數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)下高中導(dǎo)數(shù)題的若干解題策略

華佳辰 馬東陽(yáng) 嚴(yán)春歡 呂志偉

(江蘇省宿遷學(xué)院 223800)

高觀點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)題一直以來都是高考的熱點(diǎn),往往在高考數(shù)學(xué)中都是以壓軸題的形式出現(xiàn),具有一定的難度.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中是重要知識(shí)模塊,它作為連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁,有著豐富的數(shù)學(xué)思想.若導(dǎo)數(shù)題僅用初等數(shù)學(xué)方法來解,往往需要很多技巧,但從數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)來看導(dǎo)數(shù)題,這些問題往往迎刃而解.本文以不同地區(qū)數(shù)學(xué)考試導(dǎo)數(shù)題為例,從Rolle定理、Lagrange中值定理等數(shù)學(xué)分析視角出發(fā),對(duì)導(dǎo)數(shù)題進(jìn)行探究、分析.同時(shí),對(duì)在教學(xué)過程中滲透高觀點(diǎn)的思想方法提出建設(shè)性建議,進(jìn)而提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 試題解法研究

1.1 Rolle中值定理的應(yīng)用

例1 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2，若函數(shù)f(x)在定義域上有3個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)a的最小值.

解析對(duì)f(x)中的x求導(dǎo)，得

若f(x)在定義域上有3個(gè)零點(diǎn)，則f(x)至少存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間.故f′(x)=0至少存在兩個(gè)大于-1的不等實(shí)數(shù)根.令g(x)=2ax2+2ax+1,則

當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=ln(x+1)+3x2，

綜上所述,整數(shù)a的最小值為3.

分析本題沒有很直接地用到Rolle中值定理，但是卻有著Rolle中值定理的思想在里面，列出本題只是為了向讀者傳達(dá)和展示高中試題背后的高觀點(diǎn)思想，而非使用高觀點(diǎn)解題.

1.2 Lagrange中值定理的應(yīng)用

令g(x)=x2-(a-1)x+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立.

分析本題設(shè)計(jì)背景來源于微積分中的Lagrange中值定理，例2由2009年遼寧高考數(shù)學(xué)理科卷的21題改編而來，參考答案通過構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)+x,再研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，輔以分類討論的思想來解決，但這樣做直觀性不足，并且會(huì)帶來大量的計(jì)算；遇到問題中有f(x1)-f(x2)和x1-x2或是f(x)和ax+C(C為常數(shù))的不等式，很多情況下都可以用Lagrange中值定理來解決；這里提供的高觀點(diǎn)解法，還原了本題的命題意圖與思路，在一定程度上體現(xiàn)了大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的聯(lián)系.

1.3 L′Hospital法則的應(yīng)用

例3 已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

令h(x)=2xcosx+(x2-2)sinx,

則h′(x)=x2cosx.

所以當(dāng)x∈(0,ξ)時(shí),h′(x)>0,h(x)>0；當(dāng)x∈(ξ,π)時(shí),h′(x)<0,h(x)<0.

故g(x)在(0,ξ)單調(diào)遞增,在(ξ,π)單調(diào)遞減.

故a∈(-∞,(0].

分析解決這類含參不等式時(shí)，將參變量分離是首選方法，但求分離出來的函數(shù)式最值很困難，利用L′Hospital法則求解函數(shù)最值時(shí)，可以有效地避免討論，使解答過程更加簡(jiǎn)潔.

1.4 Taylor公式

求證：f(x)>1.

證明由已知，得a=1,b=2.

故f(x)>1.

1.5 Lagrange乘數(shù)法的應(yīng)用

φ(a,b,c)=a+b+c-1=0,

分析Lagrange乘數(shù)法是在φ(x,y)=0限制條件下，求解函數(shù)z=f(x,y)的極值.這一理論是求解多元函數(shù)最值問題的快速方法，比較適用于客觀題.

2 數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)下高中導(dǎo)數(shù)試題教學(xué)建議

在實(shí)際教學(xué)中，要考慮到學(xué)生的學(xué)業(yè)基礎(chǔ)水平與認(rèn)知水平，充分貫徹量力性原則.可以在學(xué)生已有的導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行拔高，讓學(xué)生知道導(dǎo)數(shù)不僅僅只有求導(dǎo)求極值，還有一些更高等的知識(shí)，比如微分中值定理.引入數(shù)學(xué)分析知識(shí)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生個(gè)體之間的差異性，努力做到讓優(yōu)等生在考試中利用“高觀點(diǎn)”知識(shí)得到學(xué)科優(yōu)勢(shì)；對(duì)于中等生，教師可以將“高觀點(diǎn)”試題進(jìn)行總結(jié)歸納，不需要講解數(shù)學(xué)分析理論的本質(zhì)，以免過于抽象導(dǎo)致學(xué)生理解困難，應(yīng)盡量使學(xué)生做到在實(shí)際解題中積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到利用“高觀點(diǎn)”知識(shí)解題的目的；對(duì)于后進(jìn)生則還是重視高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué).因此，這里筆者還是認(rèn)為面向?qū)W校較高層次的班級(jí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案哂^點(diǎn)”知識(shí)的教學(xué)較為合適.

波利亞曾說“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”.對(duì)于中學(xué)教師而言也就是“教好數(shù)學(xué)就意味著善于研究題目”.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教師也要定期地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的有關(guān)知識(shí)，多關(guān)注近年來高考題、模擬題中的數(shù)學(xué)分析背景，不斷提高教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).只有數(shù)學(xué)教師對(duì)題中的出題背景有了清楚的認(rèn)識(shí)，才能去教導(dǎo)學(xué)生解題，同時(shí)提高學(xué)生的思維水平.