淺談正六邊形的向量應用

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510800)

1 展示正六邊形的向量模型，感受數學味道

例1 (新人教版高中數學必修第二冊第一章例2)設O為正六邊形ABCDEF的中心．(如圖1)

圖1

(1)寫出圖中的共線向量；

分析本題關鍵是在正六邊形ABCDEF中找出平行四邊形．而ABCO的向量數式：借用向量表示對邊平行且相等，它起到簡潔、優美的效果，同時也代表一個簡單圖形．

圖2

分析本題考查了不共起點的向量基底．借用前面例題結果，利用向量的平行四邊形法則和三角形法則即可．

方法1選用不同的基底，列方程組即可表示其它向量；

方法2特殊圖形，可建立坐標系，用坐標法；

方法3轉化為有交點的基向量，利用三角形法則即可．

解法1由圖3可知，四邊形ABCO,BCDO分別為菱形,其中AC，OB，BD，OC分別為對角線.

圖3

圖4

以下同解法1.

圖5

以下同解法1.

2 緊扣正六邊形的向量內涵，突顯核心素養

2.1 正六邊形藴含的基本圖形不簡單

正六邊形藴含的基本圖形(1)有6個等腰三角形(如圖6)；(2)有8個等邊三角形(如圖6,9)；(3)有6個直角三角形(如圖7)；(4)有6個菱形(如圖8)；(5)有3個矩形(如圖10);(6)有6個等腰梯形(如圖11)；(7)正六邊形的每一個角都蘊含著4個30°角；(8)正六邊形的面積是6個等邊三角形的面積之和．

圖6 圖7 圖8

圖9 圖10 圖11

2.2 向量工具不簡單

向量工具神通廣大,它作為解決長度、距離、角度、平行、垂直等問題的重要工具，有較好的融合度，與其他知識結合的試題累見不鮮．具體如下：

(1)利用其形的特點，通過向量運算的幾何意義轉化為平面幾何的有關知識進行運算.形如：利用向量的數式表示直線、三角形、平行四邊形、梯形、圓等．

(2)利用其數的特點，通過建立坐標系，將向量的有關問題轉化為代數中的有關問題解決．形如：向量在坐標系中推導出距離、角度、平行、垂直等公式，同時推導出三角形的正余弦定理、勾股定理、射影定理等．

3 鏈接正六邊形的高考試題，提升應用能力

A．(-2，6) B．(-6，2)

C．(-2，4) D．(-4，6)

分析本題考查了以正六邊形為背景的向量數量積運用．(1)關鍵在于動點P所在位置．結合數量積的射影公式及正六邊形的特點，確定數量積分別取得最大值、最小值時點P所在位置即可；(2)坐標法略．

圖12 圖13

例4(2018年上海)《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖13，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是( ).

A．4 B．8 C．12 D．16

解析如圖13，以AA1為底面矩形的另一邊分別是AB,AC,AD,AE,AF，依題可知，在正六邊形ABCDEF內分別找以AB為直角邊的矩形、以AC為直角邊的矩形、AE為直角邊的矩形、AF為直角邊的矩形，不難發現，AD為直角邊的矩形是不能找到．所以下底面的陽馬數是8，同理，上底面的陽馬數也一樣，所以陽馬總數為16．故選D．

圖14

A.18 B.24 C.36 D.48

圖15

4 加強模型變式教學，追尋有效、高效

“高考題常考常新”，每一年的高考題、模擬題都會有不一樣的新面孔.如何把新面孔落實到課堂教學活動中？當前有一種被稱為有效課堂教學，那就是在某一模型的基礎上，變更條件、編寫變式題組，然后進行題組化訓練.其目的是讓學生熟悉考試題型，在短時間內記住題型的解題方法，對提高學生數學能力是很有幫助的.

4.1 變更題設條件(包括數學文化背景)，結論不變

圖16

4.2 變更題設結論，其它條件(包括數學文化背景)不變

圖17 圖18

5 一點感悟

新教材中的例、習題是專家們精心挑選的，蘊含著豐富的數學思想和方法．對這些具有代表性的正六邊形范例，充分挖掘正六邊形潛在功能，通過一題多解、多題一解、一題多變、推廣探究等，把知識、素養落到實處，引領學生探究，真正達到有效、高效．