)的函數(shù)逼近功能,同時(shí)還要研究這種函數(shù)逼近的誤差估計(jì).

值得指出的是,許多文獻(xiàn)也在討論Fuzzy系統(tǒng)的泛逼近性,但是它們都是基于所謂簡略推理法得到的非含參積分形式的推理結(jié)果,這樣的推理結(jié)果是不合理的,也是不準(zhǔn)確的.而本文的推理結(jié)構(gòu)是源于條件數(shù)學(xué)期望得到的推理結(jié)果,是一種最小二乘最優(yōu)的推理結(jié)果.

2 Fuzzy系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

首先,考慮單輸入單輸出的開環(huán)靜態(tài)系統(tǒng),即SISO,如圖1所示.

圖1 SISO靜態(tài)開環(huán)系統(tǒng)

s:X→Y,

xy?s(x),

(1)

對(duì)于一個(gè)不確定性系統(tǒng),常常可以通過實(shí)驗(yàn)或檢測得到一組輸入輸出數(shù)據(jù),記為

IOD?{(xi,yi)∈X×Y|i=0,1,…,n},

成為該系統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)集.根據(jù)IOD可以得到一個(gè)離散的映射

s1:X0→Y0,

xis1(xi)=yi,

i=0,1,…,n,

這里

X0={x0,x1,…,xn},Y0={y0,y1,…,yn}.

s:X→Y,

xy=s(x).

x

(2)

‖s‖?‖s‖∞?max{|s(x)||x∈X}.

a=x0

c=yk0≤yk1≤…≤ykn=d,

σ:{0,1,…,n}→{0,1,…,n},

iσ(i)=ki,

(3)

或者記為

如果沒有如此的置換,如下的輸出數(shù)據(jù)集

Y0={yi|i=0,1,…,n},

一般不滿足如下的全序關(guān)系

c=y1

Bi∈F(Y),i=0,1,…,n

時(shí)是必不可少的條件.

A?{Ai|i=0,1,…,n}.

類似地,采用輸出數(shù)據(jù)集Y0也好獲取另一組Fuzzy集

B?{Bki|i=0,1,…,n}.

kσ-1(i)=i,

從而Bi=Bkσ-1(i),這樣一來,便得到

B={Bi|i=0,1,…,n}.

IfxisAithenyisBi,i=0,1,…,n,

(4)

這里Ai和Bi分別是定義在X和Y上的Fuzzy集,即

Ai∈F(X),Bi∈F(Y),

i=0,1,…,n.

Ri∈F(X×Y), ?(x,y)∈X×Y,

μRi(x,y)?θ(μA(x),μB(y)),

這里

θ:[0,1]×[0,1]→[0,1]

∧:[0,1]×[0,1]→[0,1],

(a,b)∧(a,b)=a∧b.

·:[0,1]×[0,1]→[0,1],

(a,b)·(a,b)=a·b.

Fuzzy推理規(guī)則組(4)被視為如下的一個(gè)映射

s*:A→B,

Ais*(Ai)?Bi,

i=0,1,…,n.

?(x,y)=X×Y,

μ

s**:F(X)→F(Y),

AB=s**(A)?A·R,

μ

接下來,為了獲得如下的函數(shù)

x

s**:F(X)→F(Y),

s1:X→F(Y),

xs1(x)?s**({x}),

(5)

?(x,y)∈X×Y,

μs1(x)(y)=μs**({x})(y)=

μ

(6)

B(ξ=x)?s1(x),

?(x,y)∈X×Y,

μB(ξ=x)(y)=μs1(x)(y)=

(7)

y=(y(ξ))ξ=x=y(x),

文獻(xiàn)[3]已經(jīng)證明了常用的清晰化方法,即重心法是合理的,并且是在最小二乘意義下是最優(yōu)的方法.現(xiàn)在假定

使用重心法便有需要的這個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式

y=(y(ξ))ξ=x=

(8)

這意味著已經(jīng)得到

x

(9)

然后,把(7)式帶入到(9)式中,便有

(10)

注 2.1注意到?(x,y)∈X×Y,有

μB(ξ=x)(y)=μR(x,y),

(11)

IOD={(xi,yi)∈X×Y|i=0,1,…,n},

Δyki=yki+1-yki,i=0,1,…,n-1,

Δy

由于

Δyi=Δykσ-1(i),

(12)

這里已置

μ

i=0,1,…,n.

(13)

μ

i,j∈{0,1,…,n}.

構(gòu)造如下的函數(shù)

f

(14)

顯然

f

特別地,當(dāng)Δyi=h(i=0,1,…,n),即

Y0={yi|i=0,1,…,n}

是等距分割的數(shù)據(jù)集時(shí),其中通用的間隔h>0,并且不難驗(yàn)證滿足條件

那么有

μ

i=0,1,…,n.

(15)

進(jìn)一步,(12)和(14)式可以簡化為

(16)

f

FIOD?

