乘波體飛行器非脆弱預(yù)設(shè)性能控制*

卜祥偉，姜寶續(xù)

（空軍工程大學(xué)，a.防空反導(dǎo)學(xué)院；b.研究生院，陜西 西安 710051）

0 引言

乘波體飛行器（waverider vehicle，WV）具有高升力、低阻力和高升阻比的突出特點(diǎn)，非常有助于實(shí)現(xiàn)其高速飛行。WV 一直以來都是世界各航空航天大國爭奪空天權(quán)的優(yōu)先發(fā)展方向。控制系統(tǒng)被認(rèn)為是WV 的“神經(jīng)中樞”，對于保障其安全飛行和順利完成任務(wù)使命至關(guān)重要。WV 特殊的動(dòng)力學(xué)特性給其控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來了多重挑戰(zhàn)，WV 的飛行控制問題也一直都是控制領(lǐng)域的一個(gè)前沿?zé)狳c(diǎn)問題［1-2］。

近年來，國內(nèi)外科技人員對WV 的飛行控制進(jìn)行了系統(tǒng)研究，在模型建立、特性分析與控制仿真等方面取得了豐碩成果［3-5］。文獻(xiàn)［5-7］考慮系統(tǒng)受擾、執(zhí)行器故障、存在約束等情形下WV 的強(qiáng)魯棒控制問題，雖能保證控制系統(tǒng)滿意的穩(wěn)態(tài)精度，但對誤差收斂過程的瞬態(tài)性能無法進(jìn)行定量或定性設(shè)計(jì)。鑒于WV 大機(jī)動(dòng)飛行對其飛行控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有著極高的要求，在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，還必須確保其具有出色的動(dòng)態(tài)性能［8］。預(yù)設(shè)性 能 控制［9］（prescribed performance control，PPC）已被證明是一種可以有效保證控制系統(tǒng)滿意動(dòng)態(tài)性能的新方法，近年來在WV 的飛行控制中也有較多創(chuàng)新性研究。針對傳統(tǒng)PPC 依賴精確誤差初值的技術(shù)缺陷，文獻(xiàn)［10］通過設(shè)計(jì)一種新型性能函數(shù)，為WV 提出了一種新穎的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PPC 方法。仿真結(jié)果雖然證明了該算法的有效性，但是過大的性能函數(shù)初值有可能導(dǎo)致跟蹤誤差的超調(diào)量失控。為此，文獻(xiàn)［11］提出了一種可以保證跟蹤誤差小超調(diào)（甚至零超調(diào)）收斂的PPC 新方法，并將其應(yīng)用于WV 的飛行控制，保證了速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差零超調(diào)收斂。進(jìn)一步，文獻(xiàn)［12］針對傳統(tǒng)PPC［9-11］收斂時(shí)間不明確的缺點(diǎn)，構(gòu)造了一種有限時(shí)間收斂的新型性能函數(shù)，可以保證跟蹤誤差在任意設(shè)定的時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)，進(jìn)一步提高了PPC 方法的工程實(shí)用性。

盡管現(xiàn)有WV 的PPC 研究也取得了一定的進(jìn)展，但同時(shí)應(yīng)當(dāng)看到，現(xiàn)有研究還存在明顯不足。上述PPC［9-12］方法為了保證控制魯棒性，通常采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者模糊系統(tǒng)對WV 的未知模型進(jìn)行在線逼近，并基于Lyapunov 理論為權(quán)值向量設(shè)計(jì)使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的在線學(xué)習(xí)律，這必然導(dǎo)致過大的在線學(xué)習(xí)量［13］，難以保證WV 機(jī)動(dòng)飛行對其控制實(shí)時(shí)性的苛刻要求。此外，WV 在臨近空間飛行時(shí)遭受的外部突變擾動(dòng)必然會(huì)引起跟蹤誤差的短時(shí)間波動(dòng)，如果誤差波動(dòng)幅度過大，就會(huì)造成誤差接近甚至越過PPC 的約束包絡(luò)，將直接導(dǎo)致控制奇異，此亦即所謂的現(xiàn)有PPC 的脆弱性缺陷［14］。

