平中蘊(yùn)奇 探究本質(zhì)
——一道2022年高考試題的溯源與延伸

李 寒

(貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué) 550081)

1 試題呈現(xiàn)

解析由題設(shè)知A(-a,0)，設(shè)P(x1,y1)，則Q(-x1,y1).

故選A.

若將點(diǎn)A換為右頂點(diǎn)，有相同的答案.

2 試題溯源

該試題源于教材，是由人教普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(A版)數(shù)學(xué)選修2-1兩道題目改編而成的.

圖1

圖2

解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，依題意，得

整理，得

顯然點(diǎn)M的軌跡是除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線.

教材是高考命題的生長(zhǎng)點(diǎn)，立足教材，堅(jiān)持對(duì)教材的回歸，將教材例題、習(xí)題重新組合、改編和加工為高考試題，是高考命題的一個(gè)重要趨勢(shì).因此，在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中要注意回歸教材，通過(guò)對(duì)教材例、習(xí)題的探索變式、拓展推廣，對(duì)解題思路進(jìn)行內(nèi)化、深化的訓(xùn)練，達(dá)到把握其實(shí)質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步驟的目的，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思維得到升華，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

3 延伸探究

證明按上面試題的解法進(jìn)行，這里從略.

將命題1類比、延伸到雙曲線，可有：

證明以A為左頂點(diǎn)為例來(lái)證明.

不妨設(shè)A(-a,0)，P(x1,y1)，則Q(-x1,y1).

將上述問(wèn)題改為已知斜率關(guān)系的情況下，求動(dòng)點(diǎn)P的軌方程，可有：

證明設(shè)P(x，y)，則Q(-x，y).

所以a2y2=-b2x2+a2b2.

所以b2x2+a2y2=a2b2.

故點(diǎn)P的軌跡是除去與x軸交點(diǎn)的橢圓.

證明設(shè)P(x，y)，則Q(-x，y).

所以a2y2=b2x2-a2b2.

所以b2x2-a2y2=a2b2.

故點(diǎn)P的軌跡是除去與x軸交點(diǎn)的雙曲線.

命題3和命題4其實(shí)給出了橢圓和雙曲線的又一種形式的定義：

更一般地，有：

平面內(nèi)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q到定點(diǎn)A(-a，0)(或(a，0))的斜率乘積等于常數(shù)m(m≠0,m≠-1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓或雙曲線.當(dāng)常數(shù)m>0時(shí)，且m≠1時(shí)，軌跡是除去與x軸交點(diǎn)的橢圓；當(dāng)常數(shù)m<0時(shí)，軌跡是除去與x軸交點(diǎn)的雙曲線.其中定點(diǎn)A是橢圓或雙曲線的左頂點(diǎn).

對(duì)高考試題的多角度探究，就是指對(duì)問(wèn)題從不同視角來(lái)審視，以不同的切入點(diǎn)探究問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是對(duì)試題的“二次開(kāi)發(fā)”.通過(guò)對(duì)試題的剖析和思考，展開(kāi)問(wèn)題的來(lái)龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，站在一定的高度去思考問(wèn)題，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通，使思維得到升華，進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).