極坐標與參數方程問題中的“破題”例析

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校 723102)

極坐標與參數方程作為選做題，由于難度不大，極易被考生選擇.文章從設點坐標、參數幾何意義和極坐標應用三種不同方法入手，對極坐標與參數方程問題做了例題總結，在例題總結中強化基本概念和幾何意義，找到“破題”入口.

1 利用參數方程的參數幾何意義

幾個常見的參數方程：

(1)求C和l的直角坐標方程；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．

當cosα≠0時，l的直角坐標方程為

y=xtanα+2-tanα；

當cosα=0時，l的直角坐標方程為x=1．

(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程得

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．

①

于是直線l的斜率k=tanα=-2．

“破題”與評注關鍵是恰巧線段中點在橢圓內部，利用直線的參數幾何意義，求出直線斜率.本題考查曲線的極坐標、參數方程與普通方程之間的轉化，考查直線參數方程的幾何意義，對于這一類問題的處理，一般就是將直線的參數方程與曲線普通方程聯立，借助韋達定理求解問題.

(1)求a的值和直線l的直角坐標方程及l的參數方程；

于是l的直角坐標方程為l:x+y-2=0；

“破題”與評注關鍵是利用直線參數方程參數的幾何意義得出|AM|·|AN|=|t1|·|t2|=|t1t2|，|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1-t2|.本題考查曲線的極坐標、參數方程與普通方程之間的轉化，考查直線參數方程的幾何意義，將直線的參數方程與普通方程聯立，借助韋達定理求解，屬于常規題.

2 利用參數方程設點坐標

(1)若a=-1，求C與l的交點坐標；

綜上，a=8或a=-16.

“破題”與評注先把直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立兩個方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，可以直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，此時設出點的坐標是關鍵，即利用三角換元法將問題轉化為三角函數的最值求解問題，利用三角有界性求出最值，進而求得參數a的值．

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值以及此時點P的直角坐標.

“破題”與評注把參數方程化為普通方程，需要根據其結構特征，選取適當的消參方法，常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方和(差)消參法、乘法消參法、混合消參法等．

3 利用極坐標的應用

(1)求直線l和曲線C的直角坐標方程，并指明曲線C的形狀；

得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0.

所以曲線C的直角坐標方程為

x2+y2-2x-2y+1=0.

即曲線C是圓心為(1,1)，半徑r=1的圓.

設A,B對應的極徑分別為ρ1,ρ2，則

“破題”與評注此題關鍵是極坐標方程的求法及其應用，重點考查了學生的轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.因此，需要學生理解極坐標中幾個核心概念，比如極角極徑的含義，這也是學生容易忽略的知識點，學完也容易遺忘.

圖1

(1)求C2的極坐標方程及a；

解析消去C2參數方程中的φ，可得(x+2)2+y2=4.又由x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C2的極坐標方程為ρ=-4cosθ.

由于C2與x軸的其中一個交點A(異于點O)的極坐標為(4,π)，故4=a(1-sinπ)，即a=4.

所以C3的極坐標方程為θ=α(ρ∈R).

又C1與C3相交E,O,F三點，得

|OE|=|ρE|=4(1-sinα)>0,

|OF|=|ρF|=4(1+sinα)>0.

所以|EF|=|OE|+|OF|=8.

復習過程中首先要注重學生對基本概念與方法的學習，特別是核心概念的理解，熟練掌握基礎知識與技能，從而快速“破題”，以此提升學生的邏輯推理和數學運算等核心素養，讓學生學會與圓錐曲線三種方程的整合.然后要重視思想和方法的總結，比如數形結合思想、轉化與化歸思想和分類討論思想.最后強化參數幾何意義、極徑、極角和參數方程的理解，比如類型三中利用極徑的幾何意義解題，大大簡化了運算，解答思路也更清晰.