基于以上分析，本文為WV 提出一種無需任何在線學(xué)習(xí)參數(shù)的非脆弱PPC 新方法。通過設(shè)計(jì)一種新型性能函數(shù)，使得PPC 的約束包絡(luò)能夠自主“感知”誤差波動(dòng)情況，并有針對性地調(diào)整約束包絡(luò)的形狀，從而避免傳統(tǒng)PPC 可能存在的控制奇異問題，并克服現(xiàn)有PPC 的脆弱性缺陷。基于Lyapunov理論證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及預(yù)設(shè)性能的可達(dá)性。最后，通過數(shù)值對比仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 WV 運(yùn)動(dòng)模型

美國學(xué)者Bolender［3］等將WV 機(jī)體橫向?qū)挾葐挝换⒘丝v向運(yùn)動(dòng)的一體化解析式二維模型，為飛行控制設(shè)計(jì)提供了模型基礎(chǔ)。Parker［4］等進(jìn)一步將該模型進(jìn)行合理簡化，建立了如下被廣泛采用的參數(shù)擬合模型：

注釋1：WV 的幾何外形與受力情況如圖1 所示。WV 的縱向運(yùn)動(dòng)模型包含5 個(gè)剛體狀態(tài)、2 個(gè)彈性狀態(tài)和2 個(gè)控制輸入。參數(shù)與變量詳細(xì)定義見表1。由于彈性狀態(tài)η1與η2完全不可測，借鑒相關(guān)文獻(xiàn)［6，8，15］的通常做法，將利用控制系統(tǒng)的魯棒性對彈性振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)抑制。

表1 參數(shù)定義Table 1 Definitions of parameters

圖1 WV 幾何外形與受力示意圖Fig.1 Geometry and force map of WVs

控制目標(biāo)是：為Φ，δe設(shè)計(jì)合適的控制律，使得v→vr，h→hr，γ→γr，θ→θr，Q→Qr，并且所有跟蹤誤差均滿足期望的非脆弱預(yù)設(shè)性能。這里，vr∈?＞0，hr∈?＞0為給定的參考指令，γr∈?，θr∈?，Qr∈? 為待設(shè)計(jì)的虛擬控制律。

假設(shè)1［15］：vr∈?＞0，hr∈?＞0及其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)∈?＞0，∈?＞0均有界。

2 非脆弱PPC 設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)PPC 在遭遇強(qiáng)干擾時(shí)，極易誘發(fā)控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。為此，將為WV 的速度子系統(tǒng)（即式（1））與高度子系統(tǒng)（即式（2）～（5））設(shè)計(jì)一種新型非脆弱PPC 策略。

2.1 速度控制律設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)目標(biāo)是為Φ選取合適的控制律，使得跟蹤誤差=v-vr滿足如下非脆弱預(yù)設(shè)性能

考慮到不等式（8）不便于控制器設(shè)計(jì)，對其進(jìn)行如下等價(jià)變換

式中：Tv(φv)=exp(φv)/(1+exp(φv))為轉(zhuǎn)換函數(shù)；φv∈? 為轉(zhuǎn)換誤差。由于Tv(φv) ∈(0，1)，則易知式（12）與式（8）等價(jià)。

對式（12）求逆，得到

將速度控制律Φ設(shè)計(jì)為

式中：ιv∈?＞0。

下面，對速度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

對式（13）求導(dǎo)并代入式（1），（12），可得

式中：κv∈(0，1)。

將式（16）代入式（15），可得

2.2 高度控制律設(shè)計(jì)

注釋3：與?v(t)具有類似功能，?i(t)，i=h，γ，θ，Q能夠根據(jù)誤差波動(dòng)情況自主調(diào)整約束包絡(luò)（20），以確保跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)內(nèi)，并克服傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺陷。

