例析立體幾何中的球問題

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

與幾何體有關的球問題是立體幾何的重點，也是高考考查的熱點和難點，這類問題能充分考查學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理核心素養，特別是對于多面體的外接球問題，各種文獻和資料都有介紹，并且歸納和總結了各種不同的解題模型，這樣不僅增加了學生的記憶負擔，而且從高三的實際教學情況看，效果并不好，因此需要對這類問題探求通法求解.

1 多面體外接球問題

求解多面體外接球問題主要涉及到如下知識：

球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓，設球的半徑為R，截面圓O1的半徑為r，球心O與圓心O1的距離OO1=d，如圖1，則有R2=r2+d2,設AB為圓O1的一條弦，M為AB的中點，則OM⊥AB.

圖1

這里包含以下三層含義：

(1)對于多面體的外接球，球心為過多面體各個面的外心且垂直該面的垂線的交點，特別地，正多面體的外接球的球心在高上；

(2)過球心作球內接多面體某個面的垂線，垂足為該面的外心；

對于外接圓半徑的求法：當多面體的某個面為直角三角形時，其外接圓的圓心O1為斜邊的中點；若是一般的三角形則可借助正弦定理確定外接圓的半徑.

由余弦定理，得

所以三棱錐P-ABC外接球的半徑

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4πR2=88π.

圖2

解析根據題意，作出圖形，如圖3所示，

圖3

因為△PAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

所以△PAC的外心在AC中點，設為O2，

設△ABC的外心為O1，BC中點為E，AO1=r1，

所以O1必在AE連線上.

因為兩平面交線為AC，O1為平面ABC所在圓面中心，

又因為二面角P-AC-B的大小為120°，PO2⊥AC，

所以∠PO2O1=120°,∠OO2O1=30°.

錐體P-ABC外接球半徑

則三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4πR2=10π，故選B.

點評一般地，對于三棱錐P-ABC，二面角P-AC-B的大小為θ，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑R可由以下方法求出：

(1)分別求出△ABC和△PAC的外接圓半徑r1,r2，其外接圓的圓心分別記為O1,O2；

(2)分別過點O1,O2作面ABC和面PAC的垂線，兩垂線的交點O即為三棱錐P-ABC的外接球的球心；

(3)取AC的中點Q，則O1Q⊥AC，O2Q⊥AC，故∠O1QO2為二面角P-AC-B的平面角，即∠O1QO2=θ；

例3已知球O的半徑為2，球心O在大小為60°的二面角α-l-β內，二面角α-l-β的兩個半平面分別截球面得兩個圓O1，O2，若兩圓O1，O2的公共弦AB的長為2，E為AB的中點，四面體OAO1O2的體積為V，則下列結論中正確的有( ).

圖4

因為二面角α-l-β的兩個半平面分別截球面得兩個圓O1，O2，O為球心，

所以OO1⊥α，OO2⊥β.

又O1E?平面α，O2E?平面β，

所以OO1⊥O1E，OO2⊥O2E.

故O，E，O1，O2四點共圓，故選項A正確；

因為E為弦AB的中點，故O1E⊥AB，O2E⊥AB.

故∠O1EO2即為二面角α-l-β的平面角.

所以∠O1EO2=60°.

設OO1=d1，OO2=d2，

在△OO1O2中，由余弦定理可得，

故選ACD.

2 與球相關的綜合問題舉例

例4如圖5，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱DD1的中點，點F在正方體表面上運動．以下命題正確的是( ).

圖5

A．側面CDD1C1上不存在點F1，使得B1F1⊥CD1

解析對于A選項，當F1是CD1的中點時，根據正方體的性質可知B1C=B1D1.

所以△B1CD1是等腰三角形.

所以B1F1⊥CD1，所以選項A錯誤.

對于C選項，設G,H分別是CC1,C1D1的中點.

由于GH∥CD1∥A1B，GH?平面A1BE，A1B?平面A1BE，所以GH∥平面A1BE.

由于B1G∥A1E,B1G?平面A1BE，A1E?平面A1BE，所以B1G∥平面A1BE.

由于GH∩B1G=G，

所以平面B1GH∥平面A1BE.

對于B選項,取CD的中點F，則EF∥A1B.

連接C1D交EF于點G，易知C1G∶GD=3∶1.

所以點F不在平面ABB1A1、平面ADD1A1、平面ABCD內.

圖6

B.當點E固定在線段DC某位置時，則D′在某圓上運動

C.當點E在線段DC上運動時，則D′在某球面上運動

解析由等體積法，得

VA-BCF=VF-ABC

故選項A錯誤；

當固定點E時，由DA⊥DE，可知點D在以AE為直徑的圓上運動，故選項B正確；

當點E在線段DC上運動時，AD′=1保持不變，即點D′的軌跡為以點A為球心，半徑為1的球面的一部分，故選項C正確；

如圖7，過點A作BF的垂線，垂足為點H，可得AH⊥平面BCF.

圖7

因為點D′在以點A為球心，半徑為1的球面上運動,則點D′到平面BCF距離的最小值為

點評本題的難點在于點E的軌跡的確定，對于D選項，類比圓的知識可知，球面上一點到球外一平面的最短距離為球心到該平面的距離減去球的半徑.