2022年全國新高考Ⅰ卷第7題解法研究

季佳雯 李昌成

(1.江蘇省海門中學 226199；2.新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

比較大小的高考題比比皆是，通?？疾橹笖岛瘮?、對數函數、冪函數以及三角函數的大小.一般可以通過函數性質、特殊點、特殊值牽線搭橋，并適度放縮就可以判定大小.但是近兩年高考、?？贾斜容^大小的試題風格發生了翻天覆地的變化，難度陡然上升，甚至作為壓軸題出現，很多考生見到考題茫然失措.2022年全國新高考Ⅰ卷第7題就是一個典型例子，下面研究它的解法.

1 題目再現

A.a

C.c

2 分析題目

從a=0.1e0.1，c=-ln0.9看，本題應該是考查利用導數比較大小.但從三個數的形式看，很難發現它們之間的深層次的具體關系,所以我們應打破常規，不能單一考慮某個知識、某個技巧，希望速戰速決，這已經不現實.只有綜合考慮高中數學的知識，在數據形式上做足文章，還可以聯系相關高數知識，多方聯合作戰也許能突破這個難題.

3 解法探究

策略1 以0.1為媒介，聯系三個數，作差構造函數.

=ln0.1+lne0.1-ln0.1+ln(1-0.1)

=0.1+ln(1-0.1)，

所以構造函數p(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],

故p(x)在(0,0.1] 上單調遞減.

可得p(0.1)

即lna-lnb<0.所以a

因為a-c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1-0.1)，

所以構造函數m(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1].

令n(x)=(1-x2)ex-1，

所以n′(x)=(1-x2-2x)ex>0.

所以n(x)在(0,0.1]上單調遞增.

即m′(x)>0.

所以m(x)在(0,0.1] 上單調遞增.

可得n(x)>n(0)>0.

可得m(0.1)>m(0)=0.

即a-c>0.所以a>c.

故c

評注本解法充分利用了0.1，將其上升為自變量，構造出高中生利用導數能夠處理的函數.通過兩次作差比較，判定出三者的大小.這是高考中最常見的處理的辦法.

解析2 首先研究正數a,b.

所以令h(x)=(1-x)ex.則h′(x)=-xex.

那么h(x)在(-∞,0)上單調遞增，在(0，+∞)上單調遞減.所以h(x)≤h(0)=1.

所以a

其次研究b,c.

所以構造函數m(x)=ln(1+x)-x(x>0)，

于是m(x)在(0，+∞)上單調遞減.

所以m(x)

因此b>c.

最后研究a,c.以下同解法1.

評注本解法三次構造函數，過程稍長，但是函數思維符合學生的認知，在解題過程中真實存在.對于自變量的認定，靈活多變，這也是函數的一個特征.對于培養學生的創新意識大有裨益.

策略3 利用教材結論，輔以切線放縮和對數均值關系.

引理1ex>1+x(x≠0).

引理2 lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.

于是f(x)≤f(1)=0.

所以lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

故f(t)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(t)

解析3由引理1，得

a=0.1e0.1>0.1(0.1+1)=0.11.

綜上c

評注本解法利用了教材習題結論以及教材外的二級結論.我們在教學中要高度重視教材上的習題，這是我們學習的基本要求，也是知識衍生的基礎.

策略4 高數助力，用泰勒展開式估算.

對于一些參加過奧賽培訓的學生而言，他們知道泰勒展開式可以近似計算一些常見函數值：

……

所以a=0.1e0.1≈0.1×1.105=0.1105.

所以c

評注本解法可以感覺到高等數學視角下的高考題顯得那么自然，那么“渺小”.高考要為高校選拔優秀人才，所以有一定的高數基礎在考試中受益也是符合人才選拔要求的，也是有利于學生在大學的深造和發展.

4 解后反思

高中數學知識點是有限的，但是由有限的知識點發掘出的創新命題點是無限的.只有養成自覺思考、深入研究、善于總結的習慣，才能把握問題的本質，才能提高學生的數學核心素養，才能在高考中展示自己的能力.這類考題有以下幾個關鍵點：一是通過觀察、運算、拆分找到數據的鏈接點(某個常數)；二是合理構造函數，函數并不唯一，能解決問題的都是科學的；三是積累一些結論，包括高中教材二級結論、簡單高等數學基礎等；四是需要堅強的自信心，遇事沉著冷靜，培養適應新環境，處理新問題的能力.