鑒于不等式（20）不便于控制器設(shè)計(jì)，對其進(jìn)行如下等價(jià)變換

式中：Ti(φi)=exp(φi)/(1+exp(φi))為轉(zhuǎn)換函數(shù)，φi∈?為轉(zhuǎn)換誤差，i=h，γ，θ，Q。由 于Ti(φi) ∈(0，1)，i=h，γ，θ，Q，則易知式（20）與式（27）等價(jià)。

對式（27）求逆，得到

將虛擬控制律γr，θr，Qr以及高度控制律δe分別設(shè)計(jì)為

下面，對高度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

對式（28）求導(dǎo)并代入式（3）～（5），（27），可得

對式（36）求導(dǎo)并代入式（28）與式（35），可得

注釋3：傳統(tǒng)反演控制方法［15］需要精確獲知虛擬控制律的一階導(dǎo)數(shù)，存在所謂的“微分項(xiàng)膨脹”問題。本文所設(shè)計(jì)的控制律（14），（29）不僅構(gòu)型簡單，而且不需要虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)，避免了傳統(tǒng)反演的“微分項(xiàng)膨脹”難題。

注釋4：傳統(tǒng)PPC 方法［9-13］在遭受強(qiáng)突變干擾時(shí)極易造成控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。本文所設(shè)計(jì)的新型約束包絡(luò)（8），（20）飽和修正項(xiàng)?i(t)，i=v，h，γ，θ，Q，能夠自主“感知”誤差波動(dòng)并自動(dòng)調(diào)整約束包絡(luò)，從而彌補(bǔ)了現(xiàn)有PPC 方法［9-13］的脆弱性缺陷。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制律（14），（29）的有效性以及相對于現(xiàn)有方法［9］的優(yōu)越性，以式（1）～（7）作為被控對象，采用Matlab/Simulink 軟件進(jìn)行數(shù)值對比仿真。仿真采用四階龍格-庫塔法進(jìn)行解算，仿真步長為0.01 s。控制增益參數(shù)取為：ιv=0.3，ιh=0.04，ιγ=0.05，ιθ=0.1，ιQ=0.5。速度跟蹤 誤差約束包絡(luò)的設(shè)計(jì)參數(shù)取為：μv0=5，μvf=0.9，av=2，bv，2=15，bv，1=0.5，Tf，v=3。高度跟蹤誤差約束包絡(luò)的設(shè)計(jì)參數(shù)取為：μh0=1.5，μhf=0.5，ah=2，bh，2=5，bh，1=2，Tf，h=3。航跡角跟蹤誤差約束包絡(luò)的設(shè)計(jì)參數(shù)取為：μγ0=0.1，μγf=0.02，aγ=2，bγ，2=5，bγ，1=5π/180，Tf，γ=3。俯仰角跟蹤誤差約束包絡(luò)的設(shè)計(jì)參數(shù)取為：μθ0=0.1，μθf=0.01，aθ=2，bθ，2=4，bθ，1=π/180，Tθ，h=3。航跡角速率跟蹤誤差約束包絡(luò)的設(shè)計(jì)參數(shù)取為：μQ0=0.2，μQf=0.03，aQ=2，bQ，2=5，bQ，1=π/180，TQ，h=3。

仿真過程中，考慮系統(tǒng)同時(shí)存在參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)。假定系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間攝動(dòng)±35%（變化規(guī)律為sin(0.1πt)）。并考慮如下外部擾動(dòng)：

仿真1：采用本文所提出的非脆弱PPC 方法進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖2～10 所示。

