素養立意下一道視角極值題的溯源、破解與思考

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學 271400)

1 題目呈現

題目(2022年1月廣東省華附、省實、廣雅、深中高三四校聯考第7題)在足球比賽中，球員在對方球門前的不同位置起腳對球門的威脅是不同的,出球點對球門的張角越大， 射門的命中率就越高.如圖1為室內5人制足球場示意圖，設球場(矩形)長BC大約為40米，寬AB大約為20米，球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點M處射門(假設球貼地直線運行)，為使∠PMQ最大，則BM大約是( ).(精確到1米)

圖1

A.8米 B.9米 C.10米 D.11米

本題通過設置鮮活的生活情境，考查一類最大張角問題，重點考查直觀想象、數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養，內蘊豐富，具有較高的挖掘價值.

2 命制背景

2.1 問題探源

通過對典型習題的深度挖掘，有利于我們發現問題的內涵和本質，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，概括歸納深藏其中的思維主線，以此為中心推而廣之，可以收到以一敵百的良好成效.本題源于歷史上經典的米勒問題.1471年，德國數學家、天文學家米勒(Johannes,miller)向諾德爾(Chri-stian,roder)教授提出了如下有趣的問題:在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長(即可視角最大)？上述最大視角問題因米勒首先提出，故稱之為米勒問題.米勒問題廣泛分布于各種實際問題，例如探求欣賞一幅畫的最佳角度、足球比賽最佳射門點等，成為世界數學史上100個著名極值問題的第一個極值問題.歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間.作為實際問題，我們首先抽象出數學模型.如圖2所示，相對于懸桿而言，地球的體積是相當大的，我們可視地球表面為平面，為了簡化模型，同時忽略觀察者身高的影響，即觀察者的身高視為0，且懸桿在地面上的投影也為0，因為懸桿垂直于地面，所以到點O距離相同的點所得可視角相同.

圖2 圖3 圖4

2.2 模型概括

將上述問題一般化：如圖3，設M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點，試在邊OB上找一點P，使∠MPN最大.

對于上述問題，我們有如下定理：

米勒定理設M,N是角∠AOB的一邊OA上的兩點，點P是射線OB上異于點O的一動點，則當且僅當△MNP的外接圓與射線OB相切于點P時，∠MPN最大.

證明如圖4，在射線上任取異于點P的一點P′，連接MP′,NP′,NP′與圓相交于點C.易知∠MCN>∠NP′M.又因為∠MCN=∠MPN,所以∠MPN>∠MP′N,得證.

2.3 教材鏈接

普通高中課程標準試驗教科書《數學必修5》(人民教育出版社2007年1月第3版，A版)第101頁習題3.4B組第2題：如圖5，樹頂A離地面am,樹上另一點B離地面bm,在離地面cm的C處看此樹，離此樹多遠時視角最大？

圖5 圖6

3 問題解答

思路1 幾何視角，由圓的幾何性質探求張角最大值.

解法1如圖6所示，易知無論點M是前行還是后退到點M′，過點P,Q,M′的圓必與直線BC相交，此時∠PM′Q必小于圓內的角∠PMQ.

思路2代數視角，由探求張角的三角函數值的最值求張角最大值.

解法2 如圖6所示，PB=8，QB=12，設BM=x(0≤x≤40).

所以tan∠PMQ=tan(∠QMB-∠PMB)

本題還可討論∠PMQ的正弦或余弦的最值進行求解，不再贅述.

4 模型應用

以米勒問題為背景的最大張角問題在歷年高考中屢見不鮮，經久不衰，現枚舉幾例.

例1(1986年高考全國卷理科第5題)如圖7，在平面直角坐標系中，在y軸正半軸(坐標原點除外)上給定兩定點A,B，試在x軸正半軸(坐標原點除外)上求一點C，使∠ACB取得最大值.

圖7 圖8 圖9

例2(2005年高考浙江卷理科第17題)如圖8，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1,F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線l1：x=m(|m|>1)，P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(用m表示).

例3(2010年高考江蘇卷第17題)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m)，如圖9所示，垂直放置的標桿BC高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

(1)該小組已經測得一組α,β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值；

(2)該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d(單位m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125 m，問d為多少時，α-β最大.

限于篇幅，以下僅給出例3(2)的解答：

解法1 由題設知d=AB，得

解法2由題設知α-β=∠DEB.

特別值得關注的是，近年來，米勒問題在競賽數學中也頻頻亮相，需要引起足夠的重視.

例4(2004年全國高中數學聯賽第12題)在平面直角坐標系xOy中，給定點M(-1,2),N(1,4)，點P在x軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標為____.

解析設直線MN與x軸交于點Q，易得Q(-3,0)，圓H過點M,N且與x軸相切于點P，則點P即為所求.

由切割線定理,得

所以|PQ|=4.

易得P(1,0)或P′(-7,0).

而∠MPN>∠MP′N，故點P的橫坐標為1.

則∠APF1=∠AF2P，|AP|2=|AF1|·|AF2|.

又由△APF1∽△APF2，可得

解析由已知得A(a,0)，F1(-1,0),F2(1,0).

首先考慮點P在x軸上方的情形.

設P(a,t)(t>0)，則

解得a2=2，即t=1.

評注例6中，點P在x軸上方時，其位置可由米勒定理直接確定：經過點F1,F2且與直線l相切的圓的切點，由切割線定理，可知 |AP|2=|AF1|·|AF2|.

通過以上分析可以看出，以米勒問題為背景命制的試題在高考、競賽和模擬試題中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為載體進行考查.若能突破思維瓶頸，從題設中挖掘出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，無疑會降低思維難度、大幅減少運算量，加快解題進程，促使問題順利解決.