高海情艦載導彈發射安全區域仿真*

遲鑫鵬，鄭旺輝

（北京機械設備研究所，北京 100854）

0 引言

新一代艦載垂直發射系統由定制向通用化轉變，這樣不僅可以大量減輕多種首次出現的武器上艦給艦艇空間設計帶來的困難，而且提高了艦艇綜合作戰能力及對不同作戰任務的適應性［1］。在提高火力密度及艦艇隱身性等方面具有明顯優勢，是艦載武器系統發展的必然趨勢［2］。然而要真正實現多武器共架發射，除了要進一步強調發射系統模塊化［3］、標準化的設計理念與方法以外，在發射控制方面還需要解決一個關鍵問題：安全區域的界定問題。安全區域的界定是共架武器發射控制的重要環節。它是在通用發控單元同時收到多個導彈發射命令時，對即將發射的導彈在運動軌跡上是否會出現相互干擾進行判定的一種方法。

本文建立的艦載導彈發射安全區域模型可以降低計算量，擴大安全區域。因此達到更加良好的火力效果。

1 高海情艦載導彈運動模型

1.1 坐標系與坐標系轉換

1.1.1 地面坐標系Axyz

地面坐標系Axyz是與地球表面固連的坐標系［4］。其坐標系自身的原點A選取為在首發導彈的發射時刻艦船的質心。Ax軸正向指向正北。Ay軸則沿垂線方向向上。Az軸指向正東。它為固定的坐標系，如圖1 所示。

圖1 地面坐標系Fig.1 Ground coordinate system

1.1.2 彈體坐標系O1x1y1z1

彈道坐標系其原點O1為導彈的質心；O1x1軸與彈體的縱軸相互重合；O1y1軸在彈體縱軸的對稱面內并且垂直于O1x1軸，指向向上為正；O1z1軸則垂直其他兩軸，成為右手系。彈體坐標系始終和彈體進行固連，為動態坐標系，如圖2 所示。

圖2 彈體坐標系Fig.2 Projectile coordinate system

1.1.3 艦船坐標系O2x2y2z2

艦船坐標系原點O2通常取在艦船的質心上；O2x2軸與艦船的中軸重合；O2y2軸位于艦船縱軸對稱面內垂直于O2x2軸，指向向上為正；O2z2軸則與其他兩軸相互垂直，成為右手系。艦船坐標系始終與艦船進行固連，它是動態坐標系，如圖3 所示。

圖3 艦船坐標系Fig.3 Ship coordinate system

1.1.4 地面坐標系與彈體坐標系之間的關系及其轉換

彈體相對地面坐標系下的姿態，通常用3 個姿態角來確定，分別定義如下（為了推導二者轉化的理論關系，可以將導彈的瞬時質心平移到地面坐標系的原點，這不會改變2 個坐標系下的空間姿態與對應的關系）。

俯仰角e：導彈自身的縱軸(O1x1)和水平面（Axz平面）二者間夾角。若導彈自身縱軸所指方向為水平面向上的方向，則e為正；相反則為負。

偏航角b：導彈自身縱軸于水平面之內的投影和地面Ax軸二者所形成的角。垂直于水平面觀察，如果由Ax軸轉到導彈投影的Ax'軸為逆時針方向旋轉，b角則為正；相反則為負。

滾轉角a：彈體坐標系的O1y1軸與包含導彈縱軸的鉛錘面之間的夾角。從彈體的尾部向縱軸前而視，若O1y1軸在鉛錘面Ax′y′的右側，則b角為正；相反為負。

以上定義的3 個角參數，又稱彈體的姿態角。為推導地面坐標系與彈體坐標系之間的關系及其轉換矩陣，按上述旋轉辦法分為以下步驟。首先將彈體坐標系的原點平移至地面坐標系的原點，且各對應坐標軸需要相互重合。以地面坐標系為基準，然后按照上述3 個角參數的定義繞相應軸，依次轉過偏航角b、俯仰角e、滾轉角a，就得到彈體的坐標系O1x1y1z1的姿態。具體步驟如下：

第1 次是以地面坐標系Ay軸為軸旋轉b角。Ax軸、Az軸各自旋轉至Ax′，Az′軸，進而形成過渡的坐標 系Ax′yz′?；鶞实淖鴺讼礎xyz與經第1次旋轉后產生的單過渡的坐標系Ax′yz′之間關系通過矩陣表示為

第2 次是繞過渡的坐標系Az′軸旋轉俯仰角e，Ax′，Ay軸分別轉到Ax1，Ay′軸上，形成新過渡的坐標系Ax1y′z′。坐標系Axy′z′與Ax1y′z′之間關系通過矩陣的方式表示為

