2022年數學新高考Ⅰ卷第16題探究

蔡海濤

(福建省教育學院數學研修部 350025)

直線與圓錐位置關系中的弦長問題是解析幾何的一種重要類型，由于這類問題常常涉及較為繁雜的計算，較多出現在高考的解答題中，2022年新高考Ⅰ卷在客觀題出現(第16題)，讓筆者眼前一亮，下面談談對該試題的探究，以期拋磚引玉.

1 題目呈現

本題以橢圓為載體，考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、橢圓的定義以及橢圓中的弦長等基礎知識；考查了空間想象、運算求解等能力；考查函數與方程、數形結合、化歸與轉化等思想；考查直觀想象、數學運算等核心素養；體現基礎性、綜合性.

2 解法分析

因為△AF1F2為正三角形，

由等腰三角形性質，得

|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|.

則△ADE的周長等于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a.

與橢圓方程聯立,得13x2+8cx-32c2=0.

所以△ADE的周長是13.

則△AF1F2為正三角形，∠AF2O=60°.

顯然直線DE是線段AF2的垂直平分線.

所以∠DF1O=30°.

故|DE|=|DF1|+|EF1|

評析本題的難點是求弦DE的長度，發現|DE|=|DF1|+|EF1|，利用圓錐曲線的極坐標方程使得解法優化，其余解題思路同解法1.

3 變式拓展

設過右焦點F的直線為y=x-c，

故矩形MNPQ面積最大值為4.

變式2已知ABCD的四個頂點均在雙曲線上，點P(0,1)在邊AB上，且則ABCD的面積等于____.

解析由平行四邊形的對稱性與雙曲線的對稱性，知點O為平行四邊形的中心，A，B，C，D四點在兩支雙曲線上各有兩點，不妨設點A，D在左支上，點B，C在右支上，如圖1，考慮點A，B關于雙曲線中心的對稱點A′,B′，因為單支雙曲線上不存在四點構成平行四邊形，知A′=C,B′=D，所以ABCD的對稱中心為O.

圖1

將點A，B的坐標代入雙曲線方程，得

因為拋物線的焦點F到準線的距離為2，

則拋物線方程為y2=4x(p>0)，焦點F(1,0).

設直線AB方程為x=my+1，

與拋物線方程聯立,得y2-4my-4=0.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨假設點A在x軸上方，點B在x軸下方.

則y1+y2=4m，y1y2=-4.

設點M到直線AB的距離為d，則