2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川預(yù)賽)試題及解析

2022-09-22 15:22:22張君

數(shù)理化解題研究 2022年25期

張君

(四川省溫江中學(xué) 611130)

2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川預(yù)賽)試題，全卷共11道題，其中8道填空題，3道解答題.命題組對8道填空題，只給出了答案，沒有解析過程，3道解答題各提供了一種解法供閱卷參考.筆者對每道題都進(jìn)行了分析和研究，逐個(gè)給出解析，解答題還給出了有別于參考答案的精彩解法，供讀者參考.

該試題涉及代數(shù)運(yùn)算(第1題)，平面向量(第2，9題)，數(shù)列(第3，5，10題)，平面解析幾何(第4，9題)，函數(shù)與數(shù)列(第5題)，函數(shù)與方程(第7題)，函數(shù)與不等式(第11題)，解三角形(第6題)，立體幾何與組合數(shù)學(xué)(第8題).

題1 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=(8a)9b，則loga(4a2)的值為____.

解析由ab=(8a)9b，得b=9bloga(8a).

題2 已知平面向量a，b滿足：|a|=1，|b|=2，a·b=1，記向量a+2b與2a-b的夾角為θ，則cosθ的值為____.

又a1=1，a2=2，所以a3=4，a4=6，a5=9，a6=12，a7=16，a8=20，…

觀察歸納奇數(shù)項(xiàng)得a2k+1=(k+1)2.

即a2k=k(k+1).

所以a2022=1011×1012=1023132.

所以a2022的末兩位數(shù)字為32.

又a1=1，a2=2，所以a3=4，a4=6，a5=9，a6=12，a7=16，a8=20，…

觀察歸納偶數(shù)項(xiàng)得a2k=k(k+1).

所以a2022=1011×1012.

所以a2022的末兩位數(shù)字為32.

圖1

題5 已知函數(shù)f：{1,2,…,10}→{1,2,5}，且對一切k=1,2,…,9，有|f(k+1)-f(k)|≥3.則符合條件的函數(shù)個(gè)數(shù)為____.

解析由f(k)∈{1,2,…,5}且|f(k+1)-f(k)|≥3知f(k)≠3.

(問題一般化)設(shè)函數(shù)fn：{1,2,…,n}→{1,2,…,5}，且f1(1)≠3，當(dāng)n≥2時(shí)，對一切k=1,2,…,n-1，有|f(k+1)-f(k)|≥3.

記函數(shù)fn的個(gè)數(shù)為an,其中滿足fn(n)=1或5的個(gè)數(shù)為bn,滿足fn(n)=2或4的個(gè)數(shù)為cn,則an=bn+cn.

當(dāng)n≥2時(shí)，對一切k=1,2,…,n-1，若fn(k)=1,則fn(k+1)=4或5；若fn(k)=2,則fn(k+1)=5；若fn(k)=4,則fn(k+1)=1；若fn(k)=5,則fn(k+1)=1或2.

所以，當(dāng)n≥3時(shí)，bn=bn-1+cn-1，cn=bn-1,則bn=an-1,cn=bn-1=an-2.

故an=an-1+an-2.

易得a1=4,a2=6,遞推可得a10=288.

題6 若△ABC的三邊a，b,c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為____.

=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]

=-(a2-b2)2+2(a2+b2)c2-c4

=-7(c2-1)2+7≤7，

解法2 設(shè)AB邊上的高為h，則

所以c2≤14-6c2-4h2.

即7c2+4h2≤14.

解法3 設(shè)AB邊的中點(diǎn)為D，則

所以g(x)的最小值為3.

題8 至少通過一個(gè)正方體的3條棱中點(diǎn)的平面?zhèn)€數(shù)為____.

所以共有220-139=81個(gè).

題9 如圖2所示，ABCD是一個(gè)矩形,AB=8,BC=4,M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),以某動直線l為折痕將矩形在其下方的部分翻折,使每次翻折后點(diǎn)M都落在邊CD上,記為M′.過點(diǎn)M′作M′P⊥CD交直線l于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的軌跡是E.