第3 次是繞Ax1軸旋轉滾轉角a，Ay′，Az′軸分別轉到Ay1，Az1軸上，最終獲得彈體坐標系O1（A）x1y1z1的姿態。坐標系Ax1y′z′與Ax1y1z1之間的關系以矩陣形式表示為

1.1.5 大地坐標系與艦船坐標系之間的關系及其轉換

艦船相對地面坐標系的姿態，通常會用3 個角來進行確定，分別定義如下：

俯仰角e′：艦船的中軸（O2x2）和水平面（Axyz平面）間的夾角。艦船的中軸沿水平面向上，e′為正；反之為負。

偏航角b′：艦船中軸于水平面之內的投影和地面Ax軸二者之間夾角。迎b′角平面觀察，若從Ax軸轉為Ax″軸為逆時針方向旋轉，則b′角為正；相反則為負。

滾轉角a′：艦船坐標系O2y2軸與導彈自身縱軸所在鉛錘面二者之間夾角。從船體尾部中軸進行前視。若O2y2軸在鉛錘面Ax″y″的右側，a′角則為正；相反則為負。

以上定義的3 個角參數，又稱艦船的姿態角。為推導地面坐標系與艦船坐標系之間的關系及其轉換矩陣，將按上述連續旋轉的辦法進行。首先把艦船坐標系與地面坐標系的原點及對應坐標軸分別重合。在地面坐標系為基準的前提下，按照上面所述的3 個角定義分別繞對應軸進行3 次相應旋轉。依次轉過偏航角b′、俯仰角e′、滾轉角a′，就得到艦船坐標系O2x2y2z2的姿態。而且，每旋轉一次，就相應獲得一個初等的轉換矩陣，地面坐標系與艦船坐標系間的轉換矩陣則為上述初等轉換矩陣乘積。

1.2 導彈運動模型

假設：艦載垂直發射導彈的初始運動分為4 個階段，即彈射出筒后無推力運動階段、加速階段、程序轉彎階段、制導飛行階段，導彈初始彈道示意圖如圖4 所示。在無推力階段只受重力作用，加速階段導彈靠發動機軸向推力產生正加速度，此階段自身的俯仰角、橫滾角、偏航角均保持不變。在程序轉彎階段，導彈通過氣動力平衡重力作用同時控制導彈姿態發生變化。在制導飛行階段，安全區域的界定取決于2 發導彈軌跡的空間位置。在制導飛行階段導彈已處于高空運動，2 發導彈之間已相隔甚遠，為了減少模型的計算量，提高模型的計算速度，所以對此階段模型進行簡化處理，假設此階段導彈為勻速運動。

圖4 導彈初始飛行彈道示意圖Fig.4 Schematic diagram of initial flight trajectory of missile

1.2.1 首發彈道運動模型

對于首發彈道，運動分為4 個階段，即無推力彈射階段、加速階段、程序轉彎階段、制導飛行階段。

對于首發彈射飛行彈道，出筒時刻，船舶的質心則為坐標原點，艦船的俯仰角為e1、偏航角為b1、滾轉角為a1；在艦船坐標系下，彈體的質心位置為（x3，y3，z3）。則大地坐標系內，其位置(x4，y4，z4)為

對于無推力彈射階段來說：

在無推力彈射階段，在艦船坐標系下的導彈出筒時刻的速度v1為（0，v12，0），在大地坐標系下船的速度vc1為（v111，v112，v113），則在大地坐標系下導彈的速度v2為

