數學建模視角下對2022年高考卷剖析

潘冬麗

(廣東省肇慶市第一中學 526020)

數學建模作為核心素養的一項關鍵部分，在處理分析實際問題時往往可以做到事半功倍.如果能把問題進行模型化，數據就可以可視化，圖形就可以立體化.本文以2022年高考題為例剖析數學建模本質，進而有效培養學生的建模思維.

1 建立模型構造

高中數學建模構建的核心就是幾何與代數有機融合.突破數學代數結構特征與幾何知識相關，能夠從數學問題挖掘、構建幾何模型去解決.

圖1

A.1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

解析依題意可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V．

棱臺上底面積S=140.0km2=140×106m2，下底面積S′=180.0km2=180×106m2，

≈(96+18×2.65)×107

=1.437×109

≈1.4×109(m3)．

例2(2022年全國高考甲卷理科第7題)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則( ).

A.AB=2AD

B.AB與平面AB1C1D所成的角為30°

C.AC=CB1

D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°

圖2

故選D．

例3 (2022年新高考Ⅰ卷第14題)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程____．

圖3

當切線為m時，設直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0，

當切線為n時，易知切線方程為x=-1，

2 突破建模情景

常規問題很難解決時，我們通過構建數學模型，調整思維角度，敢于構想新的問題意境，往往柳暗花明又一村.

例4 (2022年新高考Ⅱ卷第12題)若x，y滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可變形為

解得-2≤x+y≤2.

當且僅當x=y=-1時，x+y=-2，當且僅當x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確；

由x2+y2-xy=1可變形為

解得x2+y2≤2.

當且僅當x=y=±1時取等號，所以C正確；

因為x2+y2-xy=1變形可得

但是x2+y2≥1不成立，所以D錯誤．

故選BC．

A.a

C.c

當x∈(-1,0)時，f′(x)>0，

當x∈(0,+∞)時，f′(x)<0，

所以函數f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增.

故a

設g(x)=xex+ln(1-x)(0

令h(x)=ex(x2-1)+1，

h′(x)=ex(x2+2x-1)，

又h(0)=0，

所以g(0.1)>g(0)=0.

即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c

故選C.

例6(2022年全國高考甲卷理科第16題)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1

解析由題知f′(x)=2lna·ax-2ex.

因為x1,x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點，所以函數f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減，在(x1,x2)上單調遞增.所以當x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時，f′(x)<0，當x∈(x1,x2)時，f′(x)>0.

若a>1時，當x<0時，2lna·ax>0,2ex<0，則此時f′(x)>0，與前面矛盾.

故a>1不符合題意.

若0

因為0

又因為lna<0,所以y=lna·ax的圖象由指數函數y=ax向下關于x軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖4所示.

圖4

設過原點且與函數y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(x0,lna·ax0)，則切線的斜率為g′(x0)=ln2a·ax0.

故切線方程為y-lna·ax0=ln2a·ax0(x-x0).

則有-lna·ax0=-x0ln2a·ax0.

例4、例5、例6分別通過構建一種數學函數模型的形式，把復雜問題簡單化，重點考查學生的數學建模能力.

3 回歸數學模型還原

數學模式講究數學問題的屬性遷移，在數學模型維度解決，回歸到認知的問題.

圖5 圖6

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

解析取OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.

故k3=0.9，故選D.

例8(2022年北京高考卷第9題)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合．設集合T={(Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區域的面積為( ).

圖7

因為PQ=5，故OQ=1.

故S的軌跡為以O為圓心，1為半徑的圓.

而△ABC內切圓的圓心為O，半徑為

故S的軌跡圓在△ABC內部，故其面積為π.

故選B.

A. [-5,3] B. [-3,5]

C. [-6,4] D. [-4,6]

解析依題意如圖8建立平面直角坐標系，則C(0,0)，A(3,0)，B(0,4).

圖8

因為PC=1，所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動.

設P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，

=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ

=1-3cosθ-4sinθ

因為-1≤sin(θ+φ)≤1，

所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6.

例7、例8、例9分別通過把數學復雜問題回歸數學模型，體現出高考命題注重應用性，增強試題靈活性，減少死記硬背和機械刷題，突出數學建模優勢.

從以上2022年高考題得到數學建模本質，需要廣泛知識面、高度開放性和靈活性，核心在于利用所學知識分析問題和解決數學問題的能力，進一步培養學生的數學建模能力.