聚焦不完全歸納 培養學生的推理意識
——以“乘法的交換律和結合律”一課為例

江蘇省常州市新北區三井實驗小學 王紅菊

一、在情境中引出現象，產生推理的意識

數學情境是從事數學活動的環境，產生數學行為的條件。創設數學教學情境既要緊扣教學目標，適合學生的認知水平，靠近他們的最近發展區，又要具有較豐富的數學信息，形式盡可能地生動直觀，易于學生理解。規律課的教學，往往就是通過一個具體情境，引出一種現象，從而開啟規律探究的第一步。借助具體的情境，讓學生有話可說、有理可明、有法可依，逐步打開推理的大門。

【片段一】

師（呈現圓片圖）：圖1中一共有多少個圓片？你能快速列式并說說你是怎么想的嗎？

圖1

生1：每行有5個，一共有3行，所以用5×3就可以求出圓片的個數。

師：有沒有不同的算式？

生2：我是豎著看的，每列有3個，一共有5列，所以是3×5，也是15個。

師：他們說的有什么不一樣？

生3：一個是橫著看，每行有5個，一個是豎著看，每列有3個。

師：3×5和5×3都求出了圓片的個數。那這兩個算式之間可以寫等號嗎？

生（齊）：可以。

師：為什么可以用等號連接？

生：算式雖然不同，但求的都是圓片總個數，可以用等號連接。

師：我們不僅可以通過實際情境去解釋，還可以通過計算來判斷兩個算式是否相等。

【評析】改變教材中的情境，利用圓片圖導入，通過提出問題“一共有多少個圓片”，讓學生從不同角度進行思考。由于圓片的排列可以橫著看，也可以豎著看，因此，學生很容易列出不同的算式，并結合圓片圖理解5×3和3×5表示的意義。學生通過對圓片圖的觀察和計算，發現無論是5×3還是3×5，都可以直接算出圓片的數量，因此，兩個算式可以用等號連接。

這個教學片段，通過計算一共有多少個圓片，讓學生想出不同的算式。從解決同一個問題的兩個不同算式可以用等號連接開始，學生逐步有了“不完全歸納”的推理意識，在情境中發現了“乘法交換律”的現象。

二、在變式中發現規律，掌握推理的模型

數學中探索規律的過程，實際上是合情推理與演繹推理綜合運用的過程。過去教學中比較強調演繹推理，弱化了合情推理，影響了學生創造力的培養。規律的探究，不能簡單地從一個現象出發，而是要通過一個現象，逐步發現一類現象，通過變式的形式，讓學生在“同”與“不同”中，逐步掌握推理的模型。

【片段二】

師（出示圖2）：再次聚焦大屏幕，我們的圓片要發生變化了。你們能快速說出算式并計算圓片個數嗎？

圖2

生1：4×6。

生2：6×4。

師：這兩個式子之間可以寫等號嗎？為什么？

生：可以。它們得數相同，而且都是求圓片的個數。

師：所以，我們也可以直接寫成4×6=6×4。

【評析】在3行5列的圓片基礎上，增加一行和一列，繼續圍繞問題“一共有多少個圓片”，讓學生快速說出對應的不同算式4×6和6×4，并引導學生用等號進行連接。通過圓片的變化，繼續求圓片的總數，在“變”與“不變”中，得出等式4×6=6×4。

本教學片段，在學生初步感知5×3=3×5之后，讓學生寫出另一組等式4×6=6×4，初步發現等式的特點，體會乘法交換律。學生初步學會類比推理，通過3行5列的探究過程，類比到4行6列的探究，逐步完成了“不完全歸納”的第一步：發現規律，使學生的推理意識逐步打開。讓學生在給定的事物中發現、探求隱含的規律或變化趨勢，突出探究規律的過程，體驗探究和發現規律的方法，可以培養學生觀察、分析、綜合、歸納和推理等思維能力，增強學生的探究意識和學習數學的興趣。

三、在舉例中內化規律，形成推理的方法

學生在初步發現規律后，及時進行舉例驗證，在大量的例子下內化感知的規律。學生在舉例過程中，逐步掌握推理的方法，形成推理的路徑。舉例驗證是歸納過程中十分重要的一種非形式化的數學證明，它不僅豐富了學生的感知，也提高了歸納結論的可信度。

【片段三】

師：仔細觀察這幾個等式，你能照樣子再寫幾個這樣的等式，并和同桌說說你的發現嗎？

0×1=1×0，11×23=23×11，123×77=77×123

師：你們能跟大家分享快速寫出例子的秘訣嗎？

生：只要把兩個乘數交換位置再寫上等號就行了。

師：那這樣的等式是否成立？是不是還需要通過算一算來驗證一下呢？

生1：兩邊的算式表示的意思是一樣的，不用驗證。

生2：選幾個簡單的算一下，兩邊得數都是相同的。

師：也就是說，大家找了很多例子，都是成立的對嗎？而且覺得例子也非常廣泛，不僅考慮了一位數乘一位數，還考慮到了兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數等。尤其是能考慮到特別的數0、1，使大家的例子更加全面。

【評析】根據兩個圓片圖得出兩組等式，讓學生進行觀察比較，并進行仿寫和驗證。在舉例過程中，教師引導學生注意舉例的廣泛性及特殊性，提出“怎樣快速寫出類似的例子？”這一問題，引發學生去感受規律并進行驗證。同時，教師特意呈現一些特例，擴充舉例驗證，引導學生知道舉例要更加全面。

在本教學片段中，讓學生仿照兩個等式，寫出類似的等式，并通過交流“怎樣很快地寫出這些等式？”這一問題，內化乘法交換律。學生在舉例的過程中，已經對“乘法交換律”有了一定的認識，在嘗試應用規律進行舉例的過程中，培養了推理意識。

四、在驗證中得出結論，提煉推理的結論

不完全歸納推理，就是借助大量的例子來進行證明，從而發現某些規律，這些規律不一定正確，因此，需要借助模型進行舉例。為了說明這個規律的可靠性，除了不斷舉例，還需要進行反例的尋找，用來總結規律。

【片段四】

師：例子舉得完嗎？大家舉了這么多例子都成立嗎？有反例嗎？在這么多例子中，你發現了什么呢？

生1：交換兩個乘數的位置，積不變。

生2：這就是乘法交換律：兩個數相乘，交換位置后積不變。

師：你能用字母來表示發現的規律嗎？

生（齊）：a×b=b×a。

師：看來大家都能從之前學的加法交換律中遷移探究出乘法交換律。

【評析】對于一個結論是否準確，除了大量舉例，還需要進行反例的尋找，如果尋找不到反例，我們就可以提煉出一個結論。于是，根據例子中的乘數特點，發現“交換兩個乘數的位置，積不變”，這就是乘法交換律。

在本教學片段中，通過尋找特例和反例的過程，讓學生逐步用文字總結出“乘法交換律”，并能用字母表示。整個過程中，學生的推理意識逐步形成。

從教學出發，基于學生的發展特性，逐步培養學生的推理意識。在本節課中，對于不完全歸納推理的展開模式，教師讓學生首先通過解決一個實際問題，觀察到一個數學現象；接著嘗試舉例，尋找大量不同類型的例子，并尋找反例；最后，從大量的例子中進行抽象概念，并用符號表示出發現的規律。整節課，學生能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論。對于通過不完全歸納獲得的結論，教師有必要引導學生基于已有的知識經驗、現有的思維水平對結論進行解釋說明，努力探尋結論的合理性，幫助學生習得科學的探究方法，培養其數學推理意識，促進數學理解，維護數學的嚴謹性，使學生的基礎更為堅實。