{(Ai,Bi)∈F(X)×F(Y)|i=0,1,…,n}，

如果它滿足條件

μAi(x)∈C(X),μBi(y)∈C(Y),

i=0,1,…,n，

?i∈{0,1,…,n-1},μAi(x)+μAi+1(x)=1;

?j∈{0,1,…,n-1},μBj(x)+μBj+1(x)=1.

Ai(x

Bi(y

注 2.2不難驗(yàn)證,當(dāng)FIOD具有二相性時(shí),前面得到的結(jié)論仍然有效.

3 Fuzzy系統(tǒng)的函數(shù)逼近性質(zhì)

回過頭來,再考察數(shù)據(jù)集

IOD={(xi,yi)∈X×Y|i=0,1,…,n}.

引入記號(hào)

Δxi?xi+1-xi,i=0,1,…,n-1,

顯然

反之不然,即

yi=s(xi),

FIOD=

{(Ai,Bi)∈F(X)×F(Y)|i=0,1,…,n}.

(17)

這里假定滿足條件

yi=s(xi),

(18)

引理 3.1設(shè)f(x,y)是X×Y上的一個(gè)二元連續(xù)函數(shù),其中

X=[a,b],Y=[c,d],

對(duì)于下面的含參積分

c=y0

只要

(19)

證明倘若不然,那么?ε>0,取

δk=1/k,k=1,2,…,

c=y(k)0

同時(shí)存在

ξ(k)i∈[y(k)i,y(k)i+1],i=0,1,…,n-1,

盡管

λ

但是

|I(xi|≥ε.

x

因?yàn)?/p>

δ

所以必有

0<ε≤

這顯然是個(gè)矛盾,故引理為真.

引理 3.2設(shè)f(x,y)∈C(X×Y),這里

X=[a,b],Y=[c,d].

如果?x∈X,I(x)>0,則?δ>0,使得關(guān)于Y的任何一個(gè)分割

c=y0

以及任意選取的ξi∈[yi,yi+1],如下的I(x)的Riemann和式一定滿足下面的蘊(yùn)涵式

(20)

證明首先,不難理解下式

I(x)≥I(x0)

為真.今取

ε=I(x0),

c=y0

以及任意選取的ξi∈[yi,yi+1],如下的I(x)的Riemann和式必滿足結(jié)果:只要

I(x0)-ε=0.

因此引理的結(jié)論為真.

再從引理 3.1和引理3.2,可以獲得如下的引理3.3.

引理 3.3設(shè)f(x,y)、g(x,y)是兩個(gè)定義在論域X×Y上的連續(xù)函數(shù),這里

X=[a,b],Y=[c,d],

c=y0

如果

(21)

證明根據(jù)引理3.2,下面的表達(dá)式對(duì)于較大的n∈N+是有意義的:

根據(jù)極限運(yùn)算規(guī)則,即商的極限等于極限的商,再利用引理3.1,便知引理3.3正確.

定理 3.1關(guān)于數(shù)據(jù)集IOD,假定如下的Fuzzy數(shù)據(jù)集滿足二相性

FIOD=

{(Ai,Bi)∈F(X)×F(Y)|i=0,1,…,n}.

這里滿足條件

證明對(duì)于任意給定的s∈C[a,b],假定數(shù)據(jù)集IOD滿足插值條件:?i∈{0,1,…,n},

yi=s(xi).

n>N1?‖f

‖s-fn‖

fn(x)=μ

由二相性可知

μ

因此得到

|s(x)-fn(x)|=
|s(x)-(μ
|s(x)(μ
(μ
μ
μ
|s(x)-s(xi)|+|s(x)-s(xi+1)|≤

由此便有

|s(x)-fn(x)|≤

即

‖s-f

取

N=max{N1,N2}∈N+,

4 誤差分析與余項(xiàng)估計(jì)

定理 4.1在定理3.1的條件下,對(duì)于任意的函數(shù)s∈C2[a,b],假定滿足條件:?i∈{0,1,…,n-1},

μAi,μAi+1∈C2[xi,xi+1].

yi=s(xi),

則必有下面的結(jié)論:

rn(x)=s(x)-fn(x)=

(22)

其中

x∈[xi,xi+1],ξi∈(xi,xi+1),

i=0,1,…,n-1,

2s′(ξ

s(ξ

qi(x)=μAi(x)Δyi+μAi+1(x)Δyi+1.

‖rn‖∞=‖s(x)-fn(x)‖

(23)

其中

Δ

Ci?min{qi(x)|x∈[xi,xi+1]},

M

M

M

L1i?max

L2i?max

證明1)?x∈[a,b],當(dāng)

x=xi,i=0,1,…,n,

結(jié)論顯然為真;故只考慮

x≠xi,i=0,1,…,n

x∈(xi,xi+1),

f

μ

(24)

其中

pi(x)?μAi(x)s(xi)Δyi+

μAi+1(x)s(xi+1)Δyi+1,

(25)

qi(x)?μAi(x)Δyi+μAi+1(x)Δyi+1.

(26)

f

qi(x)>0.

