小學數學核心素養導向的學業測評

人民教育出版社課程教材研究所 王永春

21世紀初，數學課程改革以來，課程理念更加先進，課程目標越來越導向核心素養，課堂教學更具主體性，但是考試評價卻沒有與時俱進。“然而，學業成就評價改革進展緩慢，特別是考試方式和試題編制方面變化甚微。就數學學科而言，我國仍在沿用舊有的評價方式，紙筆測試的標準化考試依舊盛行，數學試題的編制沒有實質性的改變，仍過于關注顯性知識和基本能力，卻忽視了新課改所倡導的許多新的理念、思想和方法。”

一、核心素養導向的評價體系內涵

教育部于2022年4月頒布了《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學新課標”），意味著新一輪義務教育課程改革正式啟動。課程改革是一個系統工程，接下來要進入教材研究編寫、教研培訓、課堂教學實施、考試評價等一系列環節的改革，來逐步貫徹落實新課標的基本理念和目標。

數學新課標與《義務教育數學課程標準（2011年版）》[以下簡稱“數學課標（2011年版）”]相比，在評價方面有一些變化，主要體現如下：

對學業質量進行了界定，確立了學業質量標準的核心地位和作用，把學業質量標準作為評價和考試命題的依據。數學新課標指出，“學業質量是學生在完成課程階段性學習后的學業成就表現，反映核心素養要求。學業質量標準是以核心素養為主要維度，結合課程內容，對學生學業成就具體表現特征的整體刻畫。數學課程學業質量標準是學業水平考試命題及評價的依據，同時對學生的學習活動、教師的教學活動、教材的編寫等具有重要的指導作用。”

由上述學業質量的闡述可知，數學新課標把數學核心素養作為學業質量的核心，也就是說，小學數學學業質量標準的核心不是“四基”和“四能”，而是形成與發展“四基”和“四能”的過程中達成的11個核心素養；同時，強調“情感態度”的重要性，認為情感態度是體現數學學科育人價值的重要指標，它與“四基”“四能”相互支撐，共同導向數學核心素養，為學生的終身學習與發展奠定基礎。具體概括為以下評估學生核心素養達成及發展情況的三個方面：

（1）以結構化數學知識主題為載體，在形成與發展“四基”的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等。

（2）從學生熟悉的生活與社會情境，以及符合學生認知發展規律的數學與科技情境中，在經歷“用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維與數學的語言分析和解決問題”的過程中所形成的模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識等。

（3）學生經歷數學的學習運用、實踐探索活動并進行經驗積累，逐步產生對數學的好奇心、求知欲，以及對數學學習的興趣和自信心，初步養成獨立思考、探究質疑、合作交流等學習習慣，初步形成自我反思的意識。

數學新課標強化對考試命題的要求，強調“以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查‘四基’‘四能’與核心素養。適當提高應用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設置要注重真實情境的創設，提出有意義的問題，實現對核心素養導向的義務教育數學課程學業質量的全面考查。遵循課標要求，嚴格依標命題。全面理解和體現課程標準要求，依據課程標準所規定的課程目標、內容要求、學業要求和學業質量命題，各領域考查內容所占比例與其在課程標準中所占比例大體一致，難易程度大體平衡，保證命題的科學性”。

二、核心素養導向的學業測評原則

根據新的考試命題理念和要求，在大數據、互聯網、云計算、人工智能的時代，應減少對傳統的純計算內容的考查，尤其是復雜數據計算的題目，因為我們人類計算能力再強，也算不過機器人；可把計算內容融入其他題目的考查中。我們應該從數學思維、數學思想方法、數學核心素養等方面進行評價，增加對規律、關系、結構、變式問題、聯系實際的真問題、開放性問題等的考查。那么，這也應成為“什么題是好題？什么題不是好題？”的判斷標準。基于此，在考試試題編制方面，筆者提出以下幾點原則建議：

（一）堅持考查數學本質

學生的數學認知結構由概念、命題、結構、數學思想方法、元認知、非智力因素構成，概念雖然重要，但不是本質的內容。數學的重點是關系、規律、結構、思想方法及問題解決等。因此，命題應盡可能少地直接考查概念及相關判斷。例如，學生學習方程的重點在于面對實際問題，能夠分析并建立等量關系、用方程解決。如果讓學生判斷x=0， x=1， a+b=b+a是不是方程，這些考查就沒有必要。究其原因： 一是因為這些問題不是方程內容的核心，二是教師對其經常爭論不休。再如，最小的一位數是0還是1？嚴格來說，位數不是純數學概念，也不是數感的本質，這個題目不易作為考試題讓學生回答。我們再次強調，自然數與小數的基礎及核心是十進位值制記數法，小學數學的數與運算的本質是對計數單位的表達（分解與組合），教師可以考查這方面的問題。

（二）考查題目具有嚴謹性

小學數學題目看起來簡單，但是也有一個嚴謹性的問題，如果不加以注意，就會影響學生數學思維和思想方法的水平。

例如，有一道教師經常爭論不休的題： 1.25×6的積是幾位小數？

實際上這是一個要求不清楚的題，應分類討論。因為1.25×6=7.50=7.5，如果將積末尾的0舍去，就是一位小數，如果積末尾的0不舍去，就是兩位小數。由于題目的要求不明確，導致答案有爭論，其實學生的內心是十分清楚的，只不過題目要求不清楚，就使學生判斷起來左右為難。

