平面向量等值線定理及其應用

何少杰

(甘肅省清水縣第六中學 741400)

平面向量基本定理是向量坐標表示,以及向量法求解幾何問題的理論基礎,由其引出了幾個系數等值線定理,筆者在高三復習教學時注意到,在解決向量線性表示后的系數問題時,等和線與等差線能讓學生從形的角度去分析問題,解法直觀,過程簡潔流暢,可以拓展思維,加深學生對平面向量基本定理的理解,應用最為廣泛,是解決此類問題的通法.文[1]給出了定理的證明過程,下面整理性質并進行應用舉例,供考生參考.

1 等和線

1.1 等和線定理

1.2 等和線性質

表1 等和線性質

1.3 等和線應用舉例

所以λ2+μ=(1-2μ)2+μ.

圖1

圖2

圖3

可求得切線PC方程為3x+4y-12=0.

所以|OC|=4.

圖4

又S△AOB=S△AOD+S△BOD,

2 等差線

2.1 等差線定理

2.2 等差線性質

表2 等差線性質

2.3 等差線應用舉例

圖5

令y=0得P(2,0).

解析如圖6,由等和線定理,平行移動等和線AB至MN,可得x,y需滿足1≤x+y≤2.

圖6

由等差線定理,平行移動等差線AB′,當等差線過點M時,(x-y)max=2,當等差線過點N時,(x-y)min=-2,得x,y還需滿足-2≤x-y≤2.

3 對等值線的解讀

定理中系數取定值的等式分別為x+y=k,x-y=k,與平面直角坐標系中的直線方程形式完全一致,而且系數取定值時點P軌跡也是直線,難道是巧合嗎？

基于以上認識,類比平面直角坐標系中的相關概念,在對應的平面仿射坐標系中,對等值線中的k可以賦予一定的幾何意義.等和線方程x+y=k變形為y=-x+k,則k對應的就是“縱截距”;等差線方程x-y=k變形為y=x-k,則k對應的就是“縱截距的相反數”.至此,我們從另一角度更深刻地認識了平面向量基本定理系數等值線,也可以理解并記憶不同圖形所對應的k的取值情形.