接下來考慮逼近余項(xiàng)的表達(dá)式

rn(x)=s(x)-f

將它改寫為

rn(x)qi(x)=s(x)qi(x)-fn(x)qi(x)=

s(x)qi(x)-pi(x),

(27)

根據(jù)插值條件可知

rn(xj)=0,j=i,i+1,

或者寫為

s(xj)qi(xj)-pi(xj)=0,

j=i,i+1.

rn(x)qi(x)=k(x)(x-xi)(x-xi+1),

(28)

進(jìn)而寫為

rn(x)qi(x)=k(x)(x-xi)(x-xi+1)=

s(x)qi(x)-pi(x),

事實(shí)上,設(shè)x是個(gè)固定點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)

φi(t)=s(t)qi(t)-pi(t)-

k(x)(t-xi)(t-xi+1),

(29)

φi(xj)=0,j=i,i+1,

xi

為了方便起見,引入符號(hào):

φi(t)=φi1(t)-φi2(t)-φi3(t),

φi1(t)?s(t)qi(t),

φi2(t)?pi(t),

φi3(t)?k(x)(t-xi)(t-xi+1).

于是便有:

rn(x)=s(x)-f

i=0,1,…,n-1.

|(x-xi)(x-xi+1)|≤

Ci=min{qi(x)|x∈[xi,xi+1]}.

最后,根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式便有如下的不等式

r

Δyi=s′(ξi)Δxi,

即

Δyi?c·Δxi,

‖rn‖

推論 4.1在定理4.1中,如果諸Fuzzy集Ai(i=0,1,…,n)具有三角波形隸屬函數(shù),則:

1) fn(x)關(guān)于s(x)逼近的余項(xiàng)表達(dá)式呈現(xiàn)為

rn(x)=s(x)-fn(x)=

i=0,1,…,n-1,

(30)

qi(x)=Ai(x)Δyi+Ai+1(x)Δyi+1,

(ξi(x)-x

2) fn(x)關(guān)于s(x)逼近的誤差估計(jì)表達(dá)式呈現(xiàn)為

‖rn‖

(31)

證明首先,容易了解一個(gè)事實(shí):?i∈{0,1,…,n-1},

又有

r

最后可得

M

5 Fuzzy系統(tǒng)和fn(x)之間的誤差估計(jì)

定理 5.1在定理3.1的條件下,任取連續(xù)函數(shù)s∈C[a,b],記

μBi(y),μBi+1(y)∈C1[yi,yi+1],

yi=s(xi),

則有

(32)

其中

證明對(duì)于任意選取x∈X=[a,b],有下面的表達(dá)式

|f

接下來,分別考慮下面兩個(gè)表達(dá)式的估計(jì):

μAks(x)+μAkt(x)=1,

?i?{s,t},μAki(x)≡0.

由此便有

(μAkt(x)·μBkt(y)))dy-

μAks(x)yksΔyks-μAkt(x)yktΔykt|.

圖2 s=t,0

Bks(y)?μBks(y).

圖3 s=t,s=0

Bk0(y)?μBk0(y).

圖4 s=t,s=n

Bkn(y)?μBkn(y).

類似地有

圖5 0

因?yàn)樗械腂ki都是Fuzzy數(shù),所以在

μAks(x)μBks(y),μAkt(x)μBkt(y)

ηs-1∈(yks-1,y

使得

圖6 0=s

μAks(x)yksΔyks-μAkt(x)yktΔykt|≤

圖7 0

μAks(x)yksΔyks-μAkt(x)yktΔykt|≤

圖8 |s-t|>1,0

圖9 |s-t|>1,0=s

圖10 |s-t|>1,0

μAks(x)yksΔyks-μAkt(x)yktΔykt|≤

μAks(x)yksΔyks-μAkt(x)yktΔykt|≤

綜合上述的3種情形,有

μAks(x)+μAkt(x)=1.

于是有

μAks(x)Δyks-μAkt(x)Δykt|.

綜合上述3種情形,有

最后,根據(jù)1)和2)的結(jié)果,有

于是便有

這就完成了定理的證明.

推論 5.1在定理5.1中,當(dāng)所有的Bi具有三角波形式的隸屬函數(shù)式,則(32)式中的Γ轉(zhuǎn)化為

(33)

這里

根據(jù)定理4.1和定理5.1,可以得出下面的結(jié)論.

定理 5.2在定理4.1和定理5.1的結(jié)論中,如果記則有

‖s-fn‖∞+‖f∞=

‖rn‖

(34)

6 仿真實(shí)例

考慮函數(shù)

s(x)=sinx∈C[-3,3],

不難知道

‖s′‖∞=‖s″‖∞=1.

λ=Δx

再取

μ

i=0,1,…,n,

圖11 和fn(x)逼近s(x)

圖12 和fn(x)逼近s(x)

可以看出:當(dāng)n=6(即使用了7條推理規(guī)則),逼近的精度較低,但是曲線的光滑性不差;當(dāng)n=30(即使用了31條推理規(guī)則),逼近的精度較高并且光滑性也較好.