無推力彈射階段：無推力彈射階段為0～t1時間段：

在無推力彈射階段導彈的速度為

式中：g為重力加速度。

其質心運動坐標為

加速階段初始時刻為t1。在t1時刻，在大地坐標系下導彈的速度v3為（v21，v22-gt1，v23）。

在t1～t2時間段，在彈體坐標系下，導彈自身的加速度a1為(a11，0，0)，則在大地坐標系下導彈的加速度a2為

式中：e=e0；b=b0。e0為導彈加速階段的俯仰角，b0為導彈加速階段的偏航角。

則加速階段在大地坐標系下導彈的加速度a2為

式中：e0為導彈加速階段的俯仰角；b0為導彈加速階段的偏航角；a0為導彈加速階段的滾轉角。

程序轉彎階段初始時刻為t2，程序轉彎階段為t2～t3時間段：

在彈體坐標系下導彈速度為v5，則在大地坐標系下其速度v6為

即

式中：a2(t)為導彈程序轉彎階段的滾轉角；b2(t)為導彈程序轉彎階段的偏航角；e2(t)為導彈程序轉彎階段的俯仰角。

式中：e0為導彈轉彎起點俯仰角；ee0為轉彎終點導彈俯仰角即控制目標。

式中：b0為偏航角初值；be0為轉彎終點偏航角（即控制目標）。

式中：a0為滾轉角初值；ae0為轉彎終點滾轉角（即控制目標）。

在程序轉彎階段速度如位置為

制導飛行階段為t3～t4，俯仰角、偏航角均不變，其質心坐標方程為

1.2.2 第2 發彈道運動模型

第2 發彈道：第1 發發射之后，t5時刻發射第2發導彈。使用艦船姿態預測模型預測由0 時刻至t5時刻艦船的俯仰角為e3(t)，偏航角為b3(t)，滾轉角為a3(t)。則在大地坐標系下艦船的速度為

式中：vcx(t)為大地坐標系下艦船x軸方向的運動速度；vcy(t)為大地坐標系下艦船y軸方向的運動速度；vcz(t)為大地坐標系下艦船z軸方向的運動速度。

其位置變化為

t5時刻，船舶的質心則為（x6，y6，z6）。艦船的俯仰角為e3，偏航角為b3，滾轉角為a3。

在船體坐標系下，彈體質心的位置表示為(x7，y7，z7)。則在大地坐標系下質心的位置(x8，y8，z8)為

在無推力飛行階段，在艦船坐標系下的導彈出筒時刻的速度vv1為（0，vv12，0），在大地坐標系下船的速度vc1為（vv111，vv112，vv113），則在大地坐標系下導彈的速度vv2為

無推力彈射階段：無推力彈射階段為t5～t6時間段：

g為重力加速度。

無推力階段t5～t6時間段，導彈的速度為

其質心坐標為

則在t6時刻，在大地坐標系下導彈的速度vv3為（vv21，vv22-g(t6-t5)，vv23）。

加速階段：加速階段為t6-t7時刻。在彈體坐標系下。導彈自身的加速度為aa1，則在大地坐標系下導彈的加速度aa2為

式中：a4為導彈加速階段的橫滾角；e4為導彈加速階段的俯仰角；b4為導彈加速階段的偏航角。則加速階段在大地坐標系下導彈的加速度aa2為

在加速階段導彈的速度為

其位置為

則在t7時刻，在大地坐標系下導彈的速度vv4為

在彈體坐標系下，導彈的t7時刻的速度vv5為

程序轉彎階段：程序轉彎階段為t7～t8時刻：

在彈體坐標系下導彈速度為vv5，則在大地坐標系下其速度vv6(t)為

式中：a5(t)為導彈程序轉彎階段的滾轉角；b5(t)為導彈程序轉彎階段的偏航角；e5(t)為導彈程序轉彎階段的俯仰角。

式中：e4為導彈轉彎起點俯仰角；ee1為轉彎終點導彈俯仰角（即控制目標）。

式中：b4為偏航角初值；be1為轉彎終點偏航角（即控制目標）。

式中：a4為滾轉角初值；ae1為轉彎終點滾轉角（即控制目標）。

在程序轉彎階段速度為

其位置為

制導飛行階段為t8～t9，俯仰角、偏航角均為不變的固定值，其運動速度方程為

1.3 艦船姿態預測模型

為了計算第2 發導彈的運動軌跡需要計算艦船的姿態，本文采用DBN（deep belief network）深度信念神經網絡模型和PID（proportion integration differentiation）比例積分微分神經網絡模型為基礎，建立DBN-PID 神經網絡模型進行艦船姿態預測。將DBN 神經網絡的輸出作為PID 神經網絡的輸入，進而建立DBN-PID 神經網絡模型。DBN 原理詳見文獻［5］。PID 神經網絡模型原理詳見文獻［6］。

2 導彈碰撞模型

通過計算機對導彈彈體碰撞模擬與檢測，從數學角度來說，是判斷不同幾何體相對位置的關系。嚴謹的一種想法是，在空間內構建不同物體表面自身的數學理論模型，形成聯立方程組。通過聯立的不同方程組的解集進而判斷不同物體碰撞的結果。從理論上來說，這種方式是合理的。但是在實際情況中，很多碰撞檢測的物體表面方程是極其復雜的，對于這些聯立方程組進行結算也是十分困難的［7］。在實際情況中，碰撞模型的檢測需要符合實時性，所以檢測計算在滿足要求精度的前提下，所需時間越短越好。采用相對精確的模型來代替實際模型進而縮短檢測時間是包圍盒理論的基本思想。應用較為廣泛的包圍盒有3 種：球狀包圍盒Sphere［8］、軸向包圍盒AABB［9］、方向包圍盒OBB［10］。