再如，計算圖形的面積時，不說明圖形的形狀，而采取默認的方式。如有一塊草坪，底是8米，高是5米，它的面積是多少？

題目中沒有說明草坪是什么形狀的，學生看到底和高，就默認為是平行四邊形，于是計算出面積是 8×5=40（平方米）。這是不符合數學邏輯的，數學的運算與推理是在具備前提條件和規則的基礎上進行的。

（三）加強對數學基本思想的考查

數學的思想方法有很多，但是最基本的是數學抽象、邏輯推理、數學模型，其中最重要的是邏輯推理，這是數學本質里最核心的部分。如前文所述，數學運算的算理與算法的本質都是邏輯推理，圖形的性質、判斷、計算、位置關系、圖形的運動等都要用到邏輯推理。因此，應多考查數學思想，少考查可以模仿的計算；即使考查計算，也應多考查計算中的算理部分。在數學的世界里，最重要的不是我們已經知道了什么，而是我們怎么知道的。

三角形面積公式的探索是一個難點，原因是它無法像平行四邊形那樣轉化成長方形或者平行四邊形來計算，而是用兩個全等的三角形拼成平行四邊形來推導面積公式，這個方法學生不容易想出來。那么，除了這個方法，如何啟發學生比較自然地利用已有的知識和方法探究三角形的面積公式呢？教師可像下題這樣考查轉化、推理、建模等基本思想方法：

我們都知道，三角形的面積公式是通過用兩個全等的三角形拼成平行四邊形來推導的，如果不用這個方法和思路，請你在方格紙上畫圖，把三角形轉化成長方形或者平行四邊形，然后推導三角形的面積公式。

數學新課標加強了對演繹推理思想方法的要求，通過直觀和計算感悟等式的基本性質及等量相等這一基本事實，進行簡單的推理。下面關于長方體的一些性質可以考查學生的推理能力。

如下圖所示的長方體，每個面都是長方形。

（1） 根據長方形的性質，EF=HG， EF=AB，所以HG=AB。這是一個推理證明的過程，根據相等關系的傳遞性的思路，請證明長方體12條棱分為3組，每組有4條相對的棱彼此相等。

（2） 平行關系也有傳遞性，請證明HG∥AB。請證明長方體12條棱分為3組，每組有4條相對的棱彼此互相平行。

（四）加強對數學核心素養的考查

有很多研究表明，我國學生在解決聯系實際的真問題、開放問題方面，在國際上排名并不理想。為此，人教版數學教科書在這方面進行了比較大的改進，但是仍然有很大的改進空間。讓學生理解數學抽象、推理思想、模型思想、分析法和綜合法有利于提高學生解決問題的能力，從而可以讓學生理性地面對著名的“船長年齡”問題（是張奠宙教授早年從國外引進的題目：“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請問船長幾歲？”據說當時我國參與測試的學生有90%以上用給定的兩個數據計算出年齡）。

跨學科綜合應用也是數學新課標的新要求，舉例如下：

著名詩句“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還，兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”，是李白在流放途中突然得知被赦免而即興創作的一首七言絕句。白帝城位于重慶市奉節縣，江陵即現在的荊州市，兩地的水路大約340千米，千里江陵是一種夸張的說法，形容路途遙遠。如果李白早晨6：00出發，當天晚上12：00到達，保證“一日還”是真的，那么船的順水平均速度至少是多少？（得數保留整數）

分析：根據給定的信息，從早晨6：00到當天晚上12：00的時間是18個小時，要想當天到達江陵，就要求出船的最小速度，即340÷18≈19（千米/時）。

三、小學數學核心素養質量監測樣題

當前，全國各地各級部門均在進行不同年級的數學質量監測，測試題目在不斷地向著數學核心素養的目標改進。筆者在此補充一些考查數學核心素養的題目，有些題目的難度略高，可能超過數學新課標的要求，作為對全體學生的要求未必合適，但是體現了數學核心素養方面的考查，可以作為額外加分題供教師參考使用。

（一）選擇題

1.觀察算式，根據規律判斷999999×8的積是（ ）。

3.一個長方形足球場，長110米、寬70米，學生進行團體操表演，如果每個學生占地3平方米，那么這個足球場大約同時容納（ ）進行團體操表演比較合適。

A．5000人 B．3500人 C．2500人 D．1000人

4.下面是某班學生的身高統計表：

性別身高區間/cm 120及以下121～125 126～130 131及以下男 5人 6人 5人 4人女 4人 5人 7人 4人

全班同學排隊做課間操，一共站成8排，每排5人。他們按照第1排身高最矮、第8排身高最高的從矮到高的順序站隊。身高126cm的一共有3人，那么身高126cm的小麗應站在（ ）。

