初高中數學競賽中“整數解問題”的探索研究

孫 宇

(江蘇省宜興市碩博教育中心 214200)

1 整數解問題的一般方法

在初高中的數學競賽和高中自主招生考試中，整數解問題是最熱門的題型之一.整數解問題一般方法分為三種：

1.1 分式類型的整數解問題

對于分式類型的整數解問題可以利用分離常數法進行求解.

通過分離常數進行變形：

可以通過平方差公式進行分離常數的變形：

從而轉化為上述的解答方法.

1.2 一元二次方程的整數解問題

對于一元二次方程的整數解問題可以設出根的判別式，利用平方差公式進行因式分解.

例如，對于關于x的一元二次方程ax2+mx+c=0有整數解(a,c均為整數)，m為整數，且m是參數.

則Δ=m2-4ac必定是一個完全平方數.

從而設Δ=m2-4ac=n2,(n為自然數)

則m2-n2=4ac.

所以(m+n)(m-n)=4ac.

由于a,c,m都是整數，n是自然數，所以(m+n)，(m-n)必然是4ac的整因子且其奇偶性相同.從而可以求得m,n的值，最后代入求根公式求解x的值.

1.3形如kmn+pm+qn=r(m,n為參數且m,n是整數，k,p,q,r為常數)的二元二次方程的整數解問題

對于形如kmn+pm+qn=r(m,n為參數且m,n是整數，k,p,q,r為常數)的二元二次方程的整數解問題可以直接進行因式分解.對于這一類的因式分解，有兩種方法進行變形.

第一種：

第二種：

轉化為第二種進行求解.

如果k,p,q,r為分數，則可以先轉化為整系數代數式進行求解.

1.4 形如pm2+km=qn2+rn+t(k,p,q,r,t為常數，m,n為參數且m,n為整數)的二元二次方程

對于形如pm2+km=qn2+rn+t(k,p,q,r,t為常數，m,n為參數且m,n為整數)的二元二次方程，首先進行配方，得到關于m,n的平方項.

然后利用平方差公式將m,n的代數式進行因式分解，轉化為上述的的情況.

2 典型例題剖析

分析該題來自于2007年全國初中數學聯賽二試的壓軸題，是一道很典型的整數解問題.將兩個方程聯立，得到一個關于x的一元三次方程，所以第一個關鍵點在于找到三次方程的一個有理根，然后再將該三次方程進行因式分解，得到關于x的一元二次方程，把題目轉化為一元二次方程的整數解問題.最后就可以利用上述平方差的方法進行因式分解，求得最終結果.

解析聯立方程

即2x3+(2a+23)x2+(10-7a)x+3a-11

=0.

①

將①式變形可得

(2x2-7x+3)a+2x3+23x2+10x-11=0.

則可將①式分解因式，得

(2x-1)[x2+(a+12)x+11-3a]=0.

②

如果兩個函數圖象有公共整點，則方程①必有整數根，從而方程②中關于x的一元二次方程x2+(a+12)x+11-3a=0③必有整數根.所以方程③的判別式Δ是一個完全平方數.

從而設Δ=(a+12)2-4(11-3a)=a2+36a+100=(a+18)2-224=n2(其中n為非負整數)，則(a+18)2-n2=224.

即(a+18+n)(a+18-n)=224.

顯然a+18+n與a+18-n的奇偶性相同，且a+18+n≥18，且224=112×2=56×4=28×8，

當a=39時，方程③為x2+51x-106=0，其根為2或-53，則可得兩個函數圖象的公共整點為(2,-53)或(-53,2).

當a=12時，方程③為x2+24x-25=0，其根為1或-25，則可得兩個函數圖象的公共整點為(1,-25)或(-25,1).

例2已知二次函數y=x2+bx-c的圖象經過兩點P(1,a)，Q(2,10a).設二次函數y=x2+bx-c的圖象與x軸的交點為A,B，與y軸的交點為C.如果關于x的方程x2+bx-c=0的兩個根都是整數，求△ABC的面積.

分析該題來自于2010年全國初中數學聯賽二試壓軸題.首先通過消元將參數b,c均用a的代數式表示.這是很關鍵的一步，為第二問做好鋪墊！該問的最關鍵點在于利用根與系數的關系表示方程的兩個根m,n，再將參數a消去，得到關于m,n的二次方程，然后再利用二元二次方程的因式分解方法進行求解.

解析由于P(1,a)，Q(2,10a)兩點在二次函數圖象上，代入解析式可得

設m,n是方程x2+bx-c=0的兩個整數根，且m≤n，由根與系數的關系可得

消去參數a可得

9mn-8m-8n=-6.

④

則9m·9n-8×9m-8×9n=-54.

由于m,n是整數，對等式左邊進行因式分解可得(9m-8)(9n-8)=10.

而10=1×10=2×5=(-1)×(-10)

=(-2)×(-5),

則b=-(m+n)=-3，

c=-mn=-2.

所以二次函數解析式為y=x2-3x+2.

則A(1,0)，B(2,0)，C(0,2).

所以S△ABC=1.

注對于④式進行因式分解，如果不太熟練的話，可以進行如下變形：

對等式左邊進行因式分解可得

由于m,n是整數，所以(9m-8)(9n-8)=10.

例3二次函數f(x)=x2+x+11圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數，縱坐標是一個平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

分析該題來自于2011年高中數學聯賽湖北省預賽，難點在于第二問的整數解問題的轉化：設出點P坐標(m,n2)后，得到關于m,n的方程，此時需要注意，由于方程中含有m的一次項而沒有n的一次項，所以首先將關于m的代數式進行配方，得到關于m的平方項，然后再利用平方差公式進行因式分解，就可以求出最后的結果.

解析設點P(m,n2)是符合條件的點，其中m是正整數，n為自然數.

則m2+m+11=n2.

所以4n2-(2m+1)2=43.

則(2n+2m+1)(2n-2m-1)=43.

由于43是質數，且2n+2m+1>2n-2m-1，2n+2m+1>0,

所以函數y=f(x)的圖象上存在符合條件的點，其坐標為(10,121).

在整個中學數學競賽中，整數解問題層出不窮，在各大高校的自主招生、強基計劃中也屢見不鮮.因此理解并學會利用“因式分解”這一最基本也是最重要的方法是必須的.在解答這類題目時，我們需要注重數學思想方法的激活與運用，不能過于關注“述”，而輕視“法”、忽略“道”,更加要關注題設的條件和解答的方法，更需要通過回顧與反思，來理解題目中的本質結構.因此，我們需要更加用心鉆研，總結經驗和方法，這樣才能一通而百通.