球狀包圍盒Sphere 為包圍盒中最簡單的一種。它需要一個可以包含目標對象的球體，并且球體半徑要最小。用這個球體代替目標物體本身的形狀進行碰撞測試［8］。圖5為物體的球狀包圍盒示意圖。

圖5 球狀包圍盒示意圖Fig.5 Schematic diagram of spherical bounding box

要建立對應的物體的球包圍盒，需要計算出檢測物體的每個頂點的x，y，z3 個軸向的各自坐標的平均值。包圍球自身的球心c的坐標則為所求得的坐標均值。球狀包圍盒的球半徑r則是球心和3 個最大物體的頂點坐標之間的距離。通過所確定的球心坐標與半徑大小規劃球狀包圍盒。相比于其他種類的包圍盒，球包圍盒構造簡單。存儲一個包圍球的球心與半徑，僅要2 個浮點數。2 個球狀包圍盒是否碰撞，通過球心的位置和球半徑即可判別。假定有2 個不同的包圍球(c1，r1)和(c2，r2)，如果2 個球心間距離比二者半徑相加之和小，即

式中：c1，c2為兩球圓心的位置；r1，r2為兩球半徑。

滿足式（51）即可判定2 個包圍球是否相交［11］。為了計算方便，可以對不等式的兩邊進行平方運算，然后判斷

如果式（52）成立，則判定相交；如果不成立，則判定分離。進行不同包圍球之間的測試，僅需要4次加減計算、4 次乘法計算與1 次比較計算［12］。

在三維空間體系中，若構造一個長方體的盒子對物體進行包圍，并且對這個盒子進行數學建模，便形成了一種新的包圍盒模型。這種模型便為軸向包圍盒AABB［13］。軸向包圍盒是一種包含檢測的物體，并且相應各邊相互平行于坐標軸3 個方向最小的六面體。要通過六面體投影至各個坐標軸分量的最大、最小的投影值進而建立這種結構，因此存儲一個軸向包圍盒需要6 個標量。對于含有m個頂點的一個物體，此過程中要進行6m次計算［13］。圖6 為包圍某物體的軸向包圍盒示意圖。

圖6 軸向包圍盒示意圖Fig.6 Schematic diagram of axial bounding box

軸向包圍盒是一種計算量稍大的包圍盒。需要對2 個軸向的包圍盒3 個方向坐標軸內投影的每個區間進行判定是否均為相交。如果情況滿足，則判定2 個軸向的包圍盒為相交；否則判定2 個所測物體不會相交。整個計算過程包含6 次坐標值最大和最小的比較計算［13］。相對球狀包圍盒，計算變得更加復雜。對于其他包圍盒來說，軸向的包圍盒緊密性依舊較差，根本的原因在于包圍盒方向屬于固定的。對于與坐標軸呈現一定角度的物體，因為軸向的包圍盒方向固定，會產生很多冗余計算，導致包圍盒精度下降，無法讓包圍盒緊密貼合物體，增大計算量［14］。在此基礎上便提出了一種新的包圍盒理念，這種類型的包圍盒可以隨著對象姿態變換進行更新。通過對原來包圍盒自身8 個頂點進行各自的旋轉，得到新坐標。再依據這些新的坐標更新解算對應的包圍盒，便實現了包圍盒持續的更新。這種包圍盒進行一個新的子節點更新的過程也需要6 次比較計算［10］。在此理論基礎上，將物體本身方向變化因素引入其中，便提出方向包圍盒OBB［7］。效果如圖7 所示。

圖7 方向包圍盒示意圖Fig.7 Schematic diagram of direction bounding box

存儲一個方向包圍盒需要存儲15 個浮點數。其存儲數據內存較大［11］。

本文在考慮到上述包圍盒的優缺點之后，針對目前導彈的運動軌跡情況和發射管理機的運行速度選擇計算簡單、運行速度快、占用內存較少，且準確度較高的球包圍盒。

3 高海情艦載導彈發射安全區域仿真計算

采用DBN-PID 神經網絡模型預測艦艇姿態參數。在此基礎上以上述運動學方程球包圍盒為基礎，建立高海情艦載導彈發射安全區域模型。假設A導彈（首發導彈）運動學方程所建立的運動軌跡點為A（n），B導彈（第2 發導彈）運動學方程所建立的運動軌跡點為B（n）。先計算A（n）與B（n）運動軌跡，將A（n）每一個數據點分別與B（n）數據點進行球包圍盒檢測，若發現所有檢測結果均處于安全距離以內，則判定為二者處于安全區域以內，二者不會發生碰撞。

