淺談無理數的幾種證明方法

◎何 銘

(廣東省廣州市廣東實驗中學附屬天河學校,廣東 廣州 510650)

一、用數論方法判別無理數

(一)用奇偶分析法證明：及(k為奇數)為無理數

以2為模,整數可以分成兩類：被2除余1的數及被2整除的數,即奇數與偶數利用奇數與偶數的分類及其特殊性質,可以簡便地求解、求證一些與整數有關的問題,通常我們把這種通過分析整數的奇偶性來解決所遇到問題的方法稱作奇偶分析法

且和互質,即、最大公約數為1

可化成2=

這個式子左端2是偶數,所以式子右端也會是偶數又因為有：奇數×奇數=奇數,偶數×偶數=偶數,所以會是一個偶數不妨設=2,代入2=中得到2=4,兩邊同時約去2之后得到=2這里可以推出也會是一個偶數、均為偶數與、最大公約數為1矛盾,故假設不成立,原命題得證

這里和互質,即、最大公約數為1

可化成(2+1)=

移項變形后可得：2=-,2=(+)(-),

可得知上式左端2為偶數,所以右端(+)(-)必為偶數則+或-為偶數說明、同為偶數或者同為奇數

若、同為偶數,則與，最大公約數為1矛盾

若、同為奇數,則為奇數,因為亦為奇數,所以2的素因數中有且僅有一個2,也就是說式子左端有且僅有一個2素因數再看式子的右端,因為、同為奇數,所以+、-同為偶數,也就是說(+)(-)的素因數中至少有兩個2,也就是說式子右端至少有兩個2素因數根據算術基本定理(素因數唯一分解定理) 可知：式子左端所含素因數與式子右端所含素因數要完全相同,與結論矛盾

綜上所述,原假設不成立,命題得證

(二)用素因數分析法證明為(n∈N,且n不為平方數)為無理數

這里和互質,即、最大公約數為1

可化成=

將、、素因數分解可得：

=…,

=…,

=…,

因為不為平方數,、為平方數,所以有、、…、不全為偶數、、、…、以及、、…、全為偶數

若將素因數分解可得：

=…·…=…,

根據同底數冪相乘的法則：·=+,因為、、…、不全為偶數而且、、…、全為偶數所以、、…、不全為偶數所以≠,

與假設矛盾,原命題得證

(三)用最小數原理證明

則2->0、->0,

且-<,

故假設不成立,原命題得證

二、用麥克勞林級數判別無理數

利用麥克勞林級數,我們可以將一些數值代入可以展開成冪級數的函數中,得到一些無理數的無窮級數形式把無理數表示成無窮級數的形式,為判別無理數開拓了新的道路

(一)證明且n≠0)為無理數

先證為正整數即>0的情況

令()=e,可得()=e的麥克勞林級數：

則有

式子右同時乘!,得

式子左右同時乘,得

其中

根據等比級數求和公式

現在可知

為整數,為小數

(-1)!=+,

上式左端為整數,右端不為整數，故矛盾

再證<0的情況令=-,∈且>0

特別的,當=1時我們證明了自然常數e為無理數

(二)證明且n≠0)為無理數

先證為正整數即>0的情況

令()=sin,可得()=sin的麥克勞林級數：

令為大于的一個某個奇數,上式左右兩邊同時乘!·得：

有

即有：||<1

其中

……

每一個中括號的結果符號相同,且絕對值大于0,所以||>0

綜上所述：0<||<1

·(-1)·…·(+1)·(-1)·(-2)·…·2·1·=+,

為整數,為小數,上式左端為整數,右端不為整數矛盾

三、用多項式相關定理判別無理數

(一)利用艾森斯坦(Eisenstein)判別法證明

整系數多項式在有理數域上是否可約是與整系數多項式方程在有理數域上是否存在有理根這個命題是等價的所以我們可以通過把一些數看成某個整系數多項式方程的根,然后判斷該整系數多項式在有理數域上是否可約從而判定這個數是有理數還是無理數艾森斯坦(Eisenstein)判別法就是其中的方法之一

應用艾森斯坦判別法證明無理數,關鍵是通過對多項式各項系數的仔細考察,設法找到合乎艾森斯坦判別法條件的素數通過尋找滿足以上三個條件的素數,我們就可以找到方法判定無理數

先證明為整數的情況

在這個整系數多項式中,最高次項系數為=1,常數項為=-…,其余各項系數均為0

取素數=(1≤≤)滿足：

(1)最高次項=1不能被=整除；

(2)其余各項的系數都能被=整除；

(3)常數項=-…不能被=整除

(二)利用整系數多項式有理根定理證明

從上文可以看出,艾森斯坦(Eisenstein)判別法是有一定局限的,而整系數多項式有理根定理條件就相比開放一些我們也可以利用這個定理來對無理數進行判定

在這個整系數在這個整系數多項式中,最高次項系數為=1,常數項為=-

兩邊平方后,得：+12+36=18+24+8,

移項得：-6+12-8=0

有理數-無理數=有理數,矛盾故原命題得證

3證明sin 10°為無理數

9sin 10°為無理數

將=10°代入隸莫弗公式(cos+sin)=cos+sin得(cos 10°+sin 10°)=cos 30°+sin 30°

化簡得：(cos 10°+sin 10°)(cos10°-sin10°+2cos 10°sin 10°)=cos 30°+sin 30°,(4cos10°-3cos 10°)+(-4sin10°+3sin 10°)=cos 30°+sin 30°,

得到：4cos10°-3cos 10°=cos 30°,-4sin10°+3sin 10°=sin 30°

可化得：7-6-1=0

令()=7-6-1

所以有一些無理數看上去并非代數數,但只要細心挖掘一下就可以得到其實為一個整系數多項式方程的根,也是可以用整系數多項式有理根定理來判別的