A．第5排 B．第4排 C．第6排 D．第7排

5.從一個鈍角的頂點出發，在這個鈍角的內部畫一條射線，把這個鈍角分成∠1和∠2兩個角，下面說法正確的是 （ ） 。

A．∠1和∠2一定都是銳角

B．∠1和∠2一定都是鈍角

C．∠1和∠2中可能有一個是鈍角

D．∠1和∠2中不可能有直角

6.如圖，用一副三角尺的兩條邊拼出了∠1，它的度數是（ ） 。

A．45° B．120° C．135° D．150°

7.鐘面上的時間為4時整，時針和分針的夾角是（ ）。

A．90° B．120° C．130° D．150°

8.下面方格紙的每個小方格都是邊長為1cm的正方形， 等腰梯形ABCD的頂點都是相交點，邊AB=5cm，那么等腰梯形ABCD的周長是（ ）。

A. 18cm B. 19cm C. 20cm D. 無法確定

9.用長628cm的鐵絲圍成一個封閉圖形，面積最大的是（ ）。

A．三角形 B. 長方形 C. 正方形 D. 圓

10. 已知a,b,c三個數均不為0，且3—7a=5—8b=9—4c，則下列選項中說法正確的是（ ）。

A. a最大 B. b最大 C. c最大 D. 無法確定

11. 把一個長方形ABCD沿著EF翻折，點B翻折到點D，如圖，已知∠DEF=57°，那么∠AED=（ ）。

A.31° B.30° C.29° D.28°

12.一個等腰三角形的兩條邊分別長5cm和7cm，那么該三角形的周長是（ ）。

A.一定是17cm B.一定是19cm

C.17cm或者19cm D.12cm

13.一個等腰三角形的底角等于70°，那么頂角等于（ ）。

A. 70° B. 55° C. 60° D. 40°

14.一個三角形的最小內角是50°，下面關于三角形的敘述正確的是（ ）。

A.一定是鈍角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是銳角三角形 D.無法確定

15.一個三角形OAB繞點O旋轉90°的三角形是A′OB′，已知∠AOB=50°，那么∠BOA′=（ ）。

A. 50° B. 30° C. 40° D. 60°

16.已知平面上有三點A（3，3），B（6，1），C（6，5），A、B、C三點連線組成的圖形是（ ）。

A.等邊三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.鈍角三角形

A. 1和2 B. 2和3 C. 3和5 D.3和6

18. 兩輛汽車從同一地點出發，A車先出發，B車后出發，同時到達一個服務區休息，然后繼續前行到達終點。下面敘述正確的是（ ）。

A.從出發到服務區A車比B車速度快

B.B車比A車休息的時間長

C.從服務區到終點B車比A車速度快

D.以上說法都不對

19.把一個三角形按照1：2放大，那么放大后的三角形與原來三角形的周長之比為（ ）。

A.1：1 B.1：2 C.2：1 D.4：1

20.下面不是正方體展開圖的是（ ）。

（二）解答題

1.用三根小棒圍三角形，已知有兩根小棒的長分別是6cm、8cm，如果要求第三根小棒的長度是整厘米數，那么第三根小棒最短是多少？最長是多少？一共有多少種可能？

2.一個長方形的面積是110cm2，寬和長是相鄰的兩個自然數，這個長方形的周長是多少？

3.一根16m高的旗桿在太陽下的影長為6m，在同一個時刻和地點，身高1.6m的小明直立站在凳子上，凳子加人的影長為0.75m。凳子高多少？

4.一次數學考試成績公布后，小明、小麗、小紅三人的平均分是96，小麗和小紅兩人的平均分是97，那么小明的成績是多少？

5.我們把圓心角是180°的圓弧與直徑組成的圖形叫半圓，已知一個半圓的周長是51.4（圓周率取3.14），該圓的半徑是多少？

6.一瓶藥的說明書如下：內裝50片，每片0.5g，每天吃3次，每次吃1g，10天為一個療程。這瓶藥夠吃一個療程嗎？

7.一個單位組織280人春游，需要租車，汽車公司有兩種型號的大客車。

A型：每輛限乘50人，租金1000元；

B型：每輛限乘40人，租金900元。

請設計一個最省錢的租車方案。

8.小麗一家三口假期開車從自己家去爺爺家，路程是500km，用了40L汽油。回來時沒有原路返回，計劃去一個風景區，爺爺家到風景區的路程是300km，這樣從爺爺家回到家的總路程增加到800km，如果按照去爺爺家時的耗油量，從爺爺家返回時加滿一箱油60L，夠不夠回到家？

9.用小棒拼連接在一起的正方形（如下圖），如果拼一組正方形用了181根小棒，那么一共拼了多少個正方形？

11.一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6cm和8cm，分別以一條直角邊為旋轉軸旋轉一周，得到兩個圓錐，比較一下，這兩個圓錐哪個體積大？

12.一件上衣的標價是300元，標價的30%是成本，其余是利潤。現在節假日促銷，為保證不少于60元的利潤，折扣最高可以定幾折？

13.在方格紙中，頂點都在格點上的圖形叫格點圖形。請在下面的方格紙中畫一個以線段AB為對角線的面積最小的格點平行四邊形。