由圖2，4 可見，當(dāng)系統(tǒng)存在參數(shù)攝動(dòng)與外部擾動(dòng)時(shí)，本文所提方法仍能實(shí)現(xiàn)速度與高度對各自參考指令的穩(wěn)定跟蹤。由圖3，5～8 可見，所有跟蹤誤差均被限定在預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)內(nèi)，從而滿足期望的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。尤其是圖3 表明，當(dāng)速度跟蹤誤差因?yàn)橥獠繑_動(dòng)而增加并逐漸靠近約束包絡(luò)時(shí)，本文所提方法的約束包絡(luò)能夠自動(dòng)“感知”誤差的這種變換趨勢，并自主調(diào)整約束包絡(luò)（增大上包絡(luò)，減小下包絡(luò)），從而避免了傳統(tǒng)PPC 可能存在的控制奇異問題。圖9，10 表明，速度控制輸入與高度控制輸入能夠動(dòng)態(tài)地響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)，保證了控制魯棒性。

圖2 所提方法的速度跟蹤效果Fig.2 Velocity tracking performance of the proposed method

圖3 所提方法的速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking error of the proposed method

圖4 所提方法的高度跟蹤效果Fig.4 Altitude tracking performance of the proposed method

圖5 所提方法的高度跟蹤誤差Fig.5 Altitude tracking error of the proposed method

圖6 所提方法的航跡角跟蹤誤差Fig.6 Flight-path angle tracking error of the proposed method

圖7 所提方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.7 Pitch angle tracking error of the proposed method

圖8 所提方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.8 Pitch rate tracking error of the proposed method

圖9 所提方法的速度控制輸入Fig.9 Velocity control input of the proposed method

仿真2：在與仿真1 同等條件下，采用文獻(xiàn)［9］的傳統(tǒng)PPC 方法。仿真結(jié)果如圖11～15 所示。

圖12～15 表明，當(dāng)采用文獻(xiàn)［9］的傳統(tǒng)PPC 方法時(shí)，雖然也能將高度跟蹤誤差、航跡角跟蹤誤差、俯仰角跟蹤誤差以及俯仰角速率跟蹤誤差限定在約束包絡(luò)內(nèi)，但是由圖11 可見，當(dāng)外部擾動(dòng)導(dǎo)致速度跟蹤誤差增加時(shí)，文獻(xiàn)［9］的傳統(tǒng)PPC 方法不具備約束包絡(luò)的再調(diào)整能力，導(dǎo)致速度跟蹤誤差越過了約束包絡(luò)，將直接造成控制奇異。綜上所述，數(shù)值仿真結(jié)果充分驗(yàn)證了所提方法的有效性以及相對于現(xiàn)有方法的優(yōu)勢。

圖10 所提方法的高度控制輸入Fig.10 Altitude control input of the proposed method

圖11 文獻(xiàn)［9］方法的速度跟蹤誤差Fig.11 Velocity tracking error of the method in［9］

圖12 文獻(xiàn)［9］方法的高度跟蹤誤差Fig.12 Altitude tracking error of the method in［9］

圖13 文獻(xiàn)［9］方法的航跡角跟蹤誤差Fig.13 Flight-path angle tracking error of the method in［9］

圖14 文獻(xiàn)［9］方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.14 Pitch angle tracking error of the method in［9］

圖15 文獻(xiàn)［9］方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.15 Pitch rate tracking error of the method in［9］

4 結(jié)束語

本文針對WV 受擾條件下的跟蹤控制問題，提出了非脆弱PPC 新方法。為了克服傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺陷，設(shè)計(jì)了1 種新型性能函數(shù)。所構(gòu)造的約束包絡(luò)能夠根據(jù)由誤差引起的誤差波動(dòng)情況，自適應(yīng)地調(diào)整包絡(luò)形狀，從而避免了控制奇異問題。穩(wěn)定性分析表明，當(dāng)存在外部擾動(dòng)時(shí)，仍能保證所有跟蹤誤差期望的預(yù)設(shè)性能。不同于傳統(tǒng)基于神經(jīng)/模糊逼近的PPC 方法，本文所提方法無需任何在線學(xué)習(xí)參數(shù)，且能避免傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺點(diǎn)。對比仿真結(jié)果證明了所提方法相對于現(xiàn)有方法的優(yōu)越性。