3.1 高海情艦船姿態仿真結果

通過DBN-PID 對艦船在六級海況的姿態展開預測。其結果如表1 所示。

表1 艦船姿態預測結果Table 1 Ship attitude prediction results

3.2 高海情艦載導彈運動軌跡仿真結果

首發彈道：經設定在艦船坐標系下首發導彈發射瞬時的質心的位置（在艦艇坐標系）為（-50，-10，10），首發導彈的相對出筒速度為15 m/s，0～1.4 s進行無推力彈射，1.4～3 s 進行加速，3 s 時刻加速到260 m/s，3～4.5 s 進行程序轉彎，程序轉彎結束達到俯仰角0°、偏航角5°、橫滾角0°。

第2 發彈道：第2 發導彈在首發彈發射3 s 以后進行發射，即3 s 時刻進行發射。第2 發導彈出筒瞬時的質心的位置（在艦艇坐標系）為（50，-10，10），彈的相對出筒速度15 m/s，3～4.4 s 進行無推力飛行，4.4～6 s 進行加速，6 s 時刻加速到260 m/s，6～7.5 s 進行程序轉彎，程序轉彎結束達到俯仰角0°、偏航角75°、橫滾角0°。

首發導彈和第2 發導彈靜態位置關系如圖8 所示，艦艇速度為15 m/s。

圖8 首發導彈和第2 發導彈靜態位置Fig.8 Static position of the first missile and the second missile

通過Matlab 軟件對首發導彈的運動軌跡進行計算仿真，仿真結果如圖9 所示。

圖9 首發導彈運動軌跡Fig.9 Trajectory of the first missile

通過Matlab 軟件對第2 發導彈運動的軌跡進行計算仿真，結果如圖10 所示。

圖10 第2 發導彈的運動軌跡Fig.10 Trajectory of the second missile

3.3 導彈碰撞檢測結果

采用Matlab 軟件進行球包圍盒碰撞檢測，結果如圖11 所示。

圖11 球包圍盒碰撞檢測結果Fig.11 Collision detection results of ball bounding box

通過碰撞檢測結果圖像可以看出，2 發導彈之間建立的球包圍盒在第2 發導彈發射6.5 s 后達到最小半徑，半徑為17.2 m。Matlab 仿真結果表明，安全區域最小為17.2 m。

采用Matlab 軟件進行艦艇姿態預測和2 發導彈安全間隔計算所需時間，用工控機計算所需時間為0.6 s，滿足實時性要求。

為了驗證上述計算結果，采用Adams 軟件對首發導彈和第2 發導彈進行運動仿真和球包圍盒碰撞檢測。建立的導彈運動Adams 模型見圖12。

圖12 導彈運動Adams 模型Fig.12 Adams model of missile motion

通過Adams 軟件對首發導彈和第2 發導彈進行球包圍盒碰撞檢測，將Adams 中的計算數據導出，在Matlab 中作圖。二者的運動軌跡如圖13 所示。

圖13 首發導彈和第2 發導彈碰撞檢測結果Fig.13 Collision detection results of the first missile and the second missile

經過計算所建立的球包圍盒的最小半徑為17.2 m，則安全區域最小為17.2 m。通過Matlab 與Adams 動力學仿真，可以看出二者的計算結果一致，即模型合理準確。

3.4 仿真結論

針對上述仿真結果作以下說明：

（1）本文所述仿真結果是基于假設的導彈運動軌跡，不同導彈、不同射向的運動軌跡是不同的，但是可以通過導彈發射時的諸元參數計算出來。

（2）第2 發導彈發射時刻t5是人為設定的，可通過經驗值設定初值，再進行仿真計算不同導彈發射時的安全距離，確定其合理性。

（3）一般艦載導彈發射系統彈倉內有幾十發導彈，為提高火力密度，可通過本文方法進行各種發射工況模擬發射，確定不同導彈發射的間隔時間。

（4）本文所述模型可裝在發射管理機中，選定發射的導彈后根據其諸元立即進行安全區域計算，為發射許可提供一項依據。

4 結束語

本文提出了高海情艦載導彈發射安全區域仿真模型，依據建立的彈道模型進行了驗證。仿真結果表明：本文高海情艦載導彈發射安全區域仿真模型可以應用于行進間艦載導彈發射安全區域的判定；模型計算實時性